第1章复数与复变函数1-完

1复变函数郭孔华Tel:13873131273Email:[e-mail]中南大学数学科学与计算技术学院2引言高等数学主要研究对象是以实数为变量的函数。而复变函数主要是研究以复数为变量的函数。复变函数中的许多概念、理论和方法都是实变函数在复数领域内的推广和发展，因此我们在学习过程中要注意比较两者的共同点和不同点。复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用。3第1章复数与复变函数第2章解析函数第3章复变函数的积分第4章级数第5章留数理论及其应用第6章共形映射4第1章复数与复变函数1.1复数及其代数运算5.Im,Re,1,2zyzxzyxiiiyxziyxyx和虚部，记为的实部分别称为复数和虚数单位，实数称为满足，其中复数，记为的数为如为两个任意实数，称形设成是一个实数。时，我们可把该复数看称为纯虚数；当时，当00,0yiyzyx1.1.1复数的概念6非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数实数复数两个复数相等的充要条件是他们的实部和虚部分别相等。一般说来，任意两个复数不能比较大小。各数集之间的关系可表示为：71.1.2复数的代数运算四则运算如下：的定义设复数2122111,,,.1zziyxziyxz);()(212121yyixxzz加法：);()(212121yyixxzz减法：;((1221212121））乘法：yxyxiyyxxzz)0(22222211222222121221121zyxyxyxiyxyyxxiyxiyxzz除法：82.复数的四则运算律12211zzzz）加法交换律：（12212zzzz）乘法交换律：（)()(3321321zzzzzz）加法结合律：（)()(4321321zzzzzz）乘法结合律：（31213215zzzzzzz）（）分配律：（9。则，如果共轭的复数记为与数，的两个复数称为共轭复反数实部相同，虚部互为相iyxziyxzzz,共轭复数的运算性质：图1.1;)1(zz2121)2(zzzz10;)3(2121zzzz;)4(2121zzzz;)(Im)(Re)5(22zzzz;2Im,2Re)6(izzzzzz.)7(为实数zzz11例1化简.解ii2)32(2ii2)32(249122ii(512)(2)(2)(2)iiii5292i12例2设，求及.解)52(4321iiiizzzIm,Rezziiiiiiiiiiz52)43)(43()43)(21(5243212510525211)5(5)5)(2(25211iiiiiiii2582516258Im,2516Rezz12564)2582516)(2582516(iizz所以，131.2复数的几何表示1.2.1复数的几何表示、复平面由复数的定义可知，复数是由一对有序实数惟一确定的，于是可建立全体复数和平面上的全部点之间的一一对应关系，即可以用横坐标为，纵坐标为的点表示复数（如图1.2），这是一种几何表示法，通常称为点表示，并将点与数看作同义词.iyxz),(yxxOyxyiyxzzz14图1.2由于轴上的点对应着实数，故轴称为实轴；轴上非原点的点对应着纯虚数，故轴称为虚轴。这样表示复数的平面称为复平面或平面。xxyyzz151.2.2.复数的向量表示、模与辐角（1）复数的向量表示复数还可以用起点为原点，终点为的向量来表示（如图1.2），与分别是在轴与轴上的投影.这样，复数与平面上的向量之间也建立了一一对应关系.iyxz),(yxPOPxyyxOP（2）复数的模与辐角复数的模.如图1.2中的向量的长度称为复数的模，记作或，即OPiyxzzr22xyzr16模的性质：2|||,|||)1(zzzzz|||||,||||,|||||)2(zyzxyxz||||||)3(2121zzzz||||||)4(2121zzzz||||||||)5(2121zzzzoxy1z2z21zz21zz图1.317复数的辐角设复数对应的向量为（如图1.2）,以正实轴为始边，以表示的向量为终边的角，称为复数的辐角,记作，即.0zOPzOPzzArgzArg显然，有无穷多个值，其中每两个值相差的整数倍，但所有中满足条件的只有一个，称为复数的辐角的主值，记作，则.而可根据计算得出.zArg2zArgzzarg)arg,(,2argzZkkzArgzzargxyz)tan(arg我们规定按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.184.复数的三角表示式由可得复数的三角表示式：5.复数的指数表示式根据欧拉公式，可得复数的指数表示式复数的球面表示如图1.4，取一个与复平面切于原点的球面，球面与始于原点且垂直于复平面的射线相交于点N，对复平面上任一点z，过z和N作直线与球面相交于异于N的一点P，)sin(cosirzzirezzsin,cosryrxsincosieiNP.z.O图1.419反之，对球面上任一异于N的一点P，过N和P的直线与复平面交于一点z，因此，除去点N外球面上的点与复平面上的点一一对应,所以我们就可以用球面上的点来表示复数.扩充复平面从图1.4可以看到，当z无限远离原点时P无限逼近N.我们规定，无限远离原点的点称为无穷远点，它与球面上的点N对应.我们把包括无穷远点的复平面称为扩充复平面，不包括无穷远点的平面称为有限平面或复平面，本书如无特别声明，只考虑有限复数及复平面。20例3求和.解)22Arg(i)43Arg(ikii2)22arg()22Arg(k222arctan),2,1,0(24kkkii2)43arg()43Arg(k234arctan),2,1,0(34arctan)12(kk21例4求的三角表示式与指数表示式.31iz解：22(1)(3)2rz,argz设,13tanxy则又因为位于第II象限，31iz所以,32argz于是31iz222(cossin)33i232ie22例5将复数sincos1i化为指数形式.解：2221cossin2sin2sincos222sinsincos2222sincossin222222sin2iiiiie23例6用复数方程表示:（1）过两点zj=xj+iyj(j=1,2)的直线；oxy(z)Lz1z2z解：z=z1+t(z2-z1)（-∞t+∞）24（2）中心在点(0,-1),半径为2的圆.2)(iz解：251.3复数的乘幂与方根1.3.1乘积与商的几何意义定理1两个复数乘积的模等于他们模的乘积；两个复数乘积的辐角等于他们辐角的和.即对任何两个非零复数，下面两个等式同时成立.；三角表示式设则有指数表示式设，则21,zz||||||2121zzzz2121)(ArgzArgzzzArg),sin(cos),sin(cos22221111irzirz)]sin()[cos(21212121irrzz212211,iierzerz)(212121ierrzz26几何意义：将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍.定理1可推广到n个复数的乘积.1oxy(z)1zz1z222z227定理2两个复数的商的模等于它们模的商；两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角的差.三角表示式设则有指数表示式设，则有),sin(cos),sin(cos22221111irzirz)0()]sin()[cos(112121212rirrzz212211,iierzerz)0(1)(121212rerrzzi28试证：三角形的内角的和等于.证：设三角形的三个顶点分别为321,,zzz；对应的三个顶角分别为,,，于是有：213132121323arg,arg,argzzzzzzzzzzzz.291323121231312zzzzzzzzzzzzkzzzzzzzzzzzz2argargarg323121231312由公式有：由三个是内角容易得到：301.3.2复数的乘幂设为正整数，个非零相同复数的乘积，称为的次幂，记为，即若，则有当时，得到著名的棣莫弗(DeMoivr)公式：nnzznnz个nnzzzz)sincosirz（1rnininsincos)sin(cos)sin(cosninrznn31例1求.4)1(i解：因为，12[cos()sin()]44ii所以。4)]sin()[cos(4)1(4ii例2已知，，求。.iz31iz324281zz解：因为，iz312cos()sin()66iiz32552cos()sin()66i32)620sin()620cos(2)68sin()68cos(2484281iizz所以，)628sin()628cos(24i)31(8i33问题给定复数z=rei，求所有的满足ωn=z的复数ω.nz记,,zeni由设iinnree有)(2,Zkknrn1.3.3.复数的方根当z≠0时，有n个不同的ω值与相对应，每一个这样的ω值都称为z的n次方根，nznkinnerz2)2sin2(cosnkinkrn)1,,2,1,0(nk34例1计算i1解：因为，1i)43sin()43cos(2i所以1i)1,0(2243sin2243cos24kkik即)83sin83(cos2402iw)85sin85(cos2412iw351.4区域1.4.1、区域的概念邻域平面上以为中心，（任意的正数）为半径的圆：内部的点的集合称为的邻域，而称由不等式所确定的点集为的去心邻域.内点、外点、边界点若点集E的点存在一个邻域全含于E内，则称为E的内点；若点存在一个邻域和E没有任何公共点，则称为E的外点；若点的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称为E的边界点.||0zz0z||00zz0z0z0z0z0z0z0z36E的所有边界点组成的点集，称为E的边界.聚点、孤立点设E是一个点集，若平面上的一点（不必属于E)的任意邻域都有E的无穷多个点，则称为E的聚点或极限点；若属于E，但非E的聚点，则称为E的孤立点.开集、闭集若点集E的点皆为内点，则称E为开集；若点集E的每个聚点皆属于E，则称E为闭集.0z0z0z0z37区域、闭域平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：1）D是一个开集；2）D是连通的，就是说D中任意两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.区域加上它的边界称为闭域。有界集、无界集若有正数M，对于点集E内的任意点，都有，即若E全含于一圆之内，则称E为有界集，否则称E为