第1章张量分析基础

-1-张量分析与连续介质力学教材：《TheMechanicsandThermodynamicsofContinua》M.E.Gurtin,E.Fried,L.Anand.CambridgeUniversityPress,2010教学参考书：1、《AnIntroductiontoContinuumMechanics》,M.E.Gurtin,AcademicPress,1981.（中译本：郭仲衡等译，连续介质力学引论，高等教育出版社，1992）2、《连续介质力学基础》，熊祝华等，湖南大学出版社，19973、《连续介质力学基础》，黄筑平，高等教育出版社，20034、《非线性连续介质力学》，匡正邦，上海交大出版社，2002-2-xvy第一章张量分析基础第一节矢量和张量代数一、矢量代数本课程只在三维欧氏空间内讨论连续介质力学的基础原理。1、点——反应一定的空间位置，由x表示2、矢量——具有大小和方向且满足一定规则的空间实体，用v来表示。（两点间的距离可由一矢量表示）（点x和矢量v之和是另一个点y）3、矢量的点积和叉积1）点积（为两个矢量间的夹角）u表示矢量的大小，为一标量，有uuu。-3-2）叉积wvu（为一新的矢量）vu表示由u和v构成的平行四边形的面积。sinvuvu且uw，vw3）混合积wvuwvu表示由u，v和w三个矢量围成的体的体积。如果该体的体积不为零，则称u，v和w线性无关。如果对于不为零的常数a，b，c，有：0wvucba则称u，v和w线性相关。不满足线性相关的矢量则是线性无关的。-4-4、矢量空间及其性质由欧氏空间中对应的点构成的矢量形成的空间称为矢量空间。如果u，v和w是线性无关的，则wv,u,构成矢量空间的基，即中任一矢量都可以表示为：wvua1）如果0wvu，则基wv,u,是正向的（右手法则）。2）如果cba和wvu是同号的，则两组基cb,a,和wv,u,是同向的。3）如果和，则基wv,u,是正交的，且u，v和w是单位矢量。矢量的相等定义：1）若对于所有的矢量v，有vbva，则ba；2）若对于所有的矢量v，有vbva，则ba。子空间的定义：对于矢量子集合中的任意矢量u和v以及任意的标量和，如果线性组合vu也属于，则称矢量子集合为子空间。-5-例：的子空间有0，过原点的线，过原点的面以及本身。回顾：矢量运算的基本定律。①矢量和：满足交换律uvvu结合律wvuwvu②数乘：满足分配律uuubaba（a，b为实数）vuvuaaa结合律uuabba③矢量的点积：满足交换律vuvuaaa分配律vfufvuf正定性0uu，当且仅当0u时0uuSchwartz不等式vuvu④矢量的叉积：满足分配律vfufvuf二重叉积wvuvwuwvu⑤混合积：记为wvuwvuwvu有uvwvwuwuvvuwuwvwvu-6-5、Cartesian坐标系（直角坐标系）Cartesian坐标系由一个原点和一组正向的正交基321e,e,e构成。基矢间满足：ijjiδeeijkkjiεeee（i，j，k=1，2，3）ijδ为Kronecker函数，有jijiij01δijkε为置换符号，定义为如果指数重复3,2,11,3,22,1,3kj,i,3,1,22,3,11,2,3kj,i,ε011ijk6、求和约定及矢量和点的分量表示Einstein求和约定：两个相同的指标表示对（1,2,3）遍历求和，即-7-这两个相同的指标称为哑标（dummyindex），可用任意两个相同的指标表示，即：矢量的分量表示：（j=1,2,3）ju则称为u关于Cartesian坐标系基矢的分量，也可以写成：以此类推，可将点x的坐标写成：矢量运算的分量表示：-8-ε-δ恒等式：二、张量代数1、张量的定义由若干坐标系改变时满足一定坐标转换关系的有序数组成的集合定义为张量。例如：由9个有序数组成的集合3,2,1,jiTij，在坐标转换时满足3,2,1','''''jiTCCTklljkiji，则ijT就是一个张量（二阶张量）。kiC'为系数转换矩阵。上式中自由指标的个数与所乘坐标转换系数的次数相等，称为张量的阶数。在n维空间中，m阶张量应是mn个数的集合。-9-2、二阶张量的线性变换性质Gurtin等将二阶张量理解为矢量空间之间的线性变换，即认为一个张量S将矢量u线性映射为另一个矢量v，即有：S张量的线性特性可以体现在：张量相等：当且仅当对任意矢量v，TvSv成立时，有TS。同样，对任意矢量a和b，当且仅当S=T时，有TbaSba由此可定义张量S和T之和S+T以及张量S和标量的乘积S为：（对任意v）可证明S+T和S也都是二阶张量。3、几种特殊张量1)零张量和单位张量：0，10v=0-10-1v=v2)两矢量的张量积：张量vu定义为uwvwvu（对所有w）。也就是说张量vu将任意矢量w映射为矢量u的一个标量乘积，即：uwv。3)投影张量张量将任意矢量u映射为u在e上的投影，即：而张量将任意矢量u映射为u在垂直于e的面内的投影，即：则张量和称为投影张量。4)球张量若1S，1为单位张量，则称S为球张量。4、张量的分量定义张量S的分量Sij为：-11-或则有：5、张量的转置，对称和反对称张量张量S的转置张量ST是具有如下性质的唯一张量：（对任意v，u）进而有：对称张量：若S=ST则张量S是对称张量。反对称张量：若S=-ST则张量S是反对称张量。-12-定义分别为S的对称部分和反对称部分。对任意张量S，有6、张量的乘积一般来说，。如果，则称张量S和T互为对易（commute）。张量的乘积满足：另可定义：S2=SS-13-有：7、矢量叉积，反对称张量的轴矢量矢量w的叉乘w×是一个二阶张量，定义如下：=v（对任意u）因为，所以：。因为，所以：。对任一反对称张量Ω，存在一个唯一的矢量ω，使得：则称ω为Ω的轴矢量，即：-14-（对任意u）可得：利用恒等式，有：8、张量的秩，偏张量张量的秩是一种给每一个张量S赋予一个标量值即trS的线性运算，其满足：根据线性运算特性，有：trS=Sii有如下一些等式：-15-若张量S为反对称张量，则trS=0。偏张量：对某一张量S，若trS=0，则称S是偏张量（或无秩张量）。为张量的偏张量部分；为球张量部分。则有：9、张量的内积，张量的大小张量的内积：-16-性质：（当且仅当S=0时，S:S=0）张量的大小：若S为对称张量，W为反对称张量，则有：，即S和W是正交的。对任一张量T，有：同样，对球张量S和偏张量D，有：对任一张量T，有：-17-几个有用的恒等式：对任意T，若：S是对称张量，则W是反对称张量，则S是偏张量，则10、可逆张量若则称S-1为张量S的逆，S为可逆张量。1）两个可逆张量S和T的积ST也是可逆张量，即2）若S为可逆张量，则有：-18-11、张量的行列式对任一张量和任一基{uvw}，比值都是相等的。由此可定义张量的行列式（determinant）为：（{uvw}为任一基）则detS表示由Su，Sv，Sw和u，v，w分别构成的两个平行六面体的体积比。性质：①当且仅当detS≠0时，S才是可逆的。②③若S是可逆的，则具体计算：-19-12、正交张量（OrthogonalTensors）如果对任意矢量u和v，如果vuQvQu成立，则称张量Q是正交的。令v=u，则有uQu。这说明正交张量Q对矢量u的作用并不改变u的长度。令vu,为两个非零矢量u和v间的夹角，QvQu,为变换后的矢量Qu和Qv间的夹角，则由上式可得：则正交张量Q对两个矢量间的夹角也不产生影响。正交张量Q的一些基本性质：①张量Q为正交张量的一个必要条件是：QT=Q-1②③④若detQ=1，则Q表示旋转变换；若detQ=-1，则Q表示镜面反射变换。-20-13、张量的矩阵表示张量的乘积，转置以及求张量的秩和行列式等与矩阵运算具有一一对应关系。可以在一定基ie的基础上，将矢量和张量写成矩阵形式。例如：则：①-21-②③④三、谱定理，Cayley-Hamilton定理，极分解定理1、张量的特征值，特征向量，谱定理如果有一个单位矢量e，使得：Se=ωe成立，则称标量ω是张量S的特征值，-22-e称为与ω对应的特征矢量。如果S是对称张量，且其特征值21，则对应的特征矢量e1和e2相互垂直，即：也就是说：对于一个对称张量S，对应于不同特征值的特征矢量间是正交的。谱定理：令S是对称张量，则存在一个完全由S的本征矢量构成的标准正交基{ei}并且可将S写成：（*）其中i为S对应于特征矢量ei的特征值。（*）式也称为张量S的谱分解，该分解当且仅当S的特征值均不同时成立。张量S的特征空间（由特征向量构成的线性空间）的集合特性取决于S不同的特征值的数目：①如果S的特征值均不同，则S的三个特征空间是三条过原点O的相互垂直的直线li，ii//el；-23-②如果S有两个不同的特征值，即：则，此时的特征空间有两个：一是过原点O平行于e1的直线l1，一是过O点垂直于e1的平面∏。③如果，则即张量S为球张量。此时每一个单位矢量都是S的特征向量，而S只有一个单一的特征空间，即整个矢量空间。张量的特征值表示：与张量S的本征矢量基{ei}相关的矩阵形式为对角阵，即有：2、对称正定张量的均方根，极分解定理-24-①正定张量的定义：对于任意矢量u≠0，如果0Cuu，则张量C为正定张量。如果张量C是对称、正定的，则对i的任一固定选择，有0iiiCee（对i不求和）也就是说，对称正定张量的特征值是正的；或者反过来，特征值为正的对称张量是正定张量。若C是对称正定张量，则：detC0；对任意旋转R，RCRT是对称正定的；可以找到一个唯一的对称正定张量U，使得U2=C，即：CU。C为C的方根。由：可得：-25-即对称正定张量的方根也是对称正定张量。推理：如果F是一个可逆张量，则FTF和FFT都是对称正定的。极分解定理：令F是一个可逆张量，且detF0，则存在两个对称正定张量U，V和一个旋转张量R，使得：成立，并且这样的分解是唯一的。令F=RU为右极分解，而F=VR为左极分解。证明（略）3、张量的不变量，Cayley-Hamilton方程如果和e是张量S的特征值和对应的特征向量，则有：-26-因此，S–1不是可逆的，则det(S–1)=0，且S张量的每一个特征值必须是多项式方程032213aaa的实数解。方程的系数1a，2a和3a是S的函数，特征方程可写成：其中S1I，S2I和S3I则是张量S的不变量，有若S是对称的，则可由特征值表示上述不变量，即：-27-另，对称张量S，有：则eeSeeS3322可推出，对张量S的每一个特征向量e，可得：则此即为张量S的Cayley-Hamilton方程，其为特征方程的张量类推。-28-第二节矢量和张量分析一、微分（differentiation）1、标量的函数微分设标量t的一个标量、矢量、点或张量函数为t，定义该函数对标量t的微分为：则对点函数tx，有：-29-由于差thtxx是一个矢量，则导数tx是一个矢量函数。考虑一个固定的正交基矢{ei}，则对矢量函数tv和张量函数tT有：对于矢量和张量函数，其对标量变量的求导可参照标量函数的求导法则，即有：-30-对于非零的张量函数tA，有：另，对可逆张量函数tF，有：-31-对正交张量函数，有和是反对称