第1章矢量与张量

《张量分析》TensorAnalysis自从爱因斯坦1915年发表广义相对论的著名论文以来，张量分析在理论物理中占有突出重要的地位。以后张量分析在理论物理学发展中起了重要作用。同时，反过来，来自物理学（相对论，场论）的概念也促进了张量分析的发展。近二十年来连续介质力学的发展又重复着同一历史。今天不熟悉张量分析的人阅读连续介质力学的文献是困难的，有时甚至是不可能的。张量分析与微分几何学的一些分支已经渗透到连续介质力学中来。正如FlÜgge所说，有了张量分析，连续介质力学就如鱼得水。教材：《张量分析》―黄克智、薛明德、陆明万，清华大学出版社内容安排：1.矢量和张量2.二阶张量3.张量函数4.曲线坐标张量分析5.曲面上的张量分析6.张量对参数t的导数7.张量分析在固体力学中的应用举例要求：掌握一定的计算能力，一定量作业，选择讲解考核：开(闭)卷考试信箱：//mail.163.com用户：[e-mail]密码：zhoucw第1章矢量与张量1.1矢量及代数运算3981  2.?      3.1.,,,,,1.1.1uvvuuvw0uvw一些物理量，由分量组成（速度、力个分量；应力、应变个分量；弹性系数、柔度系数个分量），物理量本身是个客观量，不随观察者的观察角度而变，但其分量在不同的坐标系相同的模，相同的方向中取不同的。一个矢量值。平移后这个矢量不变。黑体字表示矢量，模表示长度相等矢量和矢量和交换律:结合律矢量()()uvwuvw:12121             ()? 5.?     :(),()     ()6.,,  ,,7.?     IIIiiiababaaaababaaaawuvwuwvuuuuvuvuuuuuu0uvvu线性相（无）关：是（否）存在一组非全为零的数，使交换律:分配律:正定性数乘分配律结合律:线性相（无）关点积 :?    Schwartzuu0uu0u0uvuv，若不等式: 8.    sin(,);, xyzxyzuuuvvvijkwuvuvuvuvuvuvvuuvwuvuwuvwuwvuvwuvwuvw组成的平行四边形面积交换律:分配律：三重积：无结合律：叉积作业练习；9.    ,,,,,,,,,,,,,,,,,,xyzxxxxyzyyyxyzzzzuuuuvwvvvuvuvwuvwuvwuvwvwuwuvvuwuwvwvuuuuvuwuvwuvwvuvvvwwuwvww混合积2221.2cos1.1.2cababC举例2.?coscoscossinsincosA求证3.用矢量叉积表示刚体上任一点的线速度1.2斜直角坐标系1212212121Einstein1.2.1xxPPPPggPgggg坐标系下的基矢（不一定是单位矢）、、平面问题求和约定：哑指标，上、下成对出现，遍历求和PPPPPPgggPgggPggPgee定义对偶参考矢量：－协变基矢量，－逆变分量（－逆变基矢量，－协变分量（）笛卡尔坐标系：，不用区分上、下指标，）1231231.2.2iiiiiirrrrddxxxrggggrrrg矢径协变（自然）基矢量的定义：定义：，三维问题123[,,]jjiigggggg（正实数）逆变基矢量的定义:1231231cos11[,,][,,]iiggggggggg1232331122331121231111(()iiijijijjjijjiijijijijjiiijijjijgggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg在系下分解：度量张量在系下分解：度量张量协、逆变坐标系之间的相互表示:由定义由度量张量进行指标升降将，将，，，，，（）)，22123123(4)23det()[,,]det()[,,][],[],1,kjjkjikiikijijijiikmijkjjmnmijlknmijlkggggggggpppgppgpuvuvuvguvgggggggPgguv矩阵互逆（）（）1.3曲线坐标系ix1.3.1曲线坐标系与局部基矢量1.P点位置用固定点O至该点矢径r表示；2.r可由3个独立参数确定：与空间所有点1－1对应，就是曲线坐标系；3.不是r在在固定坐标系中的投影长度：4.与1-1对应：123(,,)xxxrrix()ix()ix()ix123123()()()iiiXxXxXxxxxrijkijk()iX()jkXxdet0,det0ijijXxxX01231235.lim6.?       iiiiiiiixiiiiiiiijjddxdxxxxXXXxxxxxxxXXXrrgrrgggijkgijk曲线坐标系基矢量定义大小、方向均随空间位置变化7.与笛卡尔坐标系之间的关系：12312312312312,,sincossinsincosxrxxxxxxxxxxxxxrijkijk22221221221.1.3am0amijijiiiéggdsddAdxAdxAdxAg?rr正交系中线元的长度平方正交曲线坐标系与L常数：－L常数1.4坐标转换121.4.11.4.2jjiiiijjjkkikkijijiiijijijijijjiijiijiijiijjjxxxxuuuuuugggggggggggg．协变转换系数：．逆变转同一物理量，在不同坐标系换系数：中分量不同，研究分量之间的关系基矢量的转换关系，，，，矢量分量的转换系数1.4.3,jiijjijjiijklijijklijijklkluuuuugggg，，度量张量分量的转换系数1.5并矢与并矢式n2Proj()()()();():1.5.11fffnnnnffnnnnfnnfabTTabccab=cababc=abcabcfn举例：界面单位面积上的力矢量与内力状态和切面均有关（）对截面的拉伸作用：定义：并矢，的分量为、分量遍历互乘，扩维。对于任意矢量有：多并矢并矢（）()()();()()();()()Tmmmmdabababababcabcabcabcabacabcdacadbcbdabbaabba结合律:分配律:无交换率：，(,:1.5.2=)1.5.3,ijkijkAadbcuabuababuabuuababuabuvbuavabuvabuvaabcdabcdabcdAabcdadbc：并矢中，某两个矢量进行点积缩维，新分量乘系数：原并矢分量的和并矢与矢量点积：并矢与并矢点积：并矢并矢双点积：缩并缩并并矢的点积与双点积1.5.4ubvabuvabuvavbu矢量相等：其分量在同一组基下必然相等并矢相等：其分量在同一组基下必然相等并矢相等1.6张量的基本概念9,,,, 1.6.11.6.2ijmniiijijmnmnmnijijmniinmjmjnTijTijTijmnxxTTTTTTT，若干个分量(如个)组成的集合，坐标变换时分量满足转换关系:下，分量为，在坐标系下，分量为之间满足：逆变分量：协变分量：混变分量：实体表示：；分量表示：张量定义表示方法 1.6.3iijjjiijijijijTTGGggGgggg；并矢表示：度量张量：定义：指标升降2123, ,,1//ijjiijjijkkiiiijijjjijijijijiijjjiijGGGGGGGGGGgGGGGggggggg性质：在斜直线坐标系中是常数，在曲线坐标系中是坐标的函数。对称：互逆：行列式值：指标升降基矢量指标升降：，（度量张量的元素实际上就是协、逆基矢量相互线性分解的系数）矢量、//?                              ijiijiijjjjiijimjnijnmjijimnjimnnmnjnimnmimjpppGppGpTTGGTGGTTGGTPggTgggggggg分量指标升降：，张量分量指标升降：1.7张量的代数运算 ijijijiiiijijijjjjjkkiiiijijjjijijiiijijjjUTSUTSUTSGGGGTSTSTSUTSTTS相等：，在同一坐标系中的逆变（协变、混变）分量一一相等。相加：，在同一坐标系中的逆变（协变、混变）分量一一相加。互逆：标量与张量相乘：、、、、ijijiiijijjjijlijjijlkijlkijlkkkijklkijlkijlkTkSTkSTkSUTSTSTSUTSUTSTSSTUggggggggggggST、、（每一个分量乘）张量与张量的并乘：、、（并乘是扩维，新张量的分量是两个相乘张量所有分量相乘的组合）张量的缩并：123123iiiikkkkijklijlkijkikklijkljikjikiSTTTTTSgggggggggg（缩并是降维，新张量的分量是原张量分量的和：）(),,ijklrsttrsklijtrsrstijrskltijlsktkltijrskltijsijtklrsijtklrqklrsijtklrsijqTSUTSTSTSTSGTggggSgggUgggTSggggggggggggTUgggggggggggg张量的点积先并乘后缩并：ˆˆˆˆ:stijtrlksklrsijtijrskltijkltijtkltijrskltijtijijrskltijlktijtkltijrskltijtijTSGTSTSWTSTSVgggggggTSgggggggggggggTSggggggggggggg1213ijklklijjiklklijjiklklijTTTTggggSggggRgggg张量的转置：、指标转置：、指标转置：(,,,,)01212ijklklijijjiklklijjiiiklklklTTTijklmqTTTTTTTggggATTBTT设一组数的集合如果与任意一个阶张量的内积（缩并）对称化和反对称化：对称：反对称：（反对称张量中，对角分量为零：）对称化：反对称化：商法则：，3311(,,,,)(,,,,)(,,,,)lmijkijklmlmpTijklmSUUTijklmSTijklmqp为一个阶张量：即必定组成一个阶张量。，，1.8张量的矢积1.8.1置换符号与行列式展开式1.置换符号（Ric