第1篇线弹性系统的振动(2015-9-21)

1《机械振动学》（研究生学位课48学时）学习内容：PartⅠ.线弹性系统的振动Chapter1.多自由度系统的振动分析Chapter2.弹性体的振动分析Chapter3.多自由度系统的特征值、特征向量计算Chapter4.振动分析的数值方法PartⅡ.随机振动Chapter1.随机过程概论Chapter2.随机过程的时域分析Chapter3.随机过程的频域分析Chapter4.系统的响应函数Chapter5.系统的随机振动分析Chapter6.结构随机响应的安全评估2PartⅢ.系统的参数识别（4学时）主要参考文献：【1】季文美等，《机械振动》，科学出版社，1985.【2】郑兆昌等，《机械振动》(上册、中册)，机械工业出版社，1980.【3】Meirovitch.L,ElementofVibrationAnalysis,McGrow-Hill.1978.3PartⅠ线弹性系统的振动线弹性系统的特点：（1）系统的弹性恢复力与其位移x成线性关系，即：恢复力=kx，其中k为刚度系数；系统的运动阻力大小与其速度x成线性关系，即：阻力=xc，其中c为阻尼系数。（2）线性迭加原理恒成立。Chapter1多自由度系统的振动研究对象：多自由度系统-----有限多自由度的离散系统离散系统-----其动力学模型（方程）是以集中参数（刚度、惯性和阻尼）的形式表出，其中弹性元件只具有弹性，而无惯性和阻尼；惯性元件只具有质量（或转动惯量），而无弹性和阻尼；阻尼元件只会产生阻尼力，而不具有弹性和惯性。研究的数学工具：常微分方程、线性代数§1.系统的运动微分方程§1.1方程的形式对于n个自由度系统，其振动微分方程的最一般形式为:()()()()MXtCXtKXtFt(1)其中：(),(),()XtXtXt分别为系统的位移、速度和加速度列阵；()Ft为作用于系统的干扰力列阵；M为系统的质量矩阵、C为系统的阻尼矩阵、K为系统的刚度矩阵。4方程（1）表明：在任意时刻，系统中的惯性力、阻尼力和弹性恢复力三者之和恒与作用于系统的干扰力处于平衡状态。故此方程在力学上称之为动力学平衡方程，在数学上称之为二阶常系数线性非齐次的微分方程组，在振动学上称之为阻尼受迫振动方程。一般对于线弹性系统，其矩阵M、C和K均为实对称矩阵，即：TM=M，TC=C、TK=K说明：在以后的讲解中为书写简便，记时变列阵为：{()}Xt={}X，{()}{}XtX,{()}{}XtX,{()}{}FtF。方程（1）的三种特殊形式：1）若系统无干扰，即F=0，则方程(1)退化成为：XKXCXM0（2）式（2）为称为阻尼衰减自由振动方程（在初始干扰下的振动响应规律的描述）。2）若系统无阻尼，即C=[0]，则方程(1)退化成为:..{}MXKXF（3）式（3）称为无阻尼受迫振动方程（忽略阻尼的理想系统）。3）若系统既无干扰又无阻尼，即F=0，C=[0]，则方程(1)退化成为：..{}0MXKX（4）式（4）称为无阻尼自由振动方程，该方程是振动方程中的最简形式。由此可见：M和K是系统产生机械振动两个不可或缺的最基本的因素。5§1.2建立方程的方法1牛顿第二定律及其推论（质心定理、动量矩定理、动静法等）--理论力学中的方法，适用于质点系和刚体系。例1.图示三自由度（弹簧-质量-阻尼器）系统：以系统的静平衡位置为坐标原点，取坐标1,2,3xxx，在系统运动的任意位置取分离体，画出各分离体的受力图如下：由牛顿第二定律，即：iifxm对1m则有：1111221112211fmxkxkxxcxcxx对2m则有：fxxcxxcxxkxxkxm223312223312222对3m则有：fxxcxxkxm3233233336将以上方程组整理，并利用矩阵形式可表为：fffxxxkkkkkkkkkxxxcccccccccxxxmmm3213213333222213213333222213213210000000000简记为：MCKXFXX由此可见：系统的M、C、K矩阵均为实对称的矩阵。2．影响系数法（柔度法、刚度法）---结构力学中的方法，适用于具有集中质量的弹性体作自由振动的情况。（1）柔度法：通过弹性体的柔度影响系数，建立系统位移（变形）与外力之间的关系式（即结构力学中的力法）。例2.图示具有2个集中质量的简支梁，现考虑其在铅垂平面内的自由振动。已知该梁的截面抗弯刚度为EJ，其中E为弹性模量，J为梁截面的惯性矩。设在集中力f1、f2作用下m1、m2处的挠度分别为x1、x2。由结构力学中的力法方程，将原位移x1、x2分解为图示两组位移111,121rffr和12222,2rffr的迭加，即得正则方程（位移方程）为：711121122212212ffxrrrrffx若以矩阵形式表示为：ffrrrrxx212221121121（5）简记为：fRx---位移方程其中R为系统的柔度矩阵，其元素rij称为柔度影响系数，它表示仅在系统的第j个坐标上作用单位力，在第i个坐标上引起的位移。由位移互易定理（麦克斯韦尔定理），有：jiijTRRrr对于诸柔度影响系数rij，可以通过在某点处单位力作用下其他各点处的位移实测或位移计算获得。例如对图示的简支梁，由材料力学中梁的变形计算可知：当分别在i和j点处作用单位力时，各点处的挠度即柔度影响系数分别为：22222()(,1,2)3()(,1,2)6iiiiijijijjilijEJllijEJlllrllllrr若此梁作自由振动，则梁上的作用力只有惯性力，由动静法（达朗贝尔原理），则有：xmfiii（i=1，2），代入位移方程（5）中，经整理，得：800....0021212122211211xxxxmmrrrr（6）即有：0xxMR---以柔度矩阵表出的系统自由振动方程。（2）刚度法通过弹性体的刚度影响系数，建立外力与位移（变形）之间的联系（结构力学中的位移法）。例3同例2由结构力学中的位移法，即将原作用力if（i=1，2）分别分解为图示两组作用力111121,kkxx和122222,kkxx的迭加，即可得正则方程（力方程）为：xkxkfxkxkf22212122121111以矩阵表示为：xxkkkkff212221121121（7）简记为：xKf---力方程其中K表示系统的刚度矩阵，其元素kij称之为刚度影响系数，它表示仅使9第j个坐标上产生单位位移，则需在第i个坐标上施加的力。由此力学含义，kij可以通过单位位移计算获得。由反力互易定理:ijjiTKKkk若此梁作自由振动，则作用于梁上的力只有惯性力，即：xmfiii，（i=1，2），代入方程（7）中，经整理则有：000021222112112121xxkkkkxxmm（8）简记为：0xkxm关于K、R矩阵的讨论：①K为正定或半正定阵，即0K证明：用1{}2Tx左乘方程（7）的两端，则有：由线性代数可知：即非负二次型U对应的矩阵K应为正定阵或半正定矩阵。若系统的约束充分，即无刚体运动，则K为正定阵；若系统的约束不足，定有刚体运动，则K为半正定阵。U11{}{}2201{}02TTWTxfxKxWWUxKx外力之功系统的弹性势能10②矩阵K与R之间的关系对于同一问题，虽以柔度矩阵R和刚度矩阵K表出的系统自由振动微分方程在形式上有所不同，但两者振动的物理本质是相同的，其原因在于它们所描述的是同一系统的自由振动规律。事实上，矩阵R与K二者之间是可以相互转化的；若将方程（6）改写成为：xMRx，并代入方程（8）中，则有：0xMRKxM，0IKRMx[0],MKRI即有：1RK，K与R互为逆阵，两者的物理含义（刚度和柔度）是反向的。若系统存在着刚体运动（即约束不足），则系统对应的刚度矩阵[K]为半正定阵，此时即有0K的可能，在这种情况下其系统刚度矩阵的逆阵1KR将不再存在。因此，对于正定或半正定的弹性体系统，其K恒存在，但对于半正定系统，其R将再不存在。3．拉格朗日方程方法---分析力学中的方法这是利用广义坐标、广义力，以能量的观点来研究系统的动力学问题，从而该方法具有较大的普遍性，它适用于任何复杂的多自由度系统。关于拉氏方程的推导，可参阅季文美《机械振动》P318。对于n自由度的系统，其拉氏方程的最一般形式为：11jjjjjdTTUdtQqqqq（j=1，2……n）（9）其中：qj、qj表示第j个自由度的广义位移和广义速度12TTMqq12nnijijjiqqm为广义坐标下系统的动能1122nnTijijijUqKqqqk为广义坐标下系统的势能qqcqCqjininjijT2121为广义坐标下系统的瑞利耗散函数Qj为作用在第j个广义自由度上的非势力（重力之外的力）由此拉氏方程可导出多自由度系统振动微分方程的一般形式（阻尼受迫振动方程）。若系统无阻尼，即[0]C，则显见：0。若系统为保守系统（机械能守恒），则0，0jQ（j=1，2……n）（无非势力）。对拉氏方程应用的三点说明：（1）若以系统的静平衡位置为势能零点，则U中只需计及系统的弹性势能；（2）计算T时需用各自由度的绝对速度；（3）阻尼力与相对速度成正比。例4同例1的三自由度弹簧—质量系统解：用拉氏方程建立系统的运动方程：12取:x1、x2、x3为广义坐标，以系统的静平衡位置为势能零点；系统的动能为：222123112233111222TmxmxmxTTT（各自由度的绝对速度）系统的势能为：22332122211321)(21)(2121xxkxxkkUUUxU（只有系统的弹性势能）系统的耗散函数为：.1122222133212xccxxcxx（阻尼力与相对速度成正比）系统的非势广义力：jjQf（j=1,2,3）将以上各式代入拉氏方程（9）jjjjjdTTUdtfxxxx（j=1，2，3）经求导运算得系统的运动方程同前（以矩阵形式表出）：fffxxxkkkkkkkkkxxxcccccccccxxxmmm321321333322221321333322221321321000000例5自由转子系统（半正定系统），用拉氏方程建立系统的运