第1讲数学文化

欧柳曼广东财经大学数学与统计学院非线性分析选讲2三句耐人寻味的话一个人不识字可以生活，但是若不识数，就很难生活了。一个学科，只有当它成功地运用数学的时候，才算达到了成熟的程度。一个国家科学的进步，可以用它消耗的数学来度量。开课的初衷无论是文科还是理科的大学生，虽然学了多年的数学，仍然对数学的思想、精神了解得很肤浅，对数学的宏观认识和总体把握较差。而这些数学素养，反而是让人终生受益的精华。数学素养才使人终身受益!开课的初衷数学素养才使人终身受益!一个人的学历教育中，从小学一年级到大学一年级，一般要学十三年的数学课程，只有语文课能与之相比；但许多人并未因为学的时间长就掌握了数学的精髓。相反，大多数学生仍然对数学的思想、精神了解得较肤浅，对数学的宏观认识和总体把握较差，数学素养较差；甚至误以为学数学就是为了会做题、能应付考试，不知道“数学方式的理性思维”的重大价值，不了解数学在生产、生活实践中的重要作用，不理解数学文化与诸多文化的交汇。开课的初衷现在的中学数学教学，较多地让学生做习题，却较少地让学生想问题。在做习题中，又较多地在操作层面上训练解题方法，而较少地在思维层面上培养数学素养。特别是为了应付考试，教师在教学活动中，往往先把自己变成“类型题”的有效解题者和熟练操作工，再努力把学生也变成“类型题”的有效解题者和熟练操作工。大学教师常常感到，中学输送来的“好学生”，很会做初等数学中的习题，但不大善于“学数学”。开课的初衷实际上，学生毕业后走入社会，如果不是在与数学相关的领域工作，他们学过的具体的数学定理、公式和解题方法可能大多用不上，以至很快就忘记了；而他们有所欠缺的数学素养，反而是数学让人终生受益的精华。一位数学教育家说，不管人们从事什么工作，深深铭刻在头脑中的数学的思想精神、数学的思维方法和看问题的着眼点等，都会随时随地发生作用，使人们终生受益。开课的初衷而现在大学里的“高等数学”课，由于各种原因，也常常采取重结论不重证明、重计算不重推理、重知识不重思想的讲授方法。在此希望这一门公共选修课——“非线性分析选讲”能够带给同学们一些重要的数学的思想、精神和方法；提高学生的数学素质，也提高学生的文化素质和思想素质。开课的初衷“数学素养”的通俗说法—把所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西从数学角度看问题的出发点；有条理地理性思维，严密地思考、求证，简洁、清晰、准确地表达；在解决问题时、总结工作时，逻辑推理的意识和能力；对所从事的工作，合理地量化和简化，周到地运筹帷幄。开课的初衷9“数学素养”的专业说法摘自数学学科专业发展战略研究报告——教育部高等学校“数学与统计学教学指导委员会”●主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质的素养；●熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己数学思想的素养；●具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素养；●对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多角度探寻解决问题的方法的素养；●善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。开课的初衷社会也重视人才的数学素养各高校的“保送生”考试和“自主招生”考试出题，往往从数学素养着眼。（高考的改革，也希望从能力和素养入手，考察学生的综合素质）一些企业招聘员工的考试，往往与数学素养有关。10开课的初衷开课的初衷有两个人赛跑,甲到达100米终点时,乙才跑到90米.现在如果让甲的起跑线退后10米,这时两人同时起跑比赛,问比赛结果将怎样?为什么?某企业招聘员工的一道题(给大家半分钟的时间,可以交头接耳,可以在纸上画,半分钟后我来提问)社会重视数学素养某外企招考员工的又一道题有三个筐，一个筐装着柑子，一个筐装着苹果，一个筐混装着柑子和苹果。装完后封好了。然后做了“柑子”、“苹果”、“混装”三个标签，分别往上述三个筐上贴。由于马虎，结果全都贴错了。请你想一个办法，只许从某一个筐中拿出一个水果，就能够纠正所有的标签。开课的初衷(给大家半分钟的时间,可以交头接耳,可以在纸上画,半分钟后我来提问)老师让6名学生围坐成一圈，另让一名学生坐在中央，并拿出七顶帽子，其中四顶白色，三顶黑色。然后让七名学生都戴上眼罩，并给每个学生戴一顶帽子；再只解开坐在圈上的六名学生的眼罩。这时，由于坐在中央的学生的阻挡，每个人只能看到五个人的帽子。老师说：“现在，你们七人猜一猜自己戴的帽子颜色。”大家静静地思索了好大一会。最后，坐在中央的、被蒙住双眼的学生说：“我猜到了。”问：中央的被蒙住双眼的学生带的是什么颜色的帽子？他是怎样猜到的?开课的初衷某外企招考员工的又一道题七人猜七顶帽子提示：遮挡开课的初衷七人猜七顶帽子某外企招考员工的又一道题老师让6名学生围坐成一圈，另让一名学生坐在中央，并拿出七顶帽子，其中四顶白色，三顶黑色。然后让七名学生都戴上眼罩，并给每个学生戴一顶帽子；再只解开坐在圈上的六名学生的眼罩。这时，由于坐在中央的学生的阻挡，每个人只能看到五个人的帽子。老师说：“现在，你们七人猜一猜自己戴的帽子颜色。”大家静静地思索了好大一会。最后，坐在中央的、被蒙住双眼的学生说：“我猜到了。”问：中央的被蒙住双眼的学生带的是什么颜色的帽子？他是怎样猜到的?○○○○开课的初衷○○○(给大家1分钟的时间,可以交头接耳,可以在纸上画,但先不让学生回答问题,我们要由简至繁来发现规律)简化为:三人猜三顶帽子老师让2名学生围坐成一圈，另让一名学生坐在中央，并拿出三顶帽子，其中两顶白色，一顶黑色。然后让三名学生都戴上眼罩，并给每个学生戴一顶帽子；再只解开坐在圈上的2名学生的眼罩。这时，由于坐在中央的学生的阻挡，每个人只能看到一个人的帽子。老师说：“现在，你们三人猜一猜自己戴的帽子颜色。”大家静静地思索了好大一会。最后，坐在中央的、被蒙住双眼的学生说：“我猜到了。”问：中央的被蒙住双眼的学生带的是什么颜色的帽子？他是怎样猜到的?○○开课的初衷○发展为:五人猜五顶帽子老师让4名学生围坐成一圈，另让一名学生坐在中央，并拿出五顶帽子，其中三顶白色，两顶黑色。然后让五名学生都戴上眼罩，并给每个学生戴一顶帽子；再只解开坐在圈上的4名学生的眼罩。这时，由于坐在中央的学生的阻挡，每个人只能看到三个人的帽子。老师说：“现在，你们五人猜一猜自己戴的帽子颜色。”大家静静地思索了好大一会。最后，坐在中央的、被蒙住双眼的学生说：“我猜到了。”问：中央的被蒙住双眼的学生带的是什么颜色的帽子？他是怎样猜到的?○○○○开课的初衷○回到:老师让6名学生围坐成一圈，另让一名学生坐在中央，并拿出七顶帽子，其中四顶白色，三顶黑色。然后让七名学生都戴上眼罩，并给每个学生戴一顶帽子；再只解开坐在圈上的六名学生的眼罩。这时，由于坐在中央的学生的阻挡，每个人只能看到五个人的帽子。老师说：“现在，你们七人猜一猜自己戴的帽子颜色。”大家静静地思索了好大一会。最后，坐在中央的、被蒙住双眼的学生说：“我猜到了。”问：中央的被蒙住双眼的学生带的是什么颜色的帽子？他是怎样猜到的?（答：中央的学生戴的是白色帽子；右侧是其中一种情况；另外的情况是什么）●●●○○○○开课的初衷七人猜七顶帽子○○○○○○○19老师让6名学生围坐成一圈，另让一名学生坐在中央，并拿出七顶帽子，其中四顶白色，三顶黑色。然后让七名学生都戴上眼罩，并给每个学生戴一顶帽子；再只解开坐在圈上的六名学生的眼罩。这时，由于坐在中央的学生的阻挡，每个人只能看到五个人的帽子。老师说：“现在，你们七人猜一猜自己戴的帽子颜色。”大家静静地思索了好大一会。最后，坐在中央的、被蒙住双眼的学生说：“我猜到了。”问：中央的被蒙住双眼的学生带的是什么颜色的帽子？他是怎样猜到的?（答：中央的学生戴的是白色帽子；右侧是另外的一种情况如右）●●●○○○○开课的初衷回到:七人猜七顶帽子微软公司招考员工的一道面试题一个屋子里面有五十个人，每个人领着一条狗，而这些狗中有一部分病狗。假定有如下条件：1、狗的病不会传染，也不会不治而愈；2、狗的主人不能直接看出自己的狗是否有病,只能靠看别人的狗和推理，来发现自己的狗是否有病；3、一旦主人发现自己的狗是一只病狗，就会在当天开枪打死这条狗；4、狗只能由他的主人开枪打死。如果他们在一起，第一天没有枪声、第二天没有枪声……第十天发出了一片枪声，问有几条狗被打死？（不是“脑筋急转弯”！）开课的初衷着力提高数学素养数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的。教师在数学教学中，不但要向学生传授数学知识，更要让学生体会数学知识中蕴涵的数学文化，了解“数学方式的理性思维”，提高学生的数学素养。开课的初衷1.《数学文化》，顾沛，高等教育出版社2.《数学文化》，张楚廷，高等教育出版社3.《非线性科学基础与应用》，魏诺，科学出版社，20044.《混沌—开创新科学》，[美]詹姆斯·格雷克，高等教育出版社，19985.《对称与复杂——非线性科学的魂与美》（影音版），KlausMainzer，科学出版社（北京），2007参考教材不迟到、不说话、不影响别人；每堂课抽点10－15个名；病假、事假宽松；旷课是严重的。纪律要求考核与评分1.平时成绩占30％写读书报告1篇点名随堂作业2.开卷的期末考试占70％欧柳曼广东财经大学数学与统计学院第一讲数学文化主要内容12数学是什么?数学的魅力（1）数学的“定义”（2）数学的特点1数学是什么?（1）数学的“定义”0恩格斯：数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。随着时间的推移，数学大大发展了，诸如事物的结构、数理逻辑等，都成为数学的研究对象；这些似乎不能包含在上述定义中。人们在寻找数学的新“定义”。但是，要给数学下个定义，并不那么容易。至今难以有关于“数学”的、大家取得共识的“定义”。（美）R·柯朗（《数学是什么》）：“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。”1数学是什么?（法）E﹒波莱尔：“数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对得唯一的一门科学。”（英）罗素：“数学是所有形如p蕴含q的命题的类”，而最前面的命题p是否对，却无法判断。因此“数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。”哲学说符号说科学说工具说逻辑说创新说直觉说集合说结构说（关系说）模型说活动说精神说审美说艺术说万物皆数说数学的15个“定义”1数学是什么?哲学说亚里士多德：“新的思想家把数学和哲学看作是相同的。”古希腊，亚里士多德、欧几里得等人，《几何原本》：点是没有部分的那种东西；线是没有宽度的长度。牛顿在《自然哲学之数学原理》的序言中说，他是把这本书“作为哲学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来”。1数学是什么?B.Demollins:“没有数学，我们无法看透哲学的深度，没有哲学，人们也无法看透数学的深度，而若没有两者，人们就什么也看不透。”哲学是研究最广泛的事物，数学也是研究最广泛的事物，这是它们的共同点。但是，数学与哲学的研究对象不同，研究方法也不同。两者虽有相似之处，但数学不是哲学的一部分，哲学也不是数学的一部分。现在有人说“哲学从一门学科中退出，意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成熟。1数学是什么?1数学是什么?•符号说：数学是一种高级语言，是符号的世界。•科学说：数学是精密的科学，“数学是科学的皇后”。•工具说：“数学是其它所有知识工具的源泉”。•逻辑说：数学推理依靠逻辑，“数学为其证明所具有的逻辑性而骄傲。”•创新说：数学是一种创新，如发现无理数，提出微积分，创立非欧几何。•直觉说：数学的基础是人的直觉，数学主要是由那些直觉能力强的人们推进的。1数学是什么?•集合说：数学各个分支的内容都可以用集合论的语言表述。•结构说（关系说）：强调数学语言、符号的结构方面及联系方面，“数学是一种关系学”。•模型说：数学就是研究各种形式的模型，如微积分是物体运动的模型，概率论是偶然与必然现象的模型，欧氏几何是现实空间的模型，非欧几何是非欧空间的模型