第2章-21-212离散型随机变量的分布列

2.1.2离散型随机变量的分布列●三维目标1.知识与技能(1)理解有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．(2)掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．(3)理解两点分布和超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用．2．过程与方法通过具体实例，感受现实生活中的数学原型，经历概念的形成过程，体会概念的内涵．3．情感、态度与价值观体会数学来源于生活，也应该服务于生活，增强学习数学的兴趣．●重点、难点重点：离散型随机变量分布列的概念、表示方法及性质．难点：两点分布和超几何分布．教学时引导学生结合学习过的概率，来理解离散型随机变量分布列的概念及性质，通过例题与练习加深对其的理解，通过观察、比较、分析找出两点分布和超几何分布的特点及区别，以强化重点，化解难点.课标解读1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质．2．会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．3．理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用.离散型随机变量的分布列【问题导思】掷一枚骰子，所得点数为x，则x可取哪些数字？x取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示x与p的对应关系吗？【提示】(1)x＝1,2,3,4,5,6，概率均为16.(2)x123456p161616161616离散型随机变量分布列(1)定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnP……这个表格称为离散型随机变量X的，简称为X的．为了简单起见，也用等式，i＝1,2，…，n表示X的分布列．p1p2pipn概率分布列分布列P(X＝xi)＝pi(2)性质：①pi，i＝1,2，…，n；②i＝1npi＝.≥01两个特殊分布【问题导思】(1)在同时抛掷两枚骰子的随机试验中，令Y＝0向上点数之和为奇数；1向上点数之和为偶数.试写出随机变量Y的分布列；(2)某人从含2个不合格骰子的4个骰子中任取2个同时抛掷，经过大量试验，发现“向上点数之和X”的各频率值与概率值相差很大，这意味着什么，试分析此现象发生的可能性大小？【提示】(1)Y01P0.50.5(2)这意味着2个骰子中至少有一个是不合格骰子，其中有1个不合格骰子的概率是P1＝C12C12C24＝23，有2个不合格骰子的概率是P2＝C22C24＝16，所以此现象发生的可能性为23＋16＝56.两个特殊分布(1)两点分布X01P若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝为成功概率．1－ppP(X＝1)(2)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝minM，n，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.X01…mP…如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.CkMCn－kN－MCnNC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnNCmMCn－mN－MCnN分布列的性质及应用设随机变量X的分布列PX＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求PX≥35；(3)求P(110X710)．【思路探究】首先可以由P(X＝k5)＝ak及分布列的性质求出a的值，再分别去求P(X≥35)和P(110X710)．【自主解答】题目所给分布列为X1525354555Pa2a3a4a5a(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝115.(2)P(X≥35)＝P(X＝35)＋P(X＝45)＋P(X＝55)＝315＋415＋515＝45，或P(X≥35)＝1－P(X≤25)＝1－(115＋215)＝45.(3)因为110X710，所以X＝15，25，35.故P(110X710)＝P(X＝15)＋P(X＝25)＋P(X＝35)＝115＋215＋315＝25.1．本例利用方程的思想求出常数a的值．2．利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意i＝1npi＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.已知随机变量X的分布列如下表：X12345P115215x41513则x的值为________，P23X92＝________.【解析】根据分布列的性质115＋215＋x＋415＋13＝1，解得，x＝15.当23X92时，X＝1,2,3,4.∴P23X92＝1－P(X＝5)＝1－13＝23.【答案】1523两点分布袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝0，两球全红；1，两球非全红.求X的分布列．【思路探究】X只有两个可能取值，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，最后列出表格的形式即可．【自主解答】由题设可知X服从两点分布P(X＝0)＝C25C215＝221，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝1921.∴X的分布列为X01p2211921两步法判断一个分布是否为两点分布(1)看取值：随机变量只取两个值：0和1.(2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布．篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.85，求他一次罚球得分的分布列．【解】由题意，结合两点分布的特征可知，所求分布列为X01P0.150.85超几何分布袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X的分布列，并求至少有一个红球的概率．【思路探究】先写出X所有可能的取值，求出每一个X所对应的概率，然后写出分布列，求出概率．【自主解答】X＝0,1,2,3，X＝0表示取出的3个球全是黑球，P(X＝0)＝C35C38＝1056＝528，同理P(X＝1)＝C13·C25C38＝3056＝1528，P(X＝2)＝C23·C15C38＝1556，P(X＝3)＝C33C38＝156.∴X的分布列为X0123P52815281556156至少有一个红球的概率为：P(X≥1)＝1－528＝2328.超几何分布的求解步骤(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”，“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．(2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义．(3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为ξ的分布列．【解】设随机变量ξ表示取出次品的件数，则ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.ξ的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为P(ξ＝0)＝C02C313C315＝2235，P(ξ＝1)＝C12C213C315＝1235，P(ξ＝2)＝C22C113C315＝135.所以ξ的分布列为ξ012P22351235135离散型随机变量分布列的应用(12分)袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的概率分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率．【思路点拨】解答本题(1)利用古典概型公式求解即可；解答本题(2)的关键在于确定X的所有可能取值；解答本题(3)由题意知计算介于20分到40分之间的概率等于X＝3与X＝4的概率之和，由(2)易得其概率．【规范解答】(1)法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23.4分法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件，2分因为P(B)＝C15C22C18C310＝13，3分所以P(A)＝1－P(B)＝1－13＝23.4分(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.5分P(X＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130.6分P(X＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215.7分P(X＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310.8分P(X＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815.9分所以随机变量X的概率分布列为X2345P13021531081510分(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝215＋310＝1330.12分离散型随机变量分布列问题融合了排列、组合，古典概型、互斥事件、对立事件的概率等知识，是较强的综合应用．1．求离散型随机变量的分布列时应注意以下几点(1)确定离散型随机变量的分布列的关键是搞清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．(2)在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确．2．解决超几何分布问题的关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同m时的概率P(X＝m)，从而求出X的分布列．1．下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的是()A.X012P0.30.40.5B.X012P0.3－0.10.8C.X1234P0.20.50.30D.X012P0.30.30.3【解析】选项A、B、D不满足分布列的性质．【答案】C2．一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于C122C14＋C222C226的是()A．P(0X≤2)B．P(X≤1)C．P(X＝1)D．P(X＝2)【解析】结合题意，当X＝1时，P(X＝1)＝C122C14C226，当X＝0时，P(X＝0)＝C222C226，故P(X≤1)＝C122C14＋C222C226【答案】B3．设离散型随机变量X的概率分布列为X－10123P110m1101525则P(X≤2)＝________.【解析】P(X≤2)＝1－25＝35.【答案】354．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝0，摸出白球，1，摸出红球.求X的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的分布列．【解】(1)X的分布列如下表：X01P3747(2)X的分布列如下表：X01P1767课后知能检测(九)点击图标进入…某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．【思路探究】(1)先分析不进货包括哪些情况，再运用互斥事件的概率加法公式求出概率；(2)分析确定出X的可能取值，再用概率加法公式求出对应的概率．【自主解答】(1)P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；P(X＝3)＝P(当天商