第2章数学模型.

第二章控制系统数学模型[e-mail]本章提纲第一节控制系统的时域模型第二节控制系统的复数域数学模型第三节控制系统结构图与信号流图小结第二章控制系统数学模型控制系统数学模型：描述系统各变量之间关系的数学表达式。静态模型：代数方程动态模型：微分方程时域：微分方程、差分方程和状态方程复数域：传递函数、结构图频域：频率特性方法：分析法与实验法例1图2-1所示R-L-C电路中，R、L、C均为常值，ur(t)为输入电压，uc(t)为输出电压，输出端开路。要求列出uc(t)与ur(t)的方程关系式。（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式：(2.1)d1d()driLRiituttC图2-1R-L-C电路2.1控制系统的时域数学模型一、线性元件的微分方程或（2）式中i是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系：(2.2)1()dcutitC（3）消去式(2.1)、式(2.2)的中间变量i后，便得输入输出微分方程式：22d()d()()()ddcccrututLCRCututtt(2.4)(2.3）式中T1=LC，T2=RC为电路的两个时间常数。当t的单位为秒时，它们的单位也为秒。图2-1电路的传递系数为1。式(2.3)或式(2.4)是线性定常系统二阶微分方程式，式中左端导数项最高阶次为2。22d()d()()()ddcccrututLCRCututttT1T2例2弹簧—质量—阻尼器系统图2-2表示一个弹簧—质量—阻尼器系统。当外力f(t)作用时，系统产生位移y(t)，要求写出系统在外力f(t)作用下的运动方程式。f(t)是系统的输入，y(t)是系统的输出。列出的步骤如下：（1）运动部件质量用M表示.（2）列出原始方程式。根据牛顿第二定律，有：一、线性元件的微分方程图2-2弹簧—质量—阻尼器系统（3）f1(t)和f2(t)为中间变量，找出它们与其它因素的关系。阻尼器阻力与运动方向相反，与运动速度成正比，故有：2122d()()()dyftftftMt式中f1(t)——阻尼器阻力；f2(t)——弹簧力。(2.5)(2.6)1d()()dytftBt式中B——阻尼系数。设弹簧为线性弹簧，则有：f2(t)=Ky(t)(2.7)式中K——弹性系数。（4）将式(2.6)和式(2.7)代入式(2.5)，得系统的微分方程式:式中M、B、K均为常数，此机械位移系统为线性定常系统。式(2.8)还可写成:22d()d()()()ddytytMBKytfttt(2.8)(2.8a)22d()d()1()()ddMytBytytftKtKtKBBTK2MMTK则有(2.8b)222d()d()1()()ddMBytytTTytftttK令TB和TM是图2-2所示系统的时间常数。1/K为该系统的传递系数，其意义是：静止时系统的输出与输入之比。列写微分方程式时，输出量及其各阶导数项列写在方程式左端，输入项列写在右端。由于一般物理系统均有质量、惯性或储能元件，左端的导数阶次总比右端的高。例3.(a)线路原理图(b)图2-3电枢电压控制的直流电动机磁场固定不变（激磁电流If=常数），用电枢电压来控制的直流电动机。控制输入为电枢电压ua，输出轴角位移q或角速度w为输出，负载转矩ML变化为主要扰动。求输入与输出关系微分方程式。一、线性元件的微分方程（1）不计电枢反应、涡流效应和磁滞影响；当If为常值时，磁场不变，电机绕组温度在瞬变过程中不变。（2）列写原始方程式。首先根据克希霍夫定律写出电枢回路方程式如下：ddaaaeaiLRiKutw式中La——电枢回路总电感（亨）；Ra——电枢回路总电阻（欧）；Ke——电势系数（伏/弧度/秒）；w——电动机角速度（弧度/秒），；ua——电枢电压（伏）；ia——电枢电流（安)。(2.9)又根据刚体旋转定律，可写运动方程式式中J——转动部分转动惯量（公斤·米2）；ML——电动机轴上负载转矩（牛顿·米）；Md——电动机转矩（牛顿·米）。（3）Md和ia是中间变量。电动机转矩与电枢电流和气隙磁通的乘积成正比，磁通恒定，有:ddLdJMMtwdmaMKi(2.10)(2.11)式中Km——电动机转矩系数（牛顿·米/安）。（4）将式(2.11)代入式(2.10)，并与式(2.9)联立求解，整理后得：(2.13)(2.12)22dd1ddddaaaaLaLememeememLJRJRLMuMKKtKKtKKKKKt22dd1ddddmamLammaLeTTTMTTTuMttKJJt或式中Tm——机电时间常数，（秒）；Ta——电动机电枢回路时间常数，一般要比Tm小，amemRJTKKaaaLTR（秒）。式(2.13)是电枢电压控制的直流电动机微分方程式。其输入为电枢电压ua，输出为角速度w，负载转矩ML扰动输入。ML变化会使w随之变化，对电动机的正常工作产生影响。若输出为电动机的转角q，则按式(2.13)有:式(2.14)是一个3阶线性定常微分方程。3232ddd1dddddmamLammaLeTTTMTTTuMtttKJJtqqq（2.14）2.1控制系统的时域数学模型建立控制元件微分方程式的一般步骤如下：(1)在条件许可下适当简化，忽略一些次要因素，根据元件的工作原理及其在系统中的作用，确定系统输入与输出。(2)根据物理或化学定律，列出元件的微分方程。(3)列出原始方程式中中间变量与其它因素的关系式。这种关系式可能是数学方程式，或是曲线图。(4)消去中间变量，就得元件的输入输出关系方程式，即元器件的时域数学模型。二、控制系统微分方程''''ccigigmMKuKdtduKdtdTww2u1uiuaumwwtu三、线性系统的基本特性叠加原理叠加性和齐次性两个外作用同时加于系统产生的总输出等于各外作用分别产生的输出之各，且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样倍数。例2-6如图RLC电路。已知L=1H,C=1F,R=1欧，求突然接通电源时电容电压的变化规律。四、线性定常微分方程求解0.1,(0)0.1,()1oiuViAutV解：)(tui)(0tu22d()d()()()ddcccrututLCRCututtt)(tui)(0tu)(0tu)(0tu四、线性定常微分方程求解解：)(tui)(0tu22d()d()()()ddcccrututLCRCututtt)(tui)(0tu)(0tu)(0tu突然接通电源可视为阶跃输入，ssUttui1)(),(1)(即零初始条件响应零输入响应四、线性定常微分方程求解解：)(tui)(0tu22d()d()()()ddcccrututLCRCututtt)(tui)(0tu)(0tu)(0tu若突然接通电源又突然断开，可视为脉冲输入，1)(),()(sUttui即拉氏反变换，系统输入为：四、线性定常微分方程求解解：)(tui)(0tu的终值为：)(0tu五非线性微分方程的线性化为什么要线性化非线性系统的性质比线性系统要复杂得多哪种非线性系统可以线性化连续可导的非线性系统如何进行线性化使用小偏差法斜率kyx0x0y0连续可导的非线性特性本质非线性特性0yx+M-M五非线性微分方程的线性化小偏差理论具有连续变化的非线性函数)(xfyA[x0，y0]为预定工作点，则该非线性函数可以线性化的条件是变量x偏离预定工作点很小000()()[()]()xxdyxyxyxxxdxxxx000[()]xxdkyxdxykx0ykx0线性化步骤：yyxyx()()0（3）变量替换，写出线性方程：（1）在工作点将y(x)展开为一阶泰勒级数：（2）写出增量方程：)()(202210110xxkxxkyy),(112010xxxfk),(222010xxxfk),,(02010yxx为预定工作点，则其在预定工作点附近的线性化方程为),(21xxfy为连续可导的非线性函数当例：铁芯线圈电路如图a，其磁通与线圈电流之间的关系如图b,试写出以输入ur与输出i的电路微分方程例：试写出以输入ur与输出i的电路微分方程例：试写出以输入ur与输出i的电路微分方程将带入得：(1)(2)(3)设预定工作点A[u0，i0],则：小结本质非线性系统不可以作线性化工作点邻域的线性化方程是增量方程不同的工作点，不同的线性化系数，有不同的线性化方程。六运动模态设n阶微分方程特征根的为,则函数n,,,21tttneee,,,21，称为该微分方程所描述运动的模态若微分方程有多重根,则模态函数为,,22ttette若有共轭复根，则其共轭模态函数为：wjteteeetttjtjwwwwcossin,)()(与或写成实函数形式：与作业：2-3，2-42.1控制系统的时域数学模型问题：以微分方程作为系统的数学模型，当系统的参数变化时，系统的运动如何分析？2.２控制系统的复数域数学模型一、传递函数1.传递函数的定义与性质2.列写传递函数的方法3.典型环节的传递函数1.传递函数的定义线性定常系统的传递函数定义为在零初始条件下，系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。设线性定常系统由下述n阶微分方程描述：1110111101ddd()()()()dddddd()()()()dddnnnnnnmmmmmmactactactacttttbrtbrtbrtbrtttt式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，a0，a1，…，an；b0，b1，…，bm是与系统结构参数有关的常系数。令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时拉氏变换，可得到s的代数方程：[ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0]C(s)=[bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0]R(s)一、传递函数的概念由传递函数的定义，线性定常系统的传递函数：11101110()()()()()mmmmnnnnbsbsbsbCsMsGsRsasasasaDs式中M(s)=bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0为传递函数的分子多项式；D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0为传递函数的分母多项式。传递函数是在初始条件为零（或称零初始条件）时定义的。控制系统的零初始条件有两方面的含义，一系统输入量及其各阶导数在t=0时的值均为零；二系统输出量及其各阶导数在t=0时的值也为零，系统处于稳定的工作状态。一、传递函数的概念一、传递函数的概念例：求RLC无源网络的传递函数Uc(s)/Ur(s)。解：根据克希霍夫定律，可列写如下微分方程：令初始条件为零，拉氏变换得：传递函数的性质(1).传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m低于或等于分母的阶数n(m≤n)，且所有系数均为实数。(2).传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用及初始条件无关，只表示输入输出间的关系，也不反应系统内部任何信息。(3).传递函数与微分方程具有相通性.(4).传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t).传递函数的性质例.系统的单位阶跃响应为：试求系统的传递函数与脉冲响应。解1.由传递函数定义：脉冲响应为：传递函数的性质例.系统的单位阶跃响应为：试求系统的传递函数与脉冲响应。解2.由线性系统性质，脉冲响应为：传递函数为：二、传递函数的零极点(1)传递函数的零、极点分布表征了系统的动态性能。将分子多项式及分母多项式因式分解后，可写为如下形式：式中z1,…,zm为传递函数分子多项式方程的m个根，称为传递函数的零点；p1,…,pn为分母多项式方程的n个根，称为传递函数的极点。一般zi,pi可为实数，也可为复数，且若为复数，必共轭成对出现。Kg=b0/a0称为传递系统或根轨