第2章第9节函数模型及其应用.

函数、导数及其应用第九节函数模型及其应用知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练最新考纲：1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练知识自主落实知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝___________．(2)反比例函数模型：y＝____(k≠0)．(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b＞0，b≠1，a≠0)型．(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1，m≠0)型．(6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)型．知识梳理kx＋b(k≠0)kx知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练2．三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性______________________________增长速度越来越快越来越慢相对平稳大小比较存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax单调递增单调递增单调递增知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大()(2)幂函数增长比直线增长更快()(3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√学情自测知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练2．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是()A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000)B．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000)D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)解析：选D.y＝0.2x＋(4000－x)×0.3＝－0.1x＋1200.(0≤x≤4000)知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练3．(2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.p＋q2B．p＋1q＋1－12C.pqD.p＋1q＋1－1解析：选D.设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p＋1)(q＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(p＋1)(q＋1)，解得x＝p＋1q＋1－1.知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练4．(2013·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．解析：设矩形花园的宽为ym，则x40＝40－y40，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20m时，面积最大．答案：20知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练5．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价收费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练解析：设出租车行驶了xkm，付费y元，由题意得y＝9，0＜x≤3，8＋2.15×x－3＋1，3＜x≤8，8＋2.15×5＋2.85×x－8＋1，x＞8.当x＝8时，y＝19.75＜22.6，因此由8＋2.15×5＋2.85×(x－8)＋1＝22.6得x＝9.答案：9知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练典例探究突破知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练(1)(2015·聊城模拟)某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差()一次函数与二次函数模型知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练(2)(2014·北京卷)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A．10元B．20元C．30元D.403元知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D.4.25分钟【思路点拨】(1)先根据函数图象设出两种方式的函数解析式，再利用解析式求解．(2)先把三组实验数据代入函数关系式，解方程确定关系式，再由二次函数配方法求函数取最大值时的条件．知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练【解析】(1)依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，又sA(100)＝sB(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元，选A.(2)根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4，0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得0.7＝9a＋3b＋c，0.8＝16a＋4b＋c，0.5＝25a＋5b＋c，知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练消去c化简得7a＋b＝0.1，9a＋b＝－0.3，解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.0.所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－15t2－152t＋22516＋4516－2＝－15t－1542＋1316，所以当t＝154＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．【答案】(1)A(2)B知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练【规律方法】求解一次函数与二次函数模型问题的关注点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练解析：选C.设售价定为(90＋x)元，卖出商品后获得利润为：y＝(90＋x－80)(400－20x)＝20(10＋x)(20－x)＝20(－x2＋10x＋200)＝－20(x2－10x－200)＝－20[(x－5)2－225]，∴当x＝5时，y取得最大值，即售价应定为：90＋5＝95(元)．变式训练1将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个()A．115元B．105元C．95元D．85元知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m＞0)．(1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．【思路点拨】(1)解关于2t的一元二次方程求解．(2)分离参数，转化为恒成立问题求解．指数函数模型知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练【解】(1)若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝22t＋12t，当θ＝5时，2t＋12t＝52，令2t＝x(x≥1)，则x＋1x＝52，即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝12(舍去)，此时t＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，亦m·2t＋22t≥2恒成立，亦即m≥212t－122t恒成立．令12t＝x，则0＜x≤1，∴m≥2(x－x2)，由于x－x2≤14，∴m≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是12，＋∞.知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练【规律方法】1.指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．2．应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．解指数不等式时，一定要化为同底，且注意对应函数的单调性．知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练变式训练2(2014·湖北八市3月联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为：P＝P0e－kt(k，P0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么，至少还需过滤多长时间才可以排放．()A.12小时B．59小时C．5小时D.10小时知识自主落实典例探究突破方法反思感悟能力培养探究第二章函数、导数及其应用高考夺冠·高考总复习·数学(理)限时达标层级练解析：选C.设