第2章连续信号的时域分析

第二章连续信号的时域分析1第二章连续信号的时域分析所谓信号的时域分析，指的是整个分析过程都在时间域内进行，分析过程中所有的信号都用以时间t为自变量的时间函数表达式或时间波形图表示。本章首先介绍几个典型的连续时间信号，以及对这些信号的基本运算。此外，连续信号的卷积积分也是信号与系统时域分析中的基本运算，本章将详细介绍卷积积分的定义及其运算方法。2.1基本要求1．基本要求了解基本的连续信号及其相关参数和描述；了解信号的基本运算；掌握阶跃信号和冲激信号的定义、性质及作用；掌握卷积积分的定义、性质及计算。2．重点和难点冲激信号的定义及性质含有阶跃和冲激函数的信号的求导和求积分运算卷积积分的计算2.2知识要点1．基本的连续信号了解正弦信号、实指数信号、复简谐信号、门信号及抽样函数信号的函数表达式、时间波形及其相关参数。2．信号的基本运算从数学意义上看，系统对信号的处理和变换就是对信号进行一系列的运算。一个复杂的运算可以分解为一些基本运算的组合。本章主要了解信号的加减乘除运算、翻转平移和尺度变换、微积分等几种基本的运算。所有运算既可以利用信号的时间函数表达式进行，也可以在时间波形图上进行运算。注意与数学上相关运算的区别。这里强调，作为信号基本运算之一的积分运算，运算结果得到的是一个新的以t为自变量的函数，具体表示符号和定义为tftfd)()()1(（2-1）信号与系统学习指导23．阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号是对实际系统中的某类信号进行理想近似后得到的两个特殊信号，这两种信号用于描述一类特殊的物理现象，对于信号特性和系统性能的分析，起着十分重要的作用。阶跃信号和冲激信号的时间波形如图2-1所示。在信号与系统的分析过程中，经常利用阶跃函数将分段信号的时间函数表达式统一为一个解析表达式，以简化信号的运算。利用阶跃函数还可以方便地表示因果、非因果信号等。由于阶跃函数和冲激函数是两个特殊的函数，因此在进行求导和求积分等运算时，必须根据其定义和性质对函数表达式进行分析，以便化为普通函数的运算。本节公式较多，这里再将几个常用的公式和结论总结如下：（1）单位斜变信号的导数等于单位阶跃信号，单位阶跃信号的导数等于单位冲激信号，即[()](),()()tutututt（2-1）（2）单位冲激信号的积分等于单位阶跃信号，单位阶跃信号的积分等于单位斜变信号，即(1)(1)()()d(),()()d()tttutututut（2-2）此外，有)(0d)(000-0ttAuttttAtAt（2-3）（3）对冲激信号取定积分，结果等于冲激的强度，即AttAd)(（2-4）（4）冲激信号的性质：)(||1)(taat（尺度变换性质）（2-5）()()tt（奇偶性质）（2-6）)()()()(000tttftttf（筛选性质）（2-7）4．卷积积分卷积积分主要用于在时域中求解系统在给定输入作用下的零状态响应。这里首先介绍了卷积积分的三种计算方法，即定义法、图解法和性质法。本课程重点掌握根据卷积积分的定义和性质计算卷积积分的方法。卷积积分的定义式为Au(t-t0)tA(t-t0)tA0t0t0A0图2-1第二章连续信号的时域分析3-2121d)()()(*)()(tfftftftf（2-8）卷积积分的几个主要性质总结如下：设12()()*()ftftft则1212()()*()()*()ftftftftft（微分性质）（2-9）(1)(1)(1)1212()*()()*ftfftftf（积分性质）（2-10）(1)(1)1212()()*()()*()ftftftftft（微积分性质）（2-11）011021()()*()ftttfttftt（时移性质）（2-12）2.3补充例题例2-1已知下列信号的时间函数表达式，分析并画出其时间波形。（1）1()()(1)ftutut（2）2()(1)(1)()fttuttut解（1）根据阶跃信号的定义可知1,0()0,0tutt，1,1(1)0,1tutt则当t0时，u(-t)=1，u(1-t)=1，所以f1(t)=1-1=0；当0t1时，u(-t)=0，u(1-t)=1，所以f1(t)=0-1=-1；当t1时，u(-t)=0，u(1-t)=0，所以f1(t)=0-0=0。最后得到11,01()0,0tftt（2）根据阶跃信号的定义可知1,1(1)0,1tutt，1,0()0,0tutt则20,1()1,1011,1tftttttt根据以上分析得到f1(t)和f2(t)的时间波形如图2-2所示。说明：在分析和绘制信号波形时，如果信号的时间函数表达式中含有阶跃函数，则信tf1(t)-1012图2-2tf2(t)10-1信号与系统学习指导4号的波形一般是分段的。因此必须根据阶跃函数的定义对信号的时间函数表达式进行分析，写成为分段函数的形式，再分别分析和绘制各段的时间波形。分析时，其中的阶跃信号一般是由基本的单位阶跃信号进行一些基本运算而得到。图2-3分别为单位阶跃信号经过翻转、平移后得到的时间波形。例2-2写出图2-4中信号f(t)的解析表达式。解信号f(t)的分段函数表达式为2(1)1,1()e,1ttftt则其解析表达式可表示为2(1)()(1)e(1)tftutut说明：引入阶跃函数以后，分段信号中的各段可以用一个表达式同时表示，而不用写成为分段函数的形式。这样不仅可以在一定程度上简化表达式，也便于根据表达式对信号进行运算。列写的一般方法是：首先得到分段函数表达式，然后将每段表示为12()[()()]iftuttutt的形式。其中fi(t)为第i段的函数表达式，t1和t2分别为第i段的起始时刻。如果t1=-，则u(t-t1)=u(t+)=1；如果t2=+，则u(t-t2)=u(t-)=0。然后将各段的上述表达式直接相加即得到信号总的时间函数表达式。例2-3写出图2-5所示信号的解析表达式。解从左向右各段的表达式分别为12()(1)[(1)()]()(1)[()(1)]fttututfttutut则12()()()(1)[(1)()](1)[()(1)](1)(1)2()(1)(1)ftftfttututtututtuttuttut例2-4已知f(t)的波形如图2-6（a）所示，分析并画出f(1-2t)的波形。tu(-t)10图2-3tu(t-1)101tu(t+1)10-1tu(1-t)11000.20.40.60.8102468图2-4t01f(t)t2e1图2-5tf(t)10-11第二章连续信号的时域分析5解法一：利用表达式进行变换。首先得到f(t)的表达式为()(1)[()(1)]ftttutut则(12)(121)(12)[(12)(121)](22)(12)[(12)(2)]0.5(1)(12)[(12)(2)]ftttututttututttutut根据阶跃信号的定义可得0,00,102,002,1)2(5.0,05.0,1021,0021,1)21(tttttutttttu则(12),00.5(12)[(12)(2)]0,tttutut其它根据以上分析得到f(1-2t)的波形如图2-6（b）所示。法二：根据波形图进行变换。由f(t)得到f(1-2t)，首先经过翻转得到f(-t)，再左移t0得到f[-(t+t0)]=f(-t0-t)，然后进行伸缩变换得到f(-t0-at)。将最后的结果与要求的结果f(1-2t)比较可知，其中a=2，t0=-1。因此，第二步实际上应是右移1得到f(1-t)，第三步再压缩1/2得到f(1-2t)。各步变换的结果依次如图2-7所示。说明：将信号变换得到一个新的信号，如果其中同时需要经过翻转、平移和伸缩变换，由于每步只能画出一种变换后的波形，因此要注意三种变换的顺序。因为顺序不同，则变换过程中的参数（特别是其中平移的方向和距离）也会有所不同，中间过程中得到的波形也会有所区别。请读者采用另外几种变换顺序重新绘制。此外，本例已知的f(t)中含有冲激信号。绘制波形时，对冲激进行翻转和平移与普通函数波形相同，但是进行伸缩变换时需要用到单位冲激信号的尺度变换性质。仔细比较图中f(1-t)和f(1-2t)的波形，特别注意冲激信号的变化。（a）（b）图2-6t01f(t)11-1t01f(1-2t)0.510.5信号与系统学习指导6例2-5已知)()(ttutf，求)()(1tfty，)()()1(2tfty，并画出各信号的时间波形。解y1(t)为f(t)的一阶导数，则)()()(1tttuty再利用冲激信号的筛选性质化简得到)()(1tutyy2(t)为f(t)的一重积分，则)(21)(dd)()d()(202tuttuuftyttt信号f(t)、y1(t)和y2(t)波形如图2-8所示，分别称为单位斜变信号、单位阶跃信号和单位抛物线信号。由此可见，单位阶跃信号、单位斜变信号和单位抛物线信号依次呈积分关系，而单位阶跃信号等于单位冲激信号的积分。说明：时间函数表达式中含有阶跃函数的信号，求导后必然含有冲激，此时需要注意利用冲激函数的筛选性质将表达式化简。求积分时，如果积分函数中出现一个函数与单位阶跃函数相乘的形式，此时应根据单位阶跃函数的定义将积分的上下限进行相应的修改。之后即可将积分函数中的单位阶跃函数省略，从而化简为普通函数的积分。另外需要注意的是，为保证化简前后积分结果相同，必须在化简后的积分后面再乘以合适的单位阶跃函数。设化简后得到的积分上限和下限分别为a和b，则该单位阶跃函数为u(a-b)。再看下例。图2-7t01f(t)11t01f(-t)11-1-1t01f(1-t)112t01f(1-2t)0.510.5图2-8t0f(t)11t0y1(t)11t0y2(t)第二章连续信号的时域分析7例2-6已知)(2)(2tgtf，求)()()1(tfty。解y(t)为f(t)的一重积分，则211()()d2()d2[(1)(1)]d2(1)d2(1)d21d(1)21d(1)2(1)(1)2(1)(1)tttttttytfguuuuututtuttut请自行画出f(t)的波形，再根据波形上完成上述积分运算，并从波形图上验证上述结果。例2-7已知f1(t)和f2(t)如图2-9所示，分别求y1(t)=f1(t)、y2(t)=f2(t)及)()()1(23tytf。解根据求导就是求斜率，由波形图可以直接得到y1(t)和y2(t)，并且有y1(t)=y2(t)，波形如图2-8所示。此外，由)1()()(2tututy求得)1()1()(d)1(d)(d)]1()([)d()(23tutttuuuuuytftttt而由波形图得到)(1)1()1()(1)1()]1()([)(1)()1()1()()1()]1()([)(121tftutttututututtutftutttututututtf由此可见，)()(31tftf，而1)()(32tftf。说明：根据本例的计算结果可知，信号的微分和积分并不是完全相反的运算。也就