第2节二阶线性微分方程.

二阶线性微分方程：----(2))()()(21xfyxayxay0)()(21yxayxay)()()(21xfyxayxay----(1)若为常数)(),(21xaxa)()()()()(1)1(1)(0xfyxayxayxayxannnnn阶线性微分方程:自由项线性齐次方程:线性非齐次方程:二阶常系数线性微分方程：第2节二阶线性微分方程1.解的性质为任意常数。，的解，其中仍是则212211)2()()(CCxyCxyC为齐次方程（2）的两个解,)(),()1(21xyxy若性质)(),()2(21xyxy若为非齐次方程（1）的两个.)2()()(,21的解是则解xyxy证为齐次线性方程(2)的解，故有)(),()1(21xyxy由于0)()(12111yxayxay0)()(22212yxayxay两式分别乘以后相加，得：21,CC一.二阶线性微分方程解的结构)()()(12111xfyxayxay)()()(22212xfyxayxay0))(())(()(22112221112211yCyCxayCyCxayCyC由定义知，)()(2211xyCxyC为齐次方程(2)的解.)(),()2(21xyxy若为非齐次方程（1）的两个解，则.)2()()(21的解是xyxy两式相减即知2.函数的线性相关性：定义1对于定义在区间I上的n个函数若存在n个不全为零的数),(),(),(21xyxyxynIxxykxykxykkkknnn,0)()()(,,,221121使则称函数在I上线性相关，否则称为线性无关.)(),(),(21xyxyxyn0sincos1.),(sin,cos,1)1(:2222xxxxeg是线性相关的在.00.),(,,1)2(32123212kkkxkxkkxx内是线性无关的在定义2称阶导数上有在区间设,1I),2,1)((nnixyi)()()()()()()()()()()1()1(2)1(12121xyxyxyxyxyxyxyxyxyxWnnnnnn.Wronski)(,),(),(21行列式的为xyxyxyn上线性相关在I)(),(),(21xyxyxynI,0)(xxW.I))()(()()()(),(211221上恒等于常数在或上线性相关在xyxyxyxyIxyxy定理1I.),()(,)()()()(,)(,)(I,)(),(),(10002110000I21xxyyyxyyxyxfyxayxayyxyyxyxCxfxaxa存在唯一解初值问题的初始条件及任给则对设.0,0)()()2()(00yxyxyxyy则必有的解满足零初始条件是线性齐次方程若解，则阶线性齐次方程的两个二为若)(),(21xyxy.0)(,00xWIx使得上线性无关在区间I)(),(21xyxy定理2上线性相关在区间I)(),(21xyxy.,0)(IxxW)1()2(.,0)()(0)()()(.0)(,.)1(22110'220'11022011000kCkCxyCxyCxyCxyCxwxwIx至少有一非零解为系数行列式的方程组则以使设存在只证充分性证是齐次则令yykyky,2211.0)(,0)()2(0'0xyxy且满足初始条件的解，方程.,,0121线性相关故的结论知由定理yyy.)1()2(及反证法即可证得由定理3二阶线性齐次方程（2）必存在两个线性无关的解。.)(),(,011001)(1)(0)(0)(1)()2()(),(2100'2020'10121线性无关所以的解，则与的满足初始条件分别是方程设证xyxyxwxyxyxyxyxyxy)()(2211xyCxyCy是(2)的通解（为任意常数).21,CC证为二阶线性齐次方程（2）的)(),(21xyxy若两个线性无关的解,则定理4由性质知，)()(2211xyCxyCy为齐次方程(2)的解.两个独立的任意常数，)(),(21xyxy又线性无关保证了为21,CC为二阶线性齐次方程(2)的通解.)()(2211xyCxyCy从而定理5所对应的齐次方程(2)的通解，则)1()(为xy为非齐次方程(1)的通解。*)(yxyy设是二阶线性非齐次方程(1)的一个特解，*y证:*满足y)()()(*2*1*xfyxayxay0)()()()()(21xyxaxyxaxy:)(满足xy为非齐次方程(1)的解，又)())(())(()(*2*1*xfyyxayyxayy*yyy两式相加含有两个独立的任意常数.含有两个独立的任意常数，为(1)通解。,)2()(的通解为xy从而*yyy例1已知二阶线性方程的三个特解求满足的特解。解为对应齐次方程的两个线性无关的解，的通解为特解为：)()()(xfyxQyxPy,,21xeyxy,23xey3)0(,1)0(yyxexexx2,故)()()(xfyxQyxPyxCCeCeCxxeCxeCyxxxx)1()()(2122122131)0(1)0(221CyCCyxxeey222,121CC例2已知二阶线性方程，求该方程的通解。0642yyxyx的一个特解为31xy解代入方程，得设,)()()()(312xxuxyxuxy21,02CxCuux得其通解为xu1取22312211)()(xCxCxyCxyCy所求通解为定理6（叠加原理),)()()()(1211的特解为设xfyxayxayxy,)()()()(2212的特解为xfyxayxayxy.)()()()()()(212121的特解为则xfxfyxayxayxyxy.证略542)5()3()1(1)225(1.11P习题业作二.二阶常系数线性微分方程的解法1.二阶常系数线性齐次微分方程通解的求法)2()0(0aycybya二阶常系数线性齐次方程xrxrxrxrrxerereeey2')(,)()2(的解，将为设代入的左边得：)2(0)(22xrxrxrxrecbrarcebreear0,02cbrarerx故因特征方程：,02crbar,042acb有两个不等的实根;21rr,042acb有两个相等的实根;21rr,042acb有一对共轭复根，.,21ir其根(特征根)有三种情况：对应于特征根的三种情况，的通解有以下三种情况：)2(xrxreyeyrr212121,,)1(时为的两个线性无关的解，)2(的通解为：)2(xrxreCeCy2121xreyrr1121,)2(时0])()2([)(21111111112111211xrxrxrxrxrxrxrxreuaucbrarubaruaecueeureubeaureruaeua为二重特征根）21(rrxxuu)(,0取于是xrxreyexy1112为与线性无关的解。为的一个解，)2(为的解，代入方程得xrexuy1)(2设)2(xrexCCy1)(21的通解为)2(为两个线性无关的解，xixieyeyir)(2)(121,,,)3(时xixieCeCy)(2)(1,cos)(2121xeyyx故的复数形式的通解为)2(xeyyixsin)(2121)sincos(21xCxCeyx还是的解，且线性无关)2(的实数形式的通解为：)2()sin(cos)sin(cos)(2)(1xixeeyxixeeyxxixxi公式Euler性质例3求下列方程的通解：,032)1(yyy,02)2(yyy解特征方程：特征根：通解为：,0)1)(3(322rrrr,1,321rrxxeCeCy231解特征方程：,0)1(1222rrr特征根：,121rr通解为：xexCCy)(21,0522rr特征方程：特征根：,21,21ir通解为：)2sin2cos(21xCxCeyx.052)3(yyy解n阶常系数线性齐次方程:01)1(1)(0yayayayannnn特征方程：01110nnnnararara二阶常系数线性齐次方程求通解的方法和结论可推广到n阶常系数线性齐次方程,求出特征根后就可相应地得到方程的解.例4求方程的通解.0512104)3()4(yyyyy0512104234rrrr解特征方程：特征根：irrr21,14,321通解为：xxexCxCexCCy)2sin2cos()(43212.二阶常系数线性非齐次方程特解的求法二阶常系数线性非齐次方程:)1()(xfcyybya)()()1(xPxfm);(,0*xQycm时);(,0);(,0,02**xQxybcxxQybcmm时时为一待定的m次多项式))((xQm由观察知，的特解y*必为多项式，形式如下:)1(为几种特殊形式时的特解的方法.)()(xf一)1(方程化为以z为未知函数的方程：)()()2(xPexfmx,xezy令)()()2(2xPzcbazbazam由（1）中结论知：02cba时，上方程特解：);(*xQzm,0,022时cbaba上方程特解：);(*xxQzm,022时cbaba上方程特解：);(2*xQxzm由此得原方程的特解：,02cba不是特征根时，即;)(*xmexQy是单重特征根时，;)(*xmexxQy即,0,022时cbaba1,30)1)(3(32212rrrrrr则设,2*xeAyxxAeyAey2*2*4,2代入方程得51522AeAexx,512*xey通解为：xxxeeCeCy223151,32)1(2xeyyy解例5求下列方程的通解：,022时cbaba即是二重特征根时，.)(2*xmexQxy代入方程得设解,3)2(2xyy1,00)1(212rrrrrr则,)(2*xCBxAxyBAxyCBxAxy26,23*2*6,3,10206233,32)62(322CBABCABAxBCxABAx,)63(2*xxxy通解为：xxxeCCyx)63(221xexPxfxexPxfxmxmsin)()(cos)()(.3或定理7.)()()(),()()()()(2'''1'''2121'''21的解分别是方程的解，则是方程若复函数xfcybyayxfcybyayxyxyxifxfcybyayxiyxyy)5()()4(sin)()3(cos)()('''''''''ximxmxmexPcybyayxexPcybyayxexPcybyay].)(Im[],)(Re[)4(),3(,)()5()()()(