第3章_Jordan标准型.

第3章：Jordan标准形介绍JordanCanonicalForm第3章：Jordan标准形介绍Problem：矩阵A到底和一个多简单的矩阵相似？Solution：理想情况下：A为对角形并非所有的矩阵都可以对角化Jordan标准形理论。Jordan标准形的应用第3章：Jordan标准形介绍本章的主要结论：Theorem任何复数域上的n阶矩阵A都和一个Jordan标准形相似iiiitJJJJA11,~21其中Jordan标准形Jordan块2.1求矩阵的Jordan标准形的道路之一利用如下的流程图A(λ)=λE-A行列式因子不变因子初级因子Jordan块JA1.行列式因子:Step1:计算所有的k阶子式；Step2:求所有的k阶子式的首一最大公因式即为Dn,2000120001200012,411301621,3211:0JBAExamples12()1,(),...,()||nDDDEA高阶行列式因子可以整除低阶的行列式因子2.不变因子:,2000120001200012,411301621,3211:0JBAExamples211211()()()(),(),...,()()()nnnDDdDddDD高阶不变因子可以整除低阶的不变因子3.初级因子:对次数非零的不变因子进行因式分解，所得的一次因式的方幂即为初级因子Remark:来自于不同不变因子的一次因式不能进行合并！,2000120001200012,411301621,3211:0JBAExamples4.初级因子和Jordan块的关系:一一对应初级因子Jordanblock,2000120001200012,411301621,3211:0JBAExamples0()k0011kk:460350,361ExamplesA2.2求矩阵的Jordan标准形的道路之二利用如下的流程图A(λ)=λE-A不变因子初级因子Jordan块JASmith标准形1.矩阵及其初等变换矩阵的初等变换：•交换两行（列）；•某行（列）乘非零数；•某行（列）的多项式p()倍加到另行（列）和矩阵的初等变换差不多！(),()ijijmnAaa为多项式2.矩阵的Smith标准形•Problem:矩阵经初等变换可以变成什么样的矩阵？•Answer:Smith标准形Theorem:1()00()0()0000rdAd初等变换Smith标准形Ex1求下面矩阵的Smith标准形22221()1A3.Smith标准形和不变因子为A的不变因子；理论依据：@Theorem(P070,定理3.2.4)相似的矩阵有相同的行列式因子1()00()0()0000rdAEAd初等变换1(),...,()ndd1()1dEx2:(P071,例3.2.3)：求Jordan标准形的第二种方法2.3求相似变换的矩阵PProblem:如何求可逆阵P,使得P－1AP=J?Solution:待定系数法。Example:211212112A已知求可逆阵P,使得P－1AP=J§2.4最小多项式(minimalpolynomials)Def:矩阵多项式011m1mmmaaaa)(gEaAaAaAaAgmmmm0111)(例设754)(23g221367233AEAAAAg754)(231Cayley-HamiltonTheorem(1858)设A为n阶复方阵，f(λ)=|λE-A|，则f(A)=0Application：对矩阵多项式进行降次Example:P074例3.3.1哈密顿，W．R．(Hamilton，WilliamRowan,1805-1865)爱尔兰人．哈密顿自幼聪明，被称为神童．他3岁英语已读得非常好，4岁时是不错的地理学者；5岁时能阅读和翻译拉丁语、希腊语和希伯来语，喜欢用希腊语朗诵荷马史诗；8岁掌握了意大利语和法院，觉得英语过于平庸，用拉丁文的六韵步诗体；10岁不到开始学习阿拉伯语、梵语、波斯语；同时学习马来语、孟加拉语、古叙利亚语...；他即将学习汉语，但是太难搞到书。14岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头．主要贡献：力学、数学、光学．2矩阵的零化多项式(AnnihilatingpolynomialsofMatrices)问题：ACn×n，A0，是否存在非零多项式g（），使得g(A)=0？Definition(零化多项式)如果g(A)=0，则g()被称为矩阵A的零化多项式。Cayley-Hamilton定理保证：矩阵的零化多项式存在！3最小多项式Definition（最小多项式）mA（）是最小多项式mA（A）=0mA（）在零化多项式中次数最低。mA（）最高次项系数是1。mA（）整除任何化零多项式3最小多项式求解最小多项式方法一：最小多项式的结构P075定理3.3.4最小多项式与特征多项式有相同的根，区别在于最小多项式的根的重数比后者要低f（）=|E-A|=tstss)()()(2121nsst...1mA（）=trtrr)()()(2121iisr1例1（P076，例3.3.2）