第3章光波在非线性介质中传播的基本方程.

第3章光波在非线性介质中传播的基本方程第3章光波在非线性介质中传播的基本方程3.1光波在各向异性晶体中的传播特性3.2介质损耗对光波传播的影响3.3非线性光学耦合波方程3.4非线性介质中的场能量3.5非线性光学相位匹配习题第3章光波在非线性介质中传播的基本方程3.1光波在各向异性晶体中的传播特性3.1.1光波在晶体中传播特性的解析法描述1.晶体的介电常数张量由电磁场理论已知,介电常数是表征介质电学特性的参量。在各向同性介质中,电位移矢量D与电场矢量E满足如下关系:D=ε0εrE(3.1-1)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程由于介电常数ε0εr是标量，所以电位移矢量D与电场矢量E的方向相同,即D矢量的每个分量只与E矢量的相应分量线性相关。对于各向异性晶体,D和E间的关系为EDr0(3.1-2)介量常数ε=ε0εr是二阶张量,该关系的分量形式为zyxjiEDjiji,,,0(3.1-3)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程又由2.3节的讨论已知,χ(1)是对称张量,因而晶体的相对介电张量εr是一个对称张量,因此它有六个独立分量,经过主轴变换后的介电常数张量是对角张量,只有三个非零的对角元素,为zzyyxx000000第3章光波在非线性介质中传播的基本方程εxx,εyy,εzz称为相对主介电常数。由麦克斯韦关系式rn还可以相应地定义三个主折射率nx,ny,nz。在主轴坐标系中,（3.1-3）式可表示为iiiiED0i=x,y,z(3.1-4)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程表3.1-1各晶系的相对介电常数张量矩阵第3章光波在非线性介质中传播的基本方程2.晶体光学的基本方程在均匀、不导电、非磁性的晶体中,若没有自由电荷存在,麦克斯韦方程组为000DBtHEtDH(3.1-5)(3.1-6)(3.1-7)(3.1-8)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程将（3.1-5）式和（3.1-6）式中的H消去,可以得到)]([)(2002EkkEnEkkcnD(3.1-9)式中,k为平面光波波法线方向的单位矢量,该式即为描述晶体光学性质的基本方程。（3.1-9）式的分量形式为)]([20EkkEnDiiii=x,y,z(3.1-10)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程将Di~Ei的关系（3.1-3）式代入,经过整理可得0111111222222zzZyyyxxxnknknk(3.1-11)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程3.光在晶体中的传播规律现将（3.1-11）式展开,可以得到一个关于n2的二次方程,即0)]()()([)(22222222224zzyyxxyzxxzzzyzzyyyxyyxxzzzyyyxxxkkkkkknkkkn(3.1-22)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程图3.1-1与给定k相应的D、E、s方向E′D′k″s″s′′′E″D″″第3章光波在非线性介质中传播的基本方程1)各向同性介质这是最简单的一种情况。对于各向同性介质有εxx=εyy=εzz=εr=n20代入（3.1-22）式后,得0)(22rn(3.1-23)由此可得,折射率n为0nnr(3.1-24)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程图3.1-2各向同性介质中E、D、k、s的关系D′E′skE″D″O第3章光波在非线性介质中传播的基本方程2)单轴晶体对于这类晶体有εxx=εyy=ε⊥=no,εzz=ε∥=ne,主轴x、y的cossin0zyxkkk(3.1-29)式中,θ是z轴与k方向之间的夹角。将上述关系代入（3.1-22）式,得0])sincos)[(//222//2nn(3.1-30)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程由此可见,对于满足上式第一个因子等于零,即n2=ε⊥的光波来说,其折射率与光波的传播方向无关,称为寻常光（o光）,折射率为no。对于由上式第二个因子等于零所确定的光波,其折射率满足如下关系://222sincos1n(3.1-31)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程图3.1-3单轴晶体中的本征矢E和DzxyEoDoEeDeseksoO第3章光波在非线性介质中传播的基本方程3)双轴晶体介电张量三个主值都不相同的晶体具有两个光轴,称为双轴晶体。属于正交、单斜和三斜晶系的晶体都是双轴晶体。其中,正交晶体的对称性足够高,三个介电主轴方向都沿晶轴方向,单斜晶体只有一个主轴方向沿着晶轴,而三斜晶体的三个介电主轴都不沿晶轴,并且介电主轴相对晶轴的方向随频率而变。按习惯,主值是按εxx＜εyy＜εzz选取的。所谓光轴,就是两个传播模具有相同相速度的方向。第3章光波在非线性介质中传播的基本方程由（3.1-11）式可以证明,双轴晶体的两个光轴都在xOz平面内,并且与z轴的夹角分别为β和-β,如图3.1-4所示,β值由)()(tanyyzzxxxxyyzz(3.1-39)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程z光轴1光轴2-xOy(向纸面内)图3.1-4双轴晶体中光轴的取向第3章光波在非线性介质中传播的基本方程图3.1-5双轴晶体中k方向的取向xOykc1zc2-12第3章光波在非线性介质中传播的基本方程由（3.1-11）式出发可以证明,若光波波法线方向与二光轴方向的夹角为θ1和θ2（图3.1-5）,则相应的两个传播模的折射率满足下面关系:zzxxn]2/[sin]2/[(cos121221222,1(3.1-40)当θ1=θ2=θ,即当波法线方向k在二光轴角平分面内时,相应两个传播模的折射率为2/12221sincoszzxxxxnn(3.1-41)(3.1-42)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程双轴晶体传播模的本征矢可由（3.1-12）式和（3.1-19）式求得,其电场分量形式为2,1,,)()(2)(mzyxiNnkEmiimimi(3.1-43)式中2/1,,2220)()(zyxiiimiiimnkN(3.1-44)相应的电位移矢量分量为)(20)()(miimiiimiNnkD(3.1-45)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程3.1.2光波在晶体中传播特性的几何法描述1.折射率椭球由光的电磁理论知道,在主轴坐标系中,晶体中的电能密度为zzzyyyxxxeDDDDE22202121(3.1-46)因而有1222020202zzezyyeyxxexDDD(3.1-47)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程在给定电能密度we的情况下,该方程表示为D(Dx,Dy,Dz)空间的椭球面。若用r2代替D2/2weε0,（3.1-47）式可改写为1222zzyyxxzyx(3.1-48)或1222222zyxnznynx(3.1-49)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程图3.1-6利用折射率椭球确定折射率和D振动方向图示xzksbsarb(k)Ora第3章光波在非线性介质中传播的基本方程(1)与波法线方向k相应的两个传播模的折射率n1和n2,分别等于这个椭圆两个主轴的半轴长,即n1(k)=|ra(k)|n2(k)=|rb(k)|第3章光波在非线性介质中传播的基本方程(2)与波法线方向k相应的两个传播模的D振动方向d1和d2,分别平行于ra和rb,即)()()()()()(21krkrkdkrkrkdbbaa这里,d是D振动方向上的单位矢量。第3章光波在非线性介质中传播的基本方程1）各向同性介质或立方晶体在各向同性介质或立方晶体中,主介电常数εxx=εyy=εzz,相应的主折射率nx=ny=nz=n0,折射率椭球方程为x2+y2+z2=n20(3.1-50)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程2）单轴晶体在单轴晶体中,εxx=εyy≠εzz，或nx=ny=no,nz=ne≠no,因此,折射率椭球方程为1222222eoonznynx(3.1-51)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程现如图3.1-7所示,对于一个正单轴晶体的折射率椭球,光波k与z轴夹角为θ,由于单轴晶体折射率椭球是一个旋转椭球,所以不失普遍性,可以选择坐标使k在yOz平面内。由此作出的中心截面Π(k)与椭球的交线椭圆,其短半轴长度与k的方向无关,不管k方向如何，均为no;长半轴长度则随k的方向而定,并且可以证明,其折射率ne(θ)满足如下关系:22222sincos)(1ooennn(3.1-52)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程图3.1-7单轴晶体折射率椭球作图法zz′kneOnonox′xyy′(k)ne′O第3章光波在非线性介质中传播的基本方程图3.1-8折射率椭球在xOz面上的截线c00Oxz0第3章光波在非线性介质中传播的基本方程3)双轴晶体双轴晶体中,εxx≠εyy≠εzz或nx≠ny≠nz,因此折射率椭球方程为1222222zyxnznynx(3.1-53)若约定nx＜ny＜nz,则折射率椭球与xOz平面的交线椭圆（见图3.1-8）方程为12222zxnxnx(3.1-54)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程图3.1-9双轴晶体双光轴示意图zn3c2c1-n2n1圆载面圆载面xyO第3章光波在非线性介质中传播的基本方程椭圆上任一点矢径r与x轴的夹角为ψ,长度为n,且n的大小在nx和nz间随ψ变化。由于nx＜ny＜nz,所以总可以找到某一矢径r0,其长度为n=ny。设这个r0与x轴的夹角为ψ0,则由（3.1-54）式可以确定ψ0满足)()(tan2222220yzxxyznnnnnn(3.1-55)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程图3.1-10D矢量振动面的确定zc1c2kd1d2r2r1)2(0)1(0O第3章光波在非线性介质中传播的基本方程图3.1-11图3.1-10中的Π平面r1′r2′r2r1d2d1第3章光波在非线性介质中传播的基本方程2.折射率曲面折射率椭球可以用来确定与波法线方向k相应的两个传播模的折射率,但需要通过一定的作图过程才能实现。为了更直接地确定出与每一个波法线方向k相应的两个折射率,人们引入了折射率曲面。折射率曲面的矢径为r=nk,其方向平行于给定的波法线方向k,长度则等于与k相应的两个传播模的折射率。因此,折射率曲面必定是一个双壳层曲面。第3章光波在非线性介质中传播的基本方程实际上,根据折射率曲面的意义,（3.1-11）式就是它在主轴坐标系中的极坐标方程,其直角坐标方程为(n2xx2+n2yy2+n2zz2)(x2+y2+z2)-［n2x(n2y+n2z)x2+n2y(n2z+n2x)y2+n2z(n2x+n2y)z2］+n2xn2yn2z=0(3.1-58)这是一个四次曲面方程。第3章光波在非线性介质中传播的基本方程对于单轴晶体,nx=ny=no,nz=ne，将其代入（3.1-58）式,得1222222222oeonznyxnzyx(3.1-60)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程图3.1-12（a）正单轴晶体;（b）负单轴晶体zOnoneyxnoneO(a)zOnenoynonex(b)第3章光波在非线性介质中传播的基本方程图3.1-13双轴晶体折射率曲面在三个主轴截面上的截线zn2On1n3yzn2n1Oxn3AA′yn1n2n3xO第3章光波在非线性介质中传播的基本方程图3.1-14双轴晶体折射率曲面在第一卦限中的示意图zn2n1n3n1On2n3Ayx第3章光波在非线性介质中传播的基本方程3.2介质损耗对光