第3章平面问题的直角坐标解答

第三节位移分量的求出第四节简支梁受均布荷载第五节楔形体受重力和液体压力例题第一节逆解法与半逆解法多项式解答第二节矩形梁的纯弯曲第三章平面问题的直角坐标解答§3－1逆解法和半逆解法多项式解法1.当体力为常量，按应力函数求解平面应力问题时，应满足40.(a)ΦS,.(b)xyxxyxyysslmfmlfΦΦ⑶多连体中的位移单值条件。(c)⑵S=上应力边界条件,⑴A内相容方程第三章平面问题的直角坐标解答对于单连体，(c)通常是自然满足的。只须满足(a),(b)。由求应力的公式是Φ,22xfyΦσxx,22yfxΦσyy.2yxΦτxy(d)第三章平面问题的直角坐标解答2.逆解法──先满足(a),再满足(b)。步骤:04Φ;Φ.)()(,sxyyysxyxxlτmσfmτlσf(e)逆解法;,,xyyxσσ⑴先找出满足的解⑶在给定边界形状S下，由式(b)反推出各边界上的面力，⑵代入(d),求出第三章平面问题的直角坐标解答从而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述和应力。Φ逆解法逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。第三章平面问题的直角坐标解答例2二次式，分别表示常量的应力和边界面力。如图示。例1一次式对应于无体力，无面力，无应力状态。故应力函数加减一次式，不影响应力。Φaxbyc22cybxyaxΦ逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c第三章平面问题的直角坐标解答逆解法例3.应力函数取三次式满足容方程（2-27）。3ay由式（2-28）得出应力分量。ayx6、、0y0xy由应力边界条件可知，板上下两边没有面力；左右两边，没有竖直面力，但有按线性变化的水平面力，而每一边上的水平面力合成为一个力偶，可见，应力函数能解决矩形梁受纯弯曲的问题。3ay第三章平面问题的直角坐标解答例4逆解法设图中所示的矩形长梁，lh，试考察应力函数能解决什么样的受力问题？)43(2223yhxyhFΦyxolh/2h/2(lh)第三章平面问题的直角坐标解答解：按逆解法。1.将代入相容方程，可见是满足的。有可能成为该问题的解。ΦΦ04Φ2.由求出应力分量Φ).41(23,0,1222222322hyhFyxΦxΦσhFxyyΦσxyyx第三章平面问题的直角坐标解答因此，在的边界面上，无任何面力作用，即3.由边界形状和应力分量反推边界上的面力。在主要边界（大边界）上，2/hy,0yσ0.yx2/hy0.xyff第三章平面问题的直角坐标解答在x=0，l的次要边界（小边界）上，).41(23)(,12)(),();41(23)(,0)(),(02232200hyhFfyhFlσfxlxhyhFfσfxxlxxyylxxxxxyyxxx面正面负第三章平面问题的直角坐标解答在x=0,l小边界上的面力如下图中(a)所示，而其主矢量和主矩如(b)所示。由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在x=0处受集中力F作用的问题。yxff,第三章平面问题的直角坐标解答FFM(a)(b)第三章平面问题的直角坐标解答⑶代入，解出；3.半逆解法步骤：04ΦΦΦ半逆解法⑵由应力(d)式，推测的函数形式；⑴假设应力的函数形式（根据受力情况，边界条件等）；第三章平面问题的直角坐标解答⑷由式（d），求出应力；半逆解法⑸校核全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）。如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解。第三章平面问题的直角坐标解答思考题半逆解法1.在单连体中，应力函数必须满足哪些条件？逆解法和半逆解法是如何满足这些条件的？2.试比较逆解法和半逆解法的区别。第三章平面问题的直角坐标解答§3-2矩形梁的纯弯曲梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。问题提出h/2h/2lyx(lh)oMM第三章平面问题的直角坐标解答⑴由逆解法得出，可取，且满足⑵求应力.04Φ,6ayσx.0xyyσ3ayΦ(a)求解步骤：04Φ本题是平面应力问题,且为单连体，若按求解，应满足相容方程及上的应力边界条件。ΦΦss第三章平面问题的直角坐标解答⑶检验应力边界条件，原则是:边界条件b.后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。第三章平面问题的直角坐标解答主要边界,2/hy,0)(2/hyyσ/2()0.(b)xyyh从式(a)可见，边界条件(b)均满足。,0)(,0lxxy满足。主要边界次要边界x=0,l,(c)的边界条件无法精确满足。xσ第三章平面问题的直角坐标解答次要边界/20,/2/20,/2()d10,(d)()d1hxxlhhxxlhσyσyyM。用两个积分的条件代替第三章平面问题的直角坐标解答当时，即使在边界上面力不同于的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式(d)的第一式自然满足，由第二式得出。3/2hMa最终得应力解,123yIMyhMσx(e)hllx,0xσ.0xyyσ第三章平面问题的直角坐标解答如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不必进行校核。试对此结论加以说明。思考题第三章平面问题的直角坐标解答§3-3位移分量的求出在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？以纯弯曲问题为例，已知,yIMσx,0xyyσ试求解其位移。问题提出第三章平面问题的直角坐标解答1.由物理方程求形变。0)1(2,)(1,)(1xyxyxyyyxxEyEIMσσEyEIMσσE求形变第三章平面问题的直角坐标解答2.代入几何方程求位移,(a),(b)0()xyxyuMyxEIvMyyEIvucxy。求位移第三章平面问题的直角坐标解答⑴对式(a)两边乘积分,xd),(1yfxyEIMu⑵对式(b)两边乘积分,yd。)(222xfyEIMv求位移第三章平面问题的直角坐标解答⑶再代入(c),并分开变量，21d()d()()ddfxfyMxEIxy。上式对任意的x,y都必须成立，故两边都必须为同一常量。求位移第三章平面问题的直角坐标解答由此解出10220(),().2fyyuMfxxxvEI求位移0220,22MuxyyuEIMMvyxxvEIEI。得出位移为3.待定的刚体位移分量，00,vu.须由边界约束条件来确定。第三章平面问题的直角坐标解答（1）简支梁约束条件为：000yxu000yxv00ylxv，，则由式（d）得出00u00v0202vlEIMl，，EIMl200u00v，，代入式（d），就得简支梁的位移分量ylxEIMu)2(22)(2yEIMxxlEIMv，（3-3）第三章平面问题的直角坐标解答梁的挠度方程是xxlEIMvy)(20和材力结果相同。第三章平面问题的直角坐标解答（2）悬臂梁约束条件为：00ylxu00ylxv00ylxxv，，则由式（d）得出00u0202vlEIMl0EIMl，，00uEIMlv220EIMl，，代入式（d），就得悬臂梁的位移分量yxlEIMu)(222)(2yEIMxlEIMv，（3-4）第三章平面问题的直角坐标解答梁的挠度方程是:20)(2xlEIMvy也和材力结果相同。对平面应变问题，只须将以上公式中的E、进行互换即可。如梁的曲率公式为:EIM)1(12（3-5）第三章平面问题的直角坐标解答2.代入几何方程，积分求；归纳：从应力求位移步骤：vu,00,,uv。3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量1.由物理方程求出形变；第三章平面问题的直角坐标解答2.铅直线的转角故在任一截面x处，平面截面假设成立。纯弯曲问题的讨论：1.弯应力与材料力学的解相同。xσ,uMxyEI3.纵向纤维的曲率同材料力学的结果。故在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力学解相同。EIMxv221第三章平面问题的直角坐标解答思考题2.试证明刚体位移实际上表示弹性体中原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以验证。提示：微分体的转动分量为00,,uv。yuxvw211.弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学的解答在应力、形变等方面完全一致。由此是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截面假设成立？第三章平面问题的直角坐标解答§3-4简支梁受均布荷载简支梁，受均布荷载及两端支撑反力。12hlq。ql问题qqlqlyxollh/2h/2第三章平面问题的直角坐标解答21()(),2xσMqlxqlx2123()()();xσxfyxfyfy(),xysFqlqlx12()();xyxfyfy,yσq常数()yσfy。现采用此假设。半逆解法按半逆解法求解。⑴假设应力分量。由材料力学,,,xsyσMτFσq因为因为所以，可假设所以，可假设因为所以，可假设第三章平面问题的直角坐标解答⑵由应力分量推出应力函数的形式。由),(22yfσxΦy对x积分，),()(1yfyxfxΦ212()()().2xΦfyxfyfy对x再积分，(a)半逆解法第三章平面问题的直角坐标解答⑶将代入相容方程，求解:.0)d)(d2d)(d(d)(dd)(d2122424414244yyfyyfxyyfxyyf相容方程对于任何均应满足,故yx,012,,xxx的系数均应等于0，由此得三个常微分方程。ΦΦ半逆解法第三章平面问题的直角坐标解答.610,,2345223123KyHyyByAfGyFyEyfDcyByAyf式(b)中已略去对于的一次式。将式(b)代入式(a)，即得。ΦΦ(b)半逆解法解出:第三章平面问题的直角坐标解答半逆解法234523232610)()(2KyHyyByAGyFyEyxDCyByAyx（4）由应力函数可得应力分量为：KHyByAyFEyxBAyxx2622)26()26(2232DCyByAyy23)23()23(22GFyEyCByAyxxy第三章平面问题的直角坐标解答对称性条件─由于结构和荷载对称于轴，故应为的偶函数，为x的奇函数，故。yyxσσ,xxy0GFE,Φ半逆解法第三章平面问题的直角坐标解答⑸考察边界条件。.0)(,)(,0)(2/2/2/hyxyhyyhyyτqσσ由此解出系数A,B,C,D。主要边界主要边界,2/±hy第三章平面问题的直角坐标解答次要边界。qldyydyσdyσhhlxxylxhhxlxhhx1)(,01)(,01)(2/2/2/2/2/2/次要边界由此解出H，K.另一次要边界(x=-l)的条件，自然满足。应用圣维南原理，列出三个积分条件，,lx第三章平面问题的直角坐标解答最后应力解答：)534()(622223hyhyqyxlhqσx),534(22hyhyqyIM应力,)4(6223bISFyhxhqSxy.)21)(1(22hyhyqσ