第3章粘性流体运动

第三章粘性流体运动粘性流体运动微分方程以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。Navier－Stokes方程对一维流动问题：补充方程：牛顿剪切定律对粘性流体流动问题：补充方程：广义的牛顿剪切定律即：牛顿流体本构方程目的将应力从运动方程中消去，得到由速度分量和压力表示的粘性流体运动微分方程，即N-S方程。关键：寻求流体应力与变形速率之间的关系N-S方程牛顿流体的本构方程引入的基本假设：为了寻求流体应力与变形速率之间的关系，Stokes提出三个基本假设：应力与变形速率成线性关系;应力与变形速率之间的关系各向同性；静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力pzzyyxx牛顿流体的本构方程：223yxxzxxvvvpxxyz223yxzzzzvvvpzxyz223yyxzyyvvvpyxyzyxxyyxvvyxyzyzzyvvzyxzzxxzvvxz本构方程的讨论：正应力中的粘性应力：流体正应力与三个速度偏导数有关(即:线变形率)，同固体力学中的虎克定律。线变形率与流体流动：从流体流动角度看，线变形率的正负反映了流体的流动是加速还是减速；体变形率的正负反映了流动过程中流体体积是增加还是减少。正应力与线变形速率：223yxxzxxvvvpxxyzxxxxxxp附加粘性正应力附加粘性正应力的产生是速度沿流动方向的变化所导致的。正应力与压力：由于粘性正应力的存在，流动流体的压力在数值上一般不等于正应力值。但有：3xxyyzzp这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平均值却总是与压力大小相等。切应力与角边形率：流体切应力与角变形率相关。牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系，是流体力学的虎克定律（反映应力和应变的关系）。流体运动微分方程——Navier－Stokes方程223xxxDvpfDtxxxxyxxzvvvvyyxzzx适用于牛顿流体常见条件下N－S方程的表达形式：222222113xxxxxDvpfDtxxxyz适用于牛顿流体常粘度条件下N－S方程：const222222113yyyyyDvpfDtyyxyz222222113zzzzzDvpfDtzzxyz矢量形式：211()3DvfpDt2222221xxxxxDvpfDtxxyz适用于牛顿流体不可压缩流体的N－S方程：const2222221yyyyyDvpfDtyxyz2222221zzzzzDvpfDtzxyz矢量形式：21DvfpDt2222221xxxxxxxxyzxvvvvpvvvftxyzxxyz适用于牛顿流体常粘度条件下不可压缩流体的N－S方程：const2222221yyyyyyyxyzyvvvvpvvvftxyzyxyz2222221zzzzzzzxyzzvvvvpvvvftxyzzxyz矢量形式：const21()vfpDt非定常项定常流动为0静止流场为0对流项静止流场为0蠕变流时≈0单位质量流体的体积力单位质量流体的压力差扩散项（粘性力项）对静止或理想流体为0高速非边界层问题≈0流体流动微分方程的应用连续方程和N－S方程是粘性流体流动应遵循的质量守恒和动量守恒的数学表达式。N-S方程应用概述封闭条件：理论上方程是封闭的，但若要考虑到物性参数的变化，应将物性变化的关系作为补充方程。方程求解：N－S方程无普遍解；特殊条件下，有可能获得准确或近似的分析解；通常通过数值计算获得离散解。应用条件：只适用于牛顿流体流动微分方程的应用求解步骤(1)根据问题特点对一般形式的运动方程进行简化，获得针对具体问题的微分方程或方程组。(2)提出相关的初始条件和边界条件。初始条件：非稳态问题边界条件固壁－流体边界：流体具有粘性，在与壁面接触处流体速度为零。液体－气体边界：对非高速流，气液界面上，液相速度梯度为零。液体－液体边界：液液界面两侧的速度或切应力相等。两平行平板间的层流流动(a)压力梯度＋上板速v0(b)上板v0带动(库埃特流动)(c)静止平板，压力差驱动(a)压力梯度＋上板速v0(a)压力梯度＋上板速v0条件：1.稳态2.层流，流速x方向0zyvv0t0tvtvtvzyx0zvyvxx02222zvyvxx3.连续性方程（不可压缩）0zvyvxvzyx0xvx4.设板平行于地面，质量力gx=gz=0,gy=－g(忽略质量力时，gy=0)5.平板沿z向相对于二板距离为无限宽，忽略此方向上边界面影响。将以上条件代入N-S方程，得)(122xpxvx(2)0yp(3)0zp解(1)式，得21221CyCydxdpvx边界条件——对(a)(b)情形：y=0时，vx=0;y=h时，vx=v0得（3-64）式：hyvhyydxdpvx0)(21特别对(b)情形：0dxdphyvvx0(3-65)0max,,vvhyx时(3-66)00211vdyvhvhxx(3-67)WhvWhvQx021流量(3-68)对(c)情形：v0=0，流体两端压力差p=px－px+LLpdxdpx)(21hyydxdpvx)(21yhyLpvx(3-69)Lphvhyx2,22max,时(3-70)Lphdyvhvhxx12120(3-71)LpWhQ123流量(3-72)(a)情形的流量是(b)情形和(c)情形的流量之和圆管内的一维稳态流动分析。不可压缩流体在水平圆管内作一维稳态层流流动。试写出该条件下的连续性方程和运动微分方程。并证明管道截面上任一点的总势能和轴向压力梯度为常数。1．圆管内的稳定层流yrxoz流向011zvvrrrvrzr连：zvvvrvrvvtvzzzzzrz分量：2222211zvvrrvrrrzzzzzvvrvvrvrvvtvrrzrrrr2分量：222222211zvvrvrrvrrrrrrrzvvrvvvrvrvvtvzrr分量：2222222111zvvrvrrvrrrrr化简条件：流动稳定/t=0，一维流动vr=v=0，轴向对称，/=00zvzpfzz例题2max4RLv2max1Rrvv212121max02max202vrdrRrvRrdrvRAvdAuRR引入：阻力系数（又称范宁因子）22ufw而由牛顿粘性定律可知，圆管内层流时：RrwdrdvuRvR42maxRe16168uduRf引入：摩擦因数Re644f2max1Rrvv速度势和流函数一速度势函数对于无旋流场，处处满足：，由矢量分析知，任一标量函数梯度的旋度恒为零，所以速度一定是某个标量函数的梯度，即:因则有:即流场的速度等于势函数的梯度。因此，称为速度势函数，简称速度势；称无旋流动为有势流动，简称势流。这与单位质量有势力和有势力场的势函数的关系相类似。0VVkvjvivtzyxVzyx),,,(kzjyixtzyx),,,(ztzyxtzyxvytzyxtzyxvxtzyxtzyxvzyx),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(v（7－35）（7－36）结论：无旋条件是速度有势的充要条件。无旋必然有势，有势必须无旋。所以无旋流场又称为有势流场。速度势的存在与流体是否可压缩、流动是否定常无关。以上给出了在直角坐标系中速度势函数和速度的关系，在柱坐标系中，，，有势流动的速度势函数与速度的线积分有密切关系。若势流中有一曲线AB，速度沿该曲线积分为上式表明，有势流动中沿AB曲线的速度线积分等于终点B和起点A的速度势之差。由于速度势是单值的，则该线积分与积分路径无关。这与力做的功和位势的关系相类似。当速度沿封闭轴线积分时即，周线上的速度环量等于零。rvrrv1zvztzr,,,ABBAzyBAxABdzzdyydxxdzvdyvdxvΓ)()(0)ddzvdyvdxvΓzyx（7-34）（7-35）根据无旋条件，速度有势：代入不可压缩连续性条件可得：或上述方程称作不可压无旋流动的基本方程。在笛卡儿坐标系中：在柱坐标系中：式中为拉普拉斯算子。满足拉普拉斯方程的函数为调和函数，故速度势是调和函数。V0V00202222222zyx22222222110rrrrz2二流函数在笛卡儿坐标系中，平面、不可压缩流体的连续性方程可写成:若定义某一个函数（流函数）令:0yvxvVyx),(yxyvxxvy,平面不可压缩流体流函数的基本性质1.沿同一流线流函数值为常数2.平面流动中通过两条流线间单位厚度的流量等于两条流线上的流函数的差值3.在有势流动中流函数也是一调和函数特性1s为坐标系XOY的任意一条流线，在s上任取一点作速度矢量，与流线相切，该点的微元流线段在x、y轴上的投影为dx、dy，在x、y轴上的投影为vx、vy或由，得到在流线s上，Ψ的增量dΨ为0，说明沿流线Ψ（x，y，t）为常数，而流函数的等值线，即Ψ（x，y，t）=C就是流线。因此，找到流函数后，可以知道流场中各点速度，还可以画出流线。yxvvdydx0dyvdxvxyyvx0ddyydxxyvx特性2设Ψ1、Ψ2是两条相邻流线，作其间一曲线AB，求通过AB两点间单位厚度的流量。(见下图）在AB上作微元线段,过微元线段处的速度为，,单位厚度的流量dq应为通过dx的流量vydx和通过dy的流量vxdy之和，（vy0）沿AB线段积分，由于沿流线流函数为常数，因此jdyidxsdjvivvyxddxxdyydxvdyvdqyxBA