第3章谐振荷载反应-1

高等结构动力学第三章高等结构动力学谐振荷载反应高等结构动力学§3.1无阻尼体系§3.2粘滞阻尼体系§3.3共振反应§3.4加速度计与位移计§3.5隔振§3.6粘滞阻尼比的计算§3.7单自由度体系总结第三章谐振荷载反应高等结构动力学无阻尼体系在谐振荷载下的运动方程0sinmvtkvtpt(3-2)通解为02sincos1sin1cpvtvtvtAtBtptk(3-8)荷载频率与自由振动频率比初始条件000vv0211pAk0B得021sinsin1pvtttk(3-10)§3.1无阻尼体系§3.1无阻尼体系高等结构动力学()mvcvkvpt数学上：微分方程的解——微分方程的理论力学上：质量体系的运动规律——干扰的影响高等结构动力学反应比：动力的与静止的荷载作用反应比值0/tttstvvRvpk图3-1从静止初始条件开始正弦波激励所引起的反应比（a）稳态；（b）瞬态；（c）总反应R(t)§3.1无阻尼体系高等结构动力学与荷载相关并以干扰的频率进行振动,称为稳态反应；sintsint受到初始条件控制，并以固有频率的频率进行振动,称为瞬态反应，由于阻尼的作用会逐渐消失，但无阻尼时，不会，此时称为伴随自由振动；总反应的两个分量，会出现拍的现象；总反应在0时刻斜率为0，表示初速度互相抵消，满足指定的条件。高等结构动力学202sinpvtvtvttm(3-13)阻尼体系运动方程222012sincos121sin2costDDpvteAtBtktt(3-19)§3.2粘滞阻尼体系粘滞阻尼的概念微分方程解的意义稳态与瞬态反应的意义高等结构动力学稳态谐振反应——通常所关心的是式（3-19）第二项给出的稳态谐振反应202221()[][(1)sin2cos](1)(2)ppvtttk(3-20)这个稳态位移反应的特性，可容易地用图3-2所示复平面中所绘出的两个相应旋转矢量来解释，它们在实轴上的分量之和，即为式（3-20）等号右端的两项。合成矢量的实部给出了如下形式的稳态反应exp[()]iit§3.2粘滞阻尼体系高等结构动力学()sin()pvtt(3-21)ImttRe202)22[][exp()](1(2)pitk图3-2稳态位移反应exp[()]iit§3.2粘滞阻尼体系高等结构动力学21222012pk稳态反应振幅(3-22)122tan()1反应滞后于荷载的相位角θ为(3-23)§3.2粘滞阻尼体系高等结构动力学动力放大系数D：合成反应位移与所引起的静位移比值21222012Dpk(3-24)图3-4相位角随阻尼和频率的变化图3-3动力放大系数随阻尼和频率的变化0p§3.2粘滞阻尼体系高等结构动力学再一次使用解的指数形式对求解稳态谐振反应是有意义的。考虑用指数形式描述谐振荷载的一般情况为这里，是谐振荷载函数中的一个任意相位角。在涉及一般的谐振荷载时，尤其是可利用一系列谐振分量表示的周期荷载，对每一个谐振项必须说明其相位角。因此，采用复20()2()()exp[()]pvtvtvtitm§3.2粘滞阻尼体系(3-25)高等结构动力学数比用幅值和相位角要方便。本章所研究的只有一个谐振项，因此相位角可以任意取，为了简单可取为零。这样，在荷载表达式中就不需要包含此项。方程（3-25）的特解及它对时间的一阶、二阶导数为()exp()pvtGit()exp()pvtiGit2()exp()pvtGit§3.2粘滞阻尼体系(3-26)高等结构动力学式中G是一个复常数。为了求G，将式（3-26）带入方程（3-25），消去各项中的,并用代替m，用代替，则可解出G为exp()it2k2002221(1)(2)(1)(2)(1)(2)ppiGkik将其带入式（3-26）的第一式，并在复平面中绘出表示结果的两个向量，如图3-5所示。§3.2粘滞阻尼体系(3-27)高等结构动力学注意，与图3-2中相应的量相比，这两个向量的合成结果及相位角θ除了逆时针旋转了90度外是相同的。图中的这一差别符合谐振荷载和在图3-2和图3-5产生的结果之间的相位差。注意，是的实部。0()exp()ipmit0()exp()ipmit0()sin()pmt0()exp()ipmit在上述稳态谐振振动条件下，如图3-5所示的总反应为()exp[()]pvtit(3-28)§3.2粘滞阻尼体系高等结构动力学力的平衡要求惯性力、阻尼力、弹簧力之和等于说作用的荷载2()()exp[()]()()exp[()]()()exp[()]pppIpDpSpftmvtmitftcvticitftkvtkit0()exp()ptpit§3.2粘滞阻尼体系利用式（3-28），这些力为(3-29)(3-30)高等结构动力学§3.2粘滞阻尼体系高等结构动力学一个例题2222122201222011222222121sin2cos1112sincos121112pvtttkpttk§3.2粘滞阻尼体系高等结构动力学2212220122212cossinsincos1cos211pttk§3.2粘滞阻尼体系高等结构动力学共振：作用荷载的频率等于固有振动频率。共振时β＝1(3-34)此时方程为0cossincos2tDDptvteAtBtk(3-35)000vv方程变为0021221DppAkk－012pBk021sincoscos21tDDpvtetttk－正弦项对反应振幅影响很小(3-36)§3.3共振反应§3.3共振反应高等结构动力学反应比为011cossin201sincos2ttvtRtetetpkRtttt(3-37)(3-38)§3.3共振反应高等结构动力学图3-7静止初始条件下共振荷载（β＝1）反应§3.3共振反应高等结构动力学图3-9典型地震仪的示意图3-3*动力放大系数随阻尼和频率的变化§3.4加速度计与位移计§3.4加速度计与位移计高等结构动力学geffmvcvkvmvtpt0singgvvt当有地面加速度0sineffgpmvtt00ggmvmDDvkk(3-39)图中ξ=0.7，0≤β≤0.6时，D为常数§3.4加速度计与位移计加速度计有地面干扰的质量块运动方程高等结构动力学有地面位移条件0singgvvt20singgvvt20sineffgpmvt有效荷载2020ggmvDDvk(3-40)§3.4加速度计与位移计位移计高等结构动力学图中ξ=0.5，β≥1时，β2D为常数图3-11对于谐振基底位移地震仪的反应§3.4加速度计与位移计高等结构动力学总结：1、一个相对柔软的体系可以用作位移计，通过降低刚度或增加质量的办法可以扩大其使用范围；2、一个相对刚硬的体系可以用作加速度计，通过增加刚度或减小质量的办法可以扩大其使用范围。§3.4加速度计与位移计高等结构动力学有隔振必要的两种典型情况（1）运转的装置能产生振动力，而这些力可能在支承结构中产生有害的振动;（2）安置在明显振动结构上的精密仪器。§3.5隔振§3.5隔振高等结构动力学情形1竖直方向的振荡力作用在基础的振荡力0sintppt图3-11单自由度隔振体系（作用荷载）§3.5隔振高等结构动力学位移反应0sinpvtDtk弹簧传给基底的力0sinsfkvtpDt作用在基底上的阻尼力00cos2cosDcpDfcvttpDtk阻尼力的相位角超前弹簧里90度，作用于基底的力幅值f为max1122222max012sDfffpD(3-41)(3-42)(3-43)§3.5隔振高等结构动力学2max012fTRDp传导比（TR）——最大的基底力与作用力幅值的比(3-44)高等结构动力学情形2支座的扰动基础的运动稳态相对位移0singgtvvt20singptvvDt图3-12单自由度隔振体系（支座扰动）§3.5隔振(3-44)高等结构动力学总的稳态反应传导比——质量运动振幅与基底运动振幅的比2012sintgtvvDt2max012vTRDv(3-46)(3-47)§3.5隔振高等结构动力学两种情形具有相同形式的传导比（TR）212TRD图3-13振动传导比（作用荷载或支座扰动）§3.5隔振高等结构动力学§3.5隔振给出了传导比与频率比的关系曲线1）不同阻尼比的全部曲线均经过频率比为的相同点；2）当时，增加阻尼使体系的隔振效率提高；3）当时，增加阻尼将使体系的隔振效率降低；4）传导率在时比时低许多，因此使设备在高频段运行是有利的。22222高等结构动力学隔振效率IE——隔振系统应高于临界频率比下运行IE=1-TRβ→∞，IE=1，振动完全隔离；，IE=0，不起隔振作用；是隔振系统的临界阻尼比。2§3.5隔振高等结构动力学隔振才有意义在小阻尼下，有：已知干扰频率，要求的隔振效率，可由下图得到应有的静位移。2222112/12/121221stTRIEIEIEIEgfIE01IE2§3.5隔振高等结构动力学隔振计算图图3-14隔振设计计算图§3.5隔振高等结构动力学小例题P40图E3-1在不平的桥面上行驶的车辆示意图31§3.5隔振高等结构动力学小例题P46两种计算方法：运算与图解§3.5隔振高等结构动力学自由振动衰减法共振放大法半功率（带宽）法每周的能量损失（共振试验）滞变阻尼法§3.6粘滞阻尼比的计算§3.6粘滞阻尼比的计算结构的能量损失机理十分复杂，阻尼很难确定！高等结构动力学物理量的确定方法量测的量量测的设备需要确定量的计算方法§3.6粘滞阻尼比的计算高等结构动力学自由振动衰减法——测量相隔m周的位移幅值之比22mmDmm(3-53)ln/mnnmvv§3.6粘滞阻尼比的计算00sin0costDDDvvvtetvt是振幅相关的,随着振幅的减小,阻尼比也小。高等结构动力学共振放大法基于相对位移反应的稳态振幅测量。激振频率为包括体系固有频率而跨越较宽范围的离散值，从而获得对应激振的振幅，做出典型频率----反应振幅曲线。§3.6粘滞阻尼比的计算图3-15中等阻尼体系的频率反应曲线高等结构动力学阻尼比0112计算时用00maxmax1122D(4-43*)(3-54)§3.6粘滞阻尼比的计算高等结构动力学半功率（带宽）法半功率频率的值可用下法求得：令方程（3-22）的反应幅值为方程（3-54）求出的共