第六章万有引力定律

第1页12/20/2019-1-1第六章万有引力定律一．行星的运动[要点导学]1．本节重点介绍了“地心说”、“日心说”的建立、发展过程和开普勒关于行星运动描述的有关知识．2．“地心说”认为：地球是＿＿＿＿＿，是＿＿＿．太阳、月亮及其它天体都绕＿＿运动．经过人们长期的观察已证明，“地心说”是错误的．“日心说”认为：＿＿是宇宙的中心，地球和其它行星都绕＿＿运动．（实际上，太阳也不是宇宙的中心，太阳也并非＿＿．）３．开普勒第一定律：所有行星围绕太阳运动的轨道都是＿＿，太阳处在＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．开普勒第三定律：所有行星的轨道的＿＿的＿次方跟公转＿＿的＿次方的比值都相等，其表达式是＿＿＿，其中k是一个与＿＿无关的常量．（实际上，行星绕太阳运动的椭圆轨道比较接近圆形．所以，中学阶段解决行星绕太阳运动的问题时，常把行星绕太阳的运动看成是＿＿＿＿＿＿，太阳处在这些圆轨道的圆心．根据开普勒第三定律可知：所有行星的轨道的半径的三次方跟公转周期的二次方的比值是一个与行星无关的常量．）［范例精析］例１宇宙飞船在一个近似圆形的轨道上围绕太阳运行．如果飞船的轨道半径是地球轨道半径的９倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是多少？解析围绕太阳运行的宇宙飞船实际上是一颗“人造行星”，它同样遵循行星的运动规律．由R3/T2=k可知，将宇宙飞船的轨道半径、运行周期与地球作一比较，就可以求得它的运行周期．由得地地船船2323TrTryyTrrT2719333地地船船（y表示“年”）拓展１．挖掘隐含条件―――地球的公转周期１y是解决本题的关键．２．对于同一颗行星的不同卫星，它们也符合运动规律：R3/T2=k，．如月球和所有人造地球卫星的运动就都符合上述规律，只是k，和k是不同的常量，这一点我们在以后会明白．例２飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T．如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当的数值从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆轨道和地球表面在B点相切，如图６－１所示．设地球半径为R０，求飞船由A点沿椭圆轨道返回到B点所需的时间．解析飞船绕地球做圆周（半长轴和半短轴相等的特殊椭圆）运动时，其轨道半径的三次方跟周期的二次方的比值等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时半长轴的三次方跟周期的二次方的比值．设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T’,则有ABR0R图6-1第2页12/20/2019-2-223023')2(TRRTR求得30)2('RRRTTRRRRTRR22)(00，所以飞船从A点到B点所需的时间为RRRRTRRTt24)(2'00拓展你能迅速地指出T和T＇的大小关系吗？[能力训练]1．下列关于“地心说”、“日心说”的说法中正确的是（）A.关于天体运动的“地心说”和“日心说”都是错误的B.地球是一颗绕太阳运动的行星C.地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其它天体都绕地球运动D.太阳是静止不动的，地球和其他行星都在绕太阳转动２．第一次揭示行星运动规律的科学家是＿＿＿，他是在＿＿的观测资料的基础上总结出来的．３．根据开普勒第三定律可知：太阳的九大行星中，＿＿的公转周期最短．４．两颗行星的质量分别为m1和m2，它们绕太阳运行的轨道半长轴分别是R1和R2，如果m1=2m2,R1=4R2则它们的公转周期之比T1：T2＝＿＿＿．５．下表给出了太阳系九大行星平均轨道半径和周期的数值．从表中任选三颗行星验证开普勒第三定律，并计算常量k的值．行星平均轨道半径（m）周期（s）水星金星地球火星木星土星天王星海王星冥王星５．７９×１０１０１．０８×１０１１１．４９×１０１１２．２８×１０１１７．７８×１０１１１．４３×１０１２１．８７×１０１２４．５０×１０１２５．９×１０１２７．６０×１０６１．９４×１０７３．１６×１０７５．９４×１０７３．７４×１０８９．３０×１０８２．６６×１０８５．２０×１０８７．８２×１０８第3页12/20/2019-3-3［素质提高］６.月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的６０倍，运行周期约为２７d．试用开普勒定律计算：在赤道平面内离地面多大高度，人造地球卫星可以随地球一起转动，就像停留在天空不动一样．（地球半径约为６．４×１０３km）７.开普勒第二定律指出：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积．设地球在近日点和远日点的运行速率分别为υ1和υ２，则υ１＿υ２．（填“＝”、“＞”、“＜”）二．万有引力定律［要点导学］１．本节简述了人类认识行星“为什么这样运动”的历史，并着重介绍了牛顿发现并提出万有引力定律的过程：研究行星绕太阳的运动，得出行星和太阳之间的引力跟行星的质量、太阳的质量成正比，跟行星到太阳的距离的平方成反比；研究月球绕地球的运动，发现它们间的引力跟太阳与行星间的引力遵循同样的规律；“月－地检验”证实了地面上的＿＿与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力，遵守同样的规律；进一步把这个规律推广到自然界中任意两个物体之间，提出万有引力定律．２．万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的＿＿方成反比．表达式是＿＿＿＿＿＿，式中G叫做引力第4页12/20/2019-4-4常量，它在数值上等于质量都是１kg的物体相距１m时的相互作用力，G=_______________．３．万有引力定律的发现，第一次揭示了自然界中一种＿＿＿＿＿＿的规律，在人类认识自然的历史上树立了一座丰碑．牛顿的出色工作使人们建立了信心―――人们有能力理解＿＿间的各种事物，这种信心解放了人们的思想，在科学文化的发展上起了积极的推动作用．［范例精析］例１用M表示地球的质量，R表示地球的半径，r月地表示月球到地球的距离，试证明，在地球的引力作用下，（１）地面上物体的重力加速度g=GM/R2；（２）月球的加速度a月＝GM/r２月地；（３）已知r月地＝６０R,利用（1）（2）求a月／g；（４）已知r月地＝３．８×１０８m,月球绕地球运行的周期T=27.3d，计算月球绕地球的向心加速度a月；（５）已知重力加速度g=9.8m/s2，用（4）中算出的a月求a月／g．解析（１）地面上物体的重力来源于（等于）地球对物体的引力，由mg=GMm/R2得g=GM/R2（2）月球绕地球运行所需的向心力就由地球对月球的万有引力提供．月球的加速度a月就是月球绕地球运行的向心加速度，由ma月=GMm/r2月地得a月=GM/r2月地（３）由（１）、（２）得a月／g=（GM/r2月地）／（GM／R２）＝R2/r2月地，将r月地＝６０R代入上式得a月／g＝１／３６００＝２．８×１０－４（４）由匀速圆周运动向心加速度公式得a月＝ω2r月地＝（２π／T）２·r月地＝４×（３．１４）２×３．８×１０８／（２７．３×８６４００）２m/s2=２．６９×１０－３m/s2（６）a月/g=2.69×10-3/9.8=2.8×10-4拓展（３）、（５）的结果说明了什么？例2太阳系中开普勒常数k=3．35×１０１８m3/s2，求太阳的质量．解析设想在太阳系中有一颗行星，其质量为m，围绕太阳运动的周期为T，轨道半径为r，则由万有引力定律和牛顿第二定律得GMm/r2=4π2mr/T2解得M=4π2r3/GT2又由开普勒第三定律k=r3/T2代入上式得M=4π2k/G=1.98×1030kg拓展通过构造物体或过程展开对问题的分析、求解，是解决问题的有效策略．尝试解下面的问题：已知地球的半径为６４００km，试估算地球的质量．[能力训练]１．下列关于万有引力定律的说法中正确的是（）A.万有引力定律是牛顿发现的B.F=Gm1m2/r2中的G是一个比例常量，是有单位的C.万有引力定律适用于计算质点间的相互作用D.两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用也可以用F=Gm1m2/r2来计算，其中第5页12/20/2019-5-5r是两球体球心间的距离２．要使两物体间万有引力减小到原来的１／４，可以采用的办法是（）A.使两物体的质量各减小一半，距离保持不变B.使两物体间距离增至原来的两倍，质量不变C.使其中一个物体的质量减为原来的１／４，距离保持不变D.使两物体的质量和它们之间的距离都减为原来的１／４３．设想把质量为m的物体放到地球的中心，地球质量为M,半径为R，则物体与地球间的万有引力大小是（）A.零B.无穷大C.GMm/R2D.无法确定４．若已知金星绕太阳运转的周期（把金星绕太阳的运动看作匀速圆周运动）及金星到太阳的距离，则（）A.若已知G，则可测出金星的质量B.若已知G，则可测出太阳的质量C.即使已知G，也不可能测出金星的质量D.即使已知G，也不可能测出太阳的质量５．某物体在地球表面上受到地球对它的引力大小为８００N，为使此物体受到的引力大小减至５０N,物体距离地面的高度应为＿R．（R为地球的半径）[素质提高]６．月球是地球的天然卫星，月球质量大约是地球质量的１／８１．若有朝一日人类开发月球，把月球上的矿产资源不断地运到地球上，则月球和地球间的万有引力将（假定月球离地球的距离不变）（）A.变大B.变小C.不变D.无法确定７．有两个大小一样，同种材料组成的均匀球体紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若将用上述材料制成的两个半径更小的均匀球体靠在一起，则它们之间的万有引力将（）A.等于FB.小于FC.大于FD.无法确定８．初中学过：正负电荷之间存在相互的吸引力F,通过下面的实验来研究F的大小．如图６－２，A、B是在一光滑绝缘水平面上的两个带异种电荷的小球，A固定，使B在吸引力F作用下恰好绕A作匀速圆周运动．改变B的运动半径和速度，发现其运动周期T与运动半径R间存在如下关系：T2与R3成正比，即T2＝kR3,其中k为比例常数，与A、B的电荷量及B的质量有关．联想开普勒第三定律和万有引力定律，你认为两小球间吸引力F与其距离（即B的运动半径）R间存在怎样的关系？证明你的猜想．图６－２三．引力常量的测定［要点导学］AB第6页12/20/2019-6-6１．本节主要介绍了卡文迪许实验装置、实验原理和实验意义．２．卡文迪许实验是历史上十分有名的实验：实验通过＿＿装置把微小力转变成力矩来反映（一次放大），金属丝的扭转角则通过光点的移动来反映（二次放大），“开创了测量弱力的新时代”（英国物理学家玻印廷语）；实验利用T型架的＿＿＿＿、即引力矩与扭转力矩大小相等得到了引力常量；实验一方面验证了牛顿万有引力定律的正确性，另一方面也使得牛顿万有引力定律有了真正的实用价值．３．与劲度系数k、摩擦因素µ、重力加速度g不同，引力常量具有＿＿性．４．引力常量测定后，只要知道地球表面的重力加速度，根据＿＿＿＿和＿＿近似相等，就可以求出地球的质量．因此，卡文迪许被称为“＿＿＿＿＿＿＿＿＿”．[范例精析]例１．地球半径R=6400km,地面重力加速度g=9.8m/s2.地核的体积约为整个地球体积的16%,地核的质量约为地球质量的３４％．试估算地核的平均密度．解析不计地球的自转影响，地球对物体的引力即为物体的重力，即mg=GMm/R2所以，地球的质量M=gR2/G地球的平均密度ρ＝M/V=M/（4πR3/3）=3g/4πGR＝3×9.8/(4×3.14×6.67×10-11×6.4×106)kg/m3＝5.5×103kg/m3设地核的平均密度为ρ，，地核的质量和体积分别为M,和V,,则ρ，／ρ＝M，V/MV，＝34%/16%＝17/8所以，地核的平均密度ρ，＝17ρ/8＝17×5.5×103/8kg/m3＝1.2×104kg/m3.拓展（１）有关天体密度的问题常涉及球体积公式V球＝４πR3/3.（２）再解一则关于天体密度的问题：设太空中有一颗行星，此行星上一昼夜的时间是６h．在行星的赤道处用弹簧秤测量物体的重力时，弹簧秤的读数比在两极时测得的读数小１０％，已知引力常数G＝６．６７×１０－１１N·m2/kg2,求此行星的平均密度．（３．０３×１０３kg/m3）例２宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t小球