第六章保角变换

第六章保角变换(14)一、内容摘要1．单叶函数:复变函数()wfz在区域D内解析，且在D内任意不同两点函数值不同，则称该函数为单叶（解析）函数。单叶变换单叶解析函数确定的变换称为单叶变换。定理设()wfz在0zz解析，且0'()0fz，则在z平面上必存在一个包含0z点的区域，而在w平面上有一个包含00wfz的区域，使得解析变换()wfz给出这两个区域间点与点的一一对应关系。即()wfz在0z点附近是单叶解析函数。2．解析函数的保角性:设()wfz在0zz解析，且0'()0fz，则()wfz在0z的邻域与0w的邻域的点与点之间建立了一个一一对应关系。若wfz在0z点解析，且0'0fz，则在0z的某邻域内，用映射wfz把过0z的任意两条曲线映射成过0ww的两条曲线后，其夹角保持不变，无穷小线元成比例。这样的变换称作保角变换。3．最简单的保角变换1）平移变换=+wzb．2）转动变换=iwze．3）线性伸缩变换=(r0)wrz．4）倒数变换1=wz．4．线性变换复变函数,0azbwadbcczd确定的变换称为线性变换。该变换除dzc外处处解析，且dzc为一阶极点。线性变换具有如下性质：(1)线性变换azbwczd的逆变换为dwbzcwa．(2)线性变换总可以分解成整线性变换和倒数变换的复合。(3)线性变换是一个保角变换。(4)线性变换具有保圆周性。(5)线性变换具有保对称点性。12,zz关于直线对称，是指12,zz的连线与正交，且被平分。12,zz关于圆:zaR对称，是指12,zz都在过圆心a的同一射线上，且212zazaR。此外，也规定圆心与无穷远点也是关于圆周对称。二、习题1．填空题（1）复平面上一点1+zi关于单位圆周21zz的对称点为________．（2）已知点101z=-,,分别变到点0,,3wii，试求这个分式线性变换w_________．（3）若--izaweza，则'wz_________．该分式线性变换在点a出的旋转角为_________．0acbib=+,；若-1-izaweza,则'wz__________．该分式线性变换在点a出的旋转角为_________．1a；若--iwzaewza-=-,则'wz__________.该分式线性变换在点a出的旋转角为_________.ImIm0a,．（4）圆1122z=内部的区域在2wz下的变换为______________．（5）区域22zizi+,-变到上半平面的保角变换为_____________．（6）将上半单位圆变到上半平面的保角变换为_____________．（7）将单位圆的3扇形域变到上半平面的保角变换为____________.（8）将单位圆1z保角变换成单位圆1w的线性变换，并使一点10aaw变到:______________．（9）函数1wz＝把z平面上的曲线1)1(22yx映射成w平面上怎样的曲线:______________．（10）函数cosz=将带域0Rez映射为w平面的什么域:_____________．2．在z平面上有一由中心在点1-及1、半径为2的二圆弧所围成的区域，求此区域由函数zizi-=+映射到平面上的区域。3．将中心各在0点和1，半径为1的二圆的公共部分映射为上半平面。4．设在z平面上，沿连接点i和3i的直线段有裂缝，将此全z平面映射为上半平面。三、参考答案1．填空题（1）3122+i．（2）133ziz+．（3）2'iaawzeza，-；21'1iaawzeza，；2''wawafa=，．（4）11cos2+．（5）y轴正半轴以上的区域。（6）21-1zwz=．（7）2331-1zwz=．（8）1izaweaz=．（9）直线。（10）实轴上有两条割线11,,,的全平面。2．解：两弧有两个公共点：12zizi=,=，它们的像120zizixizizizi==-==,==++，所以公共点在原点和无穷远点。另一方面zizi=+是分式线性变换，具有保圆性，而连接原点和无穷点的圆弧必为由原点出发的射线。为了确定这两射线的位置，可通过特殊点的像来推断。21z=在右圆弧上，代入变换式-=+zizi，得到2212121211iii==++121222i+=表明ReIm0=，即该点在第三象限的分角线上。同样，21=-+z在左圆弧上，其象在第二象限的分角线上。最后，根据圆弧上三点的走向与区域的关系，它是张角为2的角形区，以负实轴为其分角线。3．解：二圆弧的交点为1213132222iizz=+,=，若能将1z，2z分别映射为0点和无穷远点，则两圆弧成为射线，而圆弧所包区域成为角形区。为此，要用分式线性变换：13221322iztiz=+它把1z映射为=t，将2z映射为0t。为了弄清角区的位置，可在两圆弧上各找一点。现在要旋转43，使角形区完全处于上半平面，且一边与实轴重合，即令4233-==iiuetet。最后要将角形域的夹角增至，放大倍数为3223=，所以令32u，即完成了所要求的变换。用一个函数表示时，可写为3323232322213213itiiziueetezi+===.4．解：应该先将裂缝变为射线，然后将此射线置于正实轴上，最后用根式函数将裂缝的下沿转至负实轴。将裂缝变为射线需用分式线性变换，比如令3zitzi=它将i映射到0点，将3i点映射到点。为决定射线的位置，可将裂缝上的2=zi代入，得到-1t=，所以该裂缝为负实轴。现在要将其旋转到正实轴，所以令=iuet。最后，将正实轴上的裂缝展开，用变换=u。它使裂缝的下沿旋转到负实轴，而裂缝的上沿，为正实轴。将这几步连起来，就得到=u12=iet1122233izizieizizi==.