第六章数列第五讲(数列的综合应用)

1第六章数列第五讲数列的综合应用考纲解析考纲要求能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题．这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度．考点梳理数列的综合应用通常有以下类型：１．等差数列和等比数列的综合问题．２．数列与其它章节的综合题：数列综合题，包括数列知识和指数函数、对数函数、不等式的知识综合起来，另外，数列知识在复数、三角函数、解析几何等部份也有广泛的应用．３．数列的控索性问题：探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现，探索性问题对分析问题、解决问题的能力有较高的要求．４．数列的实际应用：现实生活中涉及到银行利率、企业投金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、曲线长度等实际问题，常常考虑用数列的知识来加以解决．解应用问题的核心是建立数学模型：从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：５．数列应用题常见模型（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差；（2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比。等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题。这都与等比数列有关．注：银行储蓄单利公式及复利公式所属模型分别是：单利公式：设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和__________，属于等差模型；具体问题数列模型实际问题数列问题中，是求nS、na、n还是求d．2复利公式：设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和__________，属于等比模型．课前热身1．一种系列丛书2010年共销售246万册，高中三个年级销售量刚好成等差数列，则高二年级销售量为()A．80B．82C．84D．86２．方程2610xx的两根的等差中项为（）A．1B．2C．3D．4３．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4＝()A．7B．8C．15D．16４．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟５．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，则第n年(本年度为第一年)的投入an=________万元，n年内的总投入nS_________________万元。重点难点方法一、等差数列和等比数列的综合问题例1．已知等差数列{}na的公差0d，且139,,aaa成等比数列，则1392410aaaaaa思路点拨由2319aaa，得2111(8)adaad，解得16da，代入可求。听课笔记归纳点评等差、等比数列的综合综合问题中，“巧用性质、减少运算”解答等差、等比数列计算问题中非常重要的思想方法，应用“基本量法”，树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”．在解题过程中既要充分合理地运用条件，又要时刻注意求解目标，就能收得事半功倍的效果．求解一般数列问题时，常用方程思想、数形结合思想、分类思想将问题转化为等差、等比数列求解.变式训练等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．二、数列与其它章节的综合问题例2．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn等于()A.1nB.1n＋1C.nn＋1D．1思路点拨3通过导函数求出在点(1,1)处的切线方程，令y＝0，得切线与x轴交点的横坐标xn＝nn＋1，代入可求。听课笔记归纳点评在数列与其它章节的综合问题中，首先要认真审题，分析出所涉及的数学分支内容，其次，要精心分解，把整个题分解成若干个小题或步骤，使它们成为各分支中的基本问题，最后，分别求解这些小题或步骤，从而得到整个问题的结论．变式训练1．（2011安徽卷14）已知ABC的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_______________2．设0,0.ab若11333abab是与的等比中项，则的最小值为__________三、数列的实际应用应用问题例3．假设某市2012年新建住房400万平方米，其中250万平方米是安居房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8℅，另外，每年新增住房中，安居房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，（1）该市到哪一年所建中安居房的累计面积（以2012年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的安居房面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.08n参考值如下表)n２３４５６７81.08n1.1661.261.361.471.5871.7141.851思路点拨（1）设经过n年安居房的累计面积将首次不少于4750万平方米，由题意可知安居房面积形成等差数列，其中a1=250，d=50，求出,nnaS，列式4750nS求解．（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1=400，q=1.08，求出nb，列式nnab，估值求解．听课笔记归纳点评解答数列应用题的步骤：（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意；（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数列问题，弄清该数列的特征、要求是什么；（3）求解——求出该问题的数学解；4（4）还原——将所求结果还原到实际问题中．变式训练１．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35．)及时突破1．等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是()A．90B．100C．145D．1902．设等差数列na的公差d不为0，19ad．若ka是1a与2ka的等比中项，则k.A2.B4.C6.D83．等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝15，S9＝18，在等比数列{bn}中，b3＝a3，b5＝a5，则b7的值为()A．3B．2C．23D．434．某工厂去年的产值为P，计划在5年内每年比上一年产值增长10％，则从今年起5年内该工厂的总产值为（）A.P)11.1(115B.P)11.1(114C.P)11.1(105D.P)11.1(1045．已知数列na中，123,6aa，且21nnnaaa，则2011a的值为（）A．－3B．3C．6D．－6课时训练1．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A.n24＋7n4B.n23＋5n3C.n22＋3n4D．n2＋n2．已知数列{an}是首项为a1的等比数列，则能保证4a1，a5，－2a3成等差数列的公比q的个数为()A．0B．1C．2D．33．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．14B．34C．24D．234．（2011湖北卷）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_____________升。5A．1升B．6766升C．4744升D．3733升5．在右侧的表格中，若每格内填上一个数后，每一横行的三个数成等差数列，每一纵列的三个数成等比数列，则表格中x的值为()A.14B.13C.12D．－126．已知0x，0y，xaby，，，成等差数列，xcdy，，，成等比数列，则2()abcd的最小值是.A0.B1.C2.D4二、填空题7．设na是公比为q的等比数列，nS是它的前n项和，若nS是等差数列，则q_______.8．三个互不相等的实数a,1，b依次成等差数列，且a2，1，b2依次成等比数列，则1a＋1b＝________.9．已知等差数列{an}中，a3＝7，a6＝16，将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10……………则此数阵中第20行从左到右的第10个数是________．三、解答题10．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.11．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二、三、四项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}对任意自然数n均有1332211nnnabcbcbcbc成立．求c1＋c2＋c3＋…＋c2003的值．612．(2011湖南卷文)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．（I）求第n年初M的价值na的表达式；（II）设12,nnaaaAn若nA大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．参考答案：考点梳理(1)naarn(1)nnaar课前热身1．选B．设三个年级销量为123,,aaa，则123223246,82aaaaa．2．选C．126xx，中项为３.３．选C．据已知可得4a2＝4a1＋a3，两边同除以a1可得4q＝4＋q2，解得q＝2，故S4＝1×1－241－2＝15.４．选B．设至少需要n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴1－2n1－2≥100，∴n≥7.５．解：111800(1)8000.85nnna，4000(10.8)nnS重点难点方法例1．解：由2319aaa，得2111(8)adaad，解得16da，∴13911241011310637313819aaaadaaaaada变式训练解：∵S1,2S2,3S3成等差数列，∴4S2=S1+3S3，21111114()()aaqaaaqaq，解得713q或0q（舍），∴13q．例2．解：(1)nynx，∴切线斜率(1)1kfn，切线方程为：1(1)(1)ynx，令y＝0，得切线与x轴交点的横坐标xn＝nn＋1，所以x1·x2…·xn＝1231123411nnnnn，故选B．变式训练解：１.填153．设三边分别为44a,a,a，则由余弦定理得：2224424120aaaaacos，解得10a，由面积公式得11412010612015322Saasinsin２．解：∵333ab是与的等比中项，∴23333ab，∴1ab，∴1111()()24ababababba，∴11ab的最小值为４.例３．解析：（1）由题意可知安居房面积