电磁场与电磁波(第5章)

第5章静态场的解静态场是指场量不随时间变化的场。静态场包括：静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁场的特例。分析静态场，必须从麦克斯韦方程组这个电磁场的普遍规律出发，导出静态场中的麦克斯韦方程组，即描述静态场特性的基本方程。再根据它们的特性，联合物态方程推导出位函数的泊松方程和拉普拉斯方程。最后，静态场问题可归结为求泊松方程和拉普拉斯方程解的问题。通常求解这两个方程的方法有：镜像法、分离变量法和格林函数法，它们属于解析法，而在近似计算中常用有限差分法。1.静电场、恒定电场、恒定磁场的基本方程4.镜像法重点：3.求解静态场位函数方程的方法所依据的理论：对偶原理、叠加原理、唯一性定理2.静态场的位函数方程5.1泊松方程和拉普拉斯方程5.1.1静态场中的麦克斯韦方程组对于静态场，各场量只是空间坐标的函数，并不随时间而变化，即与时间t无关。因此，静态场的麦克斯韦方程组为：00DEBHJ00svlslsDdsdvEdlBdsHdlJds电流连续性方程为：00JdssJ由上述方程组可知，静态场与时变场最基本的区别在于静态场的电场和磁场是彼此独立存在的，即电场只由电荷产生，磁场只由电流产生。没有变化的磁场，也没有变化的电场。既然如此，我们就可以分别写出静电场、恒定电场和恒定磁场的基本方程。1、静电场的基本方程静电场是静止电荷或静止带电体产生的场，其基本方程为0DE0svlDdsdvqEdl上式表明：静电场中的旋度为0，即静电场中的电场不可能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。另外：电介质的物态方程为E静电场是一个有源无旋场，所以静电场可用电位函数来描述，即DE2、恒定电场的基本方程载有恒定电流的导体内部及其周围介质中产生的电场，即为恒定电场。当导体中有电流时，由于导体电阻的存在，要在导体中维持恒定电流，必须依靠外部电源提供能量，其电源内部的电场也是恒定的。若一闭合路径经过电源，则：ElEdle0sJds即电场强度的线积分等于电源的电动势EEe若闭合路径不经过电源，则：0lEdl这是恒定电场在无源区的基本方程积分形式，其微分形式为00EJ从以上分析可知，恒定电场的无源区域也是一个位场，也可用一个标量函数来描述。另外：导体中的物态方程为EJE3、恒定磁场的基本方程0slsBdsHdlJds这是恒定磁场的基本方程。BH从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋涡场的源，磁力线是闭合的。另外：磁介质中的物态方程为恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体中的传导电流为I，电流密度为,则有J0BHJ静电场既然是一个位场，就可以用一个标量函数的梯度来表示它:E5.1.2泊松方程和拉普拉斯方程1、静电场的位函数即式中的标量函数称为电位函数。0所以有对于均匀、线性、各向同性的介质，ε为常数,()DEE()即静电场的位函数满足的泊松方程。2上式即为在有电荷分布的区域内，或者说在有“源”的区域内，静电场的电位函数所满足的方程，我们将这种形式的方程称为泊松方程。如果场中某处有ρ=0，即在无源区域，则上式变为20我们将这种形式的方程称为拉普拉斯方程。它是在不存在电荷的区域内，电位函数应满足的方程。2在直角坐标系中2222222xyz在圆柱坐标系中22222211()rrrrrz在球坐标系中22222222111()(sin)sinsinRRRRRR2拉普拉斯算符在不同的坐标系中有不同的表达形式：2、恒定电场的位函数则有20＝在无源区域，恒定电场是一个位场，即有0E这时同样可以引入一个标量位函数使得E这说明，在无源区域，恒定电场的位函数满足拉普拉斯方程。根据电流连续性方程及物态方程并设电导率为一常数（对应于均匀导电媒质），则有0JJE2()()0JE3、恒定磁场的位函数分布2()AAAJ人为规定0A(1)磁场的矢量位函数这个规定被称为库仑规范2AJ于是有此式即为矢量磁位的泊松方程。恒定磁场是有旋场，即,但它却是无散场，即BJ0BABA＝引入一个矢量磁位后，由于，可得20A在没有电流的区域,所以有0J在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为00BH(2)磁场的标量位函数m这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性质，因此，像静电场一样，我们可以引入一个标量函数，即标量磁位函数注意：标量磁位的定义只是在无源区才能应用。Hm即令此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程以上所导出的三个静态场的基本方程表明：静态场可以用位函数表示，而且位函数在有源区域满足泊松方程，在无源区域均满足拉普拉斯方程。因此，静态场的求解问题就变成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的问题。这两个方程是二阶偏微分方程，针对具体的电磁问题，不可能完全用数学方法求解。在介绍具体的求解方法之前，我们要先介绍几个重要的基本原理，这些原理将成为以后求解方程的理论依据。当媒质是均匀、线性和各项同性时，由和可得0BBH0HHm由于20m5.2对偶原理如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并且有相似的边界条件或对应的边界条件，那么它们的数学解的形式也将是相同的，这就是对偶原理。具有同样数学形式的两个方程称为对偶性方程，在对偶性方程中，处于同等地位的量称为对偶量。有了对偶原理后，我们就能把某种场的分析计算结果，直接推广到其对偶的场中，这也是求解电磁场的一种方法。1、ρ=0区域的静电场与电源外区域的恒定电场的对偶0E20qI对偶量恒定电场静电场0EEEEE0J0DDJDEJE20qDdssIJdss0E20m对偶量恒定磁场静电场0HEH0B0DDBDEBH20mqqDdssBsds2、ρ=0区域的静电场与区域的恒定磁场的对偶0J5.3叠加原理和唯一性定理在研究具体的工程电磁场问题时，无论是静电场、恒定电场、还是恒定磁场，都需要根据实际工程中给定的边界条件，通过求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到标量电位函数或矢量磁位函数。5.3.1边界条件的分类给定位函数的边界条件通常有三类：第一类边界条件直接给定整个场域边界上的位函数值()fs为边界点S的位函数，这类问题称为第一类边界条件。()fs因为()fsn故上式相当于给定了边界表面的面电荷密度或电场强度的法向分量，这类问题称为第二类边界条件。snnDEn第二类边界条件只给定待求位函数在边界上的法向导数值第三类边界条件给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合()()12fsfsn这是混合边界条件，称为第三类边界条件。5.3.2叠加原理若和分别满足拉普拉斯方程，即和,则和的线性组合：必然也满足拉普拉斯方程：式中a、b均为常系数。122102201212ab212()0ab5.3.3唯一性定理唯一性定理可叙述为：对于任一静态场，在边界条件给定后，空间各处的场也就唯一地确定了，或者说这时拉普拉斯方程的解是唯一的。5.4镜象法镜象法是利用一个与源电荷相似的点电荷或线电荷来代替或等效实际电荷所产生的感应电荷，这个相似的电荷称为镜象电荷，然后通过计算由源电荷和镜象电荷共同产生的合成电场，而得到源电荷与实际的感应电荷所产生的合成电场，这种方法称为镜象法。一般可以考虑采用标量位函数来计算这个由电荷所产生的合成电场，这样可以避免复杂的矢量运算。当然，这就需要假设镜象电荷与源电荷共同产生了一个总的电位函数，它既能满足给定的具体边界条件，又在一定区域内满足拉普拉斯方程。那么，根据唯一性定理，所假设的位函数就是该区域上的唯一的电位函数。因此，用镜象法求解静电场问题的关键是寻找合适的镜象电荷，然后再引出位函数并求解，这是分析很多电磁问题的一种有效方法。5.4.1点电荷与无限大的平面导体的合成场计算如图所示，设有一无限大平面导体，距平面h处有一点电荷+q，周围介电常数为ε，hq无限大平面导体qqhoPz1r2r无限大平面导体取直角坐标系，使z=0的平面与导体平面重合，并将+q电荷放在z轴上。这时整个电场是静电场，是由电荷q和导体平面上的感应电荷产生的。用唯一性定理可以验证，这个假设的电位函数就是我们所要求的合成场。如果设想把无限大导电平板撤去，整个空间充满同一种介质ε，并在点电荷q的对称位置上，放一个点电荷-q来代替导电平板上的感应电荷。那么在z0空间里任一点p(x,y,z)的电位就应等于源电荷q与镜象电荷-q所产生的电位之和。这时，p点的电位为112221212222221111()44411[]4[()][()]qrqqrrrqxyzhxyzhqqhoPz1r2r无限大平面导体点电荷q与导体平面之间的电位必须满足下列条件：1、在z=0处，=0，因为无限大的导体平面电位为零；2、在z0的空间里，除了点电荷所在的点外，处处应该满足：20hq无限大平面导体注意：1、镜象电荷不能放在要讨论的区域中，放在被讨论的区域中时将会改变所放置区域的电位分布，所得出的电位将不满足原来的拉普拉斯方程或泊松方程。2、镜像电荷周围的介质应该是与被讨论的区间一致的。3、所得电位函数必须满足原来的边界条件。1、若将源点电荷换成线电荷，让线电荷的线与平面平行，由于线电荷可以看成是由无限多个连续分布的点电荷组成的，用镜象法同样可计算出在z0的空间任一点的电位。推广210ln2rrl2、两相交半无限大导体平面，在角区内的点电荷、线电荷的场也可用镜象法求解。点电荷对于夹角为垂直的接地两块相连导电平面的镜像:3、无限长通电直导线在一无限大磁介质平面上方在空间中一点P的磁场由电流和镜象电流共同产生。4、当天线架设得比较低时，通常把地面假设为无限大的理想导电平面，地面的影响将归结为镜象天线所起的作用。5.4.3球形边界问题1、如图，接地导体球，半径为a，在球外与球心相距为d的点处有一点电荷q，点电荷q将在导体球表面产生感应负电荷，球外任一点的电位应等于这些感应电荷与点电荷q产生的电位之和。4412qqRR设想把导体球移开，用一个镜象电荷代替球面上的感应负电荷，为了不改变球外的电荷分布，镜象电荷必须放在导体球内。又由于球对称性，这个镜象电荷必然在点电荷q与球心所在的同一条直线上。又由于靠近点电荷q的球面部分，感应电荷密度大些，所以镜象电荷必定在OM线段上，设在B点,OB=b，则位函数表达式为M2RdRboB2ra1r1RPqNCaqqd可求出：可知镜象电荷与源电荷总是极性相反的，确定了镜像电荷的位置和电量大小，则位函数表达式就确定了。采用镜象法后，球面外区域的电位函数相对容易计算。2、若导体球不接地，导体球上的静电荷为0，并且球面电位不为0，但仍保持为等位面，为了满足导体球上静电荷为0的条件，还需加入另一镜象电荷,使qqq即：0qq球面电位为：4qa球面12'444Pqqqrrr导体球外各点的电位由q,和共同产生：'qqdrbq'q2ra1rPq5.4.4圆柱形边界问题一无限长带电线，电荷密度为,与半径为a的无限长导电圆柱的轴线平行，线与圆柱轴线的距离为