电磁场第四章习题解答

第四章习题解答4.1如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为，求槽内的电位函数。解根据题意，电位满足的边界条件为①②③根据条件①和②，电位的通解应取为由条件③，有两边同乘以，并从0到对积分，得到故得到槽内的电位分布4.2两平行无限大导体平面，距离为，其间有一极薄的导体片由到。上板和薄片保持电位，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从到，电位线性变化，。解应用叠加原理，设板间的电位为其中，为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为）的电位，即；是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：①②0U(,)xy(0,)(,)0yay(,0)0x0(,)xbU(,)xy1(,)sinh()sin()nnnynxxyAaa01sinh()sin()nnnbnxUAaasin()nxaax002sin()dsinh()anUnxAxanbaa02(1cos)sinh()Unnnba04,1,3,5,sinh()02,4,6,Unnnban，01,3,5,41(,)sinh()sin()sinh()nUnynxxynnbaaabdyby)(x0U0ydy0(0,)yUyd(,)xy12(,)(,)xyxy1(,)xy0U10(,)xyUyb2(,)xy22(,0)(,)0xxb2(,)0()xyx题4.1图yoyboydy题4.2图③根据条件①和②，可设的通解为由条件③有两边同乘以，并从0到对积分，得到故得到4.3求在上题的解中，除开一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按定出边缘电容。解在导体板（）上，相应于的电荷面密度则导体板上（沿方向单位长）相应的总电荷相应的电场储能为其边缘电容为4.4如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。解根据题意，电位满足的边界条件为①②③和②，电位的通解应取为根据条件①002100(0)(0,)(0,)(0,)()UUyydbyyyUUyydybdb2(,)xy21(,)sin()enxbnnnyxyAb00100(0)sin()()nnUUyydnybAUUbyydybdbsin()nybby0002211(1)sin()d()sin()ddbndUUynynyAyyybbbbdbb022sin()()Ubndndb(,)xy0022121sin()sin()enxbnUbUndnyybdnbb0Uyb202UWCef0y2(,)xy002200121sin()enxbynUndydnbz2220d2dqxx001022sin()ednxbnUndxndb0022141sin()nUbnddnb20020221211sin()2enbUndWqUdnb022210241sin()efnWbndCUdnb0U(,)xy(0,)(,)0yay(,)0()xyy0(,0)xU(,)xy题4.4图由条件③，有两边同乘以，并从0到对积分，得到故得到槽内的电位分布为4.5一长、宽、高分别为、、的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为的电荷。求体积内的电位。解在体积内，电位满足泊松方程（1）长方体表面上，电位满足边界条件。由此设电位的通解为代入泊松方程（1），可得由此可得或（2）由式（2），可得1(,)sin()nnnyanxxyAea01sin()nnnxUAasin()nxaax002sin()danUnxAxaa02(1cos)Unn04,1,3,5,02,4,6,Unnn，01,3,5,41(,)sin()nyanUnxxyenaabc()sin()sin()xzyybac22222201()sin()sin()xzyybxyzacS0S11101(,,)sin()sin()sin()mnpmnpmxnypzxyzAabc222111[()()()]mnpmnpmnpAabcsin()sin()sin()mxnypzabc()sin()sin()xzyybac0mnpA(1m1)p222111[()()()]sin()npnnyAabcb()yyb2221102[()()()]()sin()dbnnnyAyybyabcbb34()(cos1)bnbn2381,3,5,()02,4,6,bnnn故4.6如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与轴平行的线电荷，其位置为。求板间的电位函数。解由于在处有一与轴平行的线电荷，以为界将场空间分割为和两个区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度。电位的边界条件为①②③由条件①和②，可设电位函数的通解为由条件③，有（1）（2）由式（1），可得（3）将式（2）两边同乘以，并从到对积分，有（4）由式（3）和（4）解得故2532221,3,5,081(,,)sin()sin()sin()11[()()()]nbxnyzxyznabcnabczlq),0(d(0,)dzlq0x0x0x1(,)xy2(,)xy0xlq0()()lyqyy11(,0)(,)0xxa=22(,0)(,)0xxa=1(,)0xy()x2(,)0xy()x12(0,)(0,)yy2100()()lxqydxx11(,)sin()nnnxanyxyAea(0)x21(,)sin()nnnxanyxyBea(0)x1sin()nnnyAa1sin()nnnyBa1sin()nnnnyAaa1sin()nnnnyBaa0()lqydnnABsin()mya0aynnAB002()sin()dalqnyydyna02sin()lqndna0sin()lnnqndABna1101(,)sin()sin()lnnxaqndnyxyenaa(0)x题4.6图4.7如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷。求槽内的电位函数。解由于在处有一与轴平行的线电荷，以为界将场空间分割为和两个区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度，电位的边界条件为①，②③由条件①和②，可设电位函数的通解为由条件③，有（1）（2）由式（1），可得（3）将式（2）两边同乘以，并从到对积分，有（4）由式（3）和（4）解得2101(,)sin()sin()lnnxaqndnyxyenaa(0)xlq),(00yxzlq0xx00xx0xxa1(,)xy2(,)xy0xxlq0()()lyqyy1(0,)0y=2(,)0ay11(,0)(,)0xxb=22(,0)(,)0xxb=1020(,)(,)xyxy02100()()lxxqyyxx11(,)sin()sinh()nnnynxxyAbb)0(0xx2(,)xy1sin()sinh[()]nnnynBaxbb)(0axx0011sin()sinh()sin()sinh[()]nnnnnxnynynABaxbbbb01sin()cosh()nnnxnnyAbbb01sin()cosh[()]nnnnynBaxbbb)(00yyql00sinh()sinh[()]0nnnxnABaxbbsin()myb0by)](cosh[)cosh(00xabnBbxnAnn0002()sin()dblqnyyyynb002sin()lqnynb00021sinh[()]sin()sinh()lnqnynAaxnabnbbb题4.7图故若以为界将场空间分割为和两个区域，则可类似地得到4.8如题4.8图所示，在均匀电场中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为。求导体圆柱外的电位和电场以及导体表面的感应电荷密度。解在外电场作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场的电位与感应电荷的电位的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量无关。在圆柱面坐标系中，外电场的电位为（常数的值由参考点确定），而感应电荷的电位应与一样按变化，而且在无限远处为0。由于导体是等满足的边界条件为位体，所以①②由此可设由条件①，有于是得到故圆柱外的电位为00021sinh()sin()sinh()lnqnxnyBnabnbb101021(,)sinh[()]sinh()lnqnxyaxnnabb0sin()sinh()sin()nynxnybbb)0(0xx021021(,)sinh()sinh()lnqnxxynnabb0sin()sinh[()]sin()nynnyaxbbb)(0axx0yy00yy0yyb101021(,)sinh[()]sinh()lnqnxybynnbaa0sin()sinh()sin()nxnynxaaa0(0)yy021021(,)sinh()sinh()lnqnyxynnbaa0sin()sinh[()]sin()nxnnxbyaaa0()yyb00xEEeaE0E0E0inz000(,)cosrExCErCC(,)inr0(,)rcos(,)r(,)aC0(,)cos()rErCr101(,)coscosrErArC101coscosEaAaCC021EaA210(,)()cosrrarEC题4.8图若选择导体圆柱表面为电位参考点，即，则。导体圆柱外的电场则为导体圆柱表面的电荷面密度为4.9在介电常数为的无限大的介质中，沿轴方向开一个半径为的圆柱形空腔。沿轴方向外加一均匀电场，求空腔内和空腔外的电位函数。解在电场的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场为外加电场与极化电荷的电场的叠加。外电场的电位为而感应电荷的电位应与一样按变化，则空腔内、外的电位分别为和的边界条件为①时，；②时，为有限值；③时，，由条件①和②，可设带入条件③，有，由此解得，所以4.10一个半径为、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题4.10图所示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第象限分别保持电位和。求圆一象限和第三柱面内部的电位函数。解由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为为有限值；①②；由条件①可知，圆柱面内部的电位函数的通解为(,)0a0C1(,)rrrrEee