终极资料整理版-山东科技大学矩阵理论往年试卷

第1页共18页山东科技大学2006—2007学年第一学期《矩阵理论》考试试卷班级姓名学号题号一二三四五六七总得分评卷人审核人得分一、单项选择题(每题2分，共8分)1、设1()kkAfAk收敛，则A可以取为A.0091B.0091C.1011D.100.112、设211112121M，则M不存在A.QR分解B.满秩分解C.奇异值分解D.谱分解3、设2222221212134400033ttttttAttttteeeteeeeeeee，则A=A.214020031B.114010061C.224020031D.2040200614、设3阶矩阵A满足多项式222(4)(3)AEAEO,且其最小多项式m(x)满足条件(1)(3)1mm，则A可以相似于A.200130002MB.200020022M第2页共18页C.200120022MD.200030013M二、填空题(每题5分，共20分)1、设220AA，则cos2A＝。2．已知nnAC,并且()1A,则矩阵幂级数0kkkA=。3．设矩阵1234412334122341A，则A的谱半径()A＝。4、设5阶复数矩阵A的特征多项式为22()(1)(2)f,则.三、（12分）设152010001A，试求矩阵B使得5BA。四、（10分）设221111122A，求Ate。五、证明题(10分)设()ijnnAa是n阶复数矩阵，()ijnnBa是由A的元素取模后得到的矩阵。设对一切欧几里德范数为n的复向量x均有*1xBx，证明32EA可逆，并求其逆。六、(10分)复数域C是实数域R上的2维线性空间.试定义C上的一个内积,使得1与1i成为C的一个标准正交基；并求1i的长度.七、(10分)求矩阵122211212101A的满秩分解。八、(10分)对于任何非零列向量nxR及任何单位列向量nzR，存在Householder矩阵H，第3页共18页使得Hxxz。九、（10分）在复数域上求矩阵7137341024A的Jordan标准形J，并求出可逆矩阵P，使得JAPP1。第4页共18页第5页共18页第6页共18页第7页共18页第8页共18页第9页共18页山东科技大学2006—2007学年第一学期《矩阵理论》考试试卷答案一、（答案AAAAB）1注：A的特征值为0，-1，而1kkxk的收敛区间为[1,1)2、注：由定理M有n个不同特征值，故可以对角化3、注：M的秩为2故无QR分解4、注：'()AtAteAe，故'000AAttAAeAee5、注：B中矩阵的最小多项式为22x二、1、E+2cos11A2．2AEA3．3234、20注：把E写成1或I均可；2AEA也可有其它等价形式如222,,EEEAAAEAEAEA等三、解A的特征值为－1，－1，1。属于－1的特征向量与广义特征向量为100，0150；属于1的特征向量为101。令1011005001P，则1110010001PAPJ。令第10页共18页110(1)(1)0010,0(1)0001001nnnnxnxKK故取15x，则5.KJ于是令1BPKP，则5511BPKPPJPA。故1101101015100010050500100100111151011000505001001112010.001B(解法2)更简单地，A的Jordan标准型J如上。则为使5BA只要找到K使得5150010,001K于是选110(1)(1)0010,0(1)0001001nnnnxnxKK从而取1x，则有55110150010010.001001K这个矩阵与A的差别仅在于右上角，而这可以利用相似的初等变换得到，即将K的第3行的1倍加到第1行，自然将其第1列的第11页共18页－1倍加到第三列即可：于是，B=PKP－1，其中P为下面的初等矩阵101010,001P此时112010.001B四、解IA的Jordan标准形与过渡矩阵分别为100111011,010001110JP。因此111100011010001011000121(1)2(12).2(1)AtJttttttttttttttePePeeteetetetetetetetetete解2利用A的最小多项式(x-1)2.可知必有一次多项式f(x)=ax+b,使得f(A)即为所求。由a+b=f(1)=te与a=f’(1)=tte可知b=(1)tte.于是(1)2(1)(12).2(1)tttAtttttttttteteteeteAteEtetetetetete五、证明由于,1||1nTijijBa(取=(1,1,…,1)T即可)。故()1A，因此矩第12页共18页阵A的特征值的模均小于1，从而矩阵32EA的特征值的模均大于32()0A,从而可逆。进一步，矩阵幂级数2222333nEAAA收敛，其和恰为1123(32)3EAEA，因此1(32)EA＝212223333nEAAA。六、解对任意xj+yjiC，j=1,2,有xj+yji=(xj-yj)·1+yj·(1+i)。为使1与1i成为C的一个标准正交基，必要且只要1,1+i=0，1+i,1+i=1，1,1=1,必要且只要x1+y1i,x2+y2i=(x1-y1)(x2-y2)+y1y2.上式定义了一个C上的内积：对称性与正定性是显然的；且由于该内积还是x1，x2，y1，y2的二次型，故双线性性质也成立。在上述内积下，向量x+yi的长度等于[(x-y)2+y2]1/2;因此1－i的长度为51/2.七、解：对矩阵A进行初等行变换0111000001130200012101100122201011210012101GBIA其中30202101G所以000030202101B，111011001P；而SFP1120110011，其中121101F由此可见，所以有12110101FGGSFBPA30202101。八、[证明]当xxz时，选u满足Tux0，则THxI2uuxxxz第13页共18页当xxz时，选xxzuxxz，有2T2TTTTTTTxxzxxzxxzxxxzzxzxxz2xxxzx2xxzxTxxz(xxz)HxI2xxxxzxzxxzxxz九、解：由初等变换可得32000100017137341024A，所以，A与Jordan标准形200120012J相似。令51371410262AIH，1）求解方程组0XHT，得到201kX，取2,1,0B；2）由0XBH，得到112kX，取1121；3）由01XBH，得到010kX，取0102；第14页共18页4）由2HX，得到031kX，取0313；所以，001311102,,321P。检验有012532224PJAP，即JAPP1。第15页共18页山东科技大学2010研究生矩阵理论试卷1、在矩阵的四个空间中，行空间、列空间、零空间和左零空间中，维数与矩阵的秩相等的子空间是______.2、在矩阵的四个基本子空间中，和列空间构成正交补的是_____。3、利用QR分解可以讲矩阵分解为____和_____矩阵乘积。4、通过矩阵_____分解，可以获得矩阵四个基本子空间的标准正交基。5、将3×3矩阵的第一行加到第三行是初等变换，对应的初等矩阵式_____.6、当矩阵的_____空间中有非零向量的时候，线性方程组Ax=b有无穷多解。7、所有的2×2实矩阵组成一个向量空间，这个空间的标准基是____.8、通过施密特正交化可以获得矩阵的_____分解。9、在选定一个基后，任何维数为n的欧式空间与_____同构。10、如果将矩阵视为线性处理系统，矩阵有m行，n列，则输入空间的维数是______。二、判断题1、给定一个线性空间，他的基不是唯一的，但是各个基中的基向量个数是相等的。（）2、两个子空间的并集是一个子空间。（）3、在线性方程组Ax=b，当矩阵A式列满秩的时候，无论向量b是什么，方程组都有解。（）4、线性变换在不同的基下的矩阵一般不同，同一线性变换的不同矩阵表示所对应的特征值都相同。（）5、线性变换在不同基下的矩阵一般不同，但是对应同一线性变换的各个矩阵的特征向量都相同。（）6、矩阵特征值的代数重数是该特征值对应的特征子空间的维数。（）7、任何N×N的实矩阵都可以对角化。（）8、矩阵的左逆就是矩阵的最小范数广义逆。（）9、任何M×N实矩阵都有奇异值分解。（）10、正交投影矩阵都是幂等矩阵。（）三、（矩阵的四个基本子空间和投影矩阵）设矩阵A为A=24241、求矩阵A的四个基本子空间的基和维数2、画出矩阵A的四个基本子空间的示意图。3、写出投影到矩阵A的列空间的正交投影矩阵，计算向量b=[01]T在列空间上的投影矩阵。4、写出投影到矩阵A的左零空间的正交投影矩阵，计算向量b=[01]在左零空间上的投影向量。四、（矩阵奇异值分解的伪逆）设矩阵A为A=22-111、求矩阵A的奇异值分解。2、通过奇异值分解计算举着的M-P伪逆。五、（基变换和坐标变换）在线性空间V=P3(x)中，有三个向量f1（x）=-3+2x-x2f2（x）=-x+2x2f3(x)=-1+2x-x2第16页共18页1、证明B={f1（x），f2（x），f3（x）}构成V=P3（x）的一个基。2、设V=P3（x）中有标准基S={1，x，x2}