第六章第六节多元函数的极值及其求法

第八节二元函数的极值一、二元函数的极值1．定义2．极值存在的必要条件：定理：如果函数yxf,在点00,yx处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有0,00yxfx0,00yxfy驻点：满足0,00yxfx0,00yxfy的点注：驻点可能是极值点，极值点不一定是驻点，极值点有可能是偏导数不存在的点。例1求22,yxyxf的极值例2求222,yxRyxf的极值例3讨论1,22xyyxf是否有极值。注：驻点不一定是极值点。3．极值存在的充分条件：定理如果函数yxf,在点00,yx的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且00,yx是它的驻点，设Ayxfxx00,Byxfxy00,Cyxfyy00,ACB2①00A且，则00,yxf是极大值。②00A且，则00,yxf是极小值。③0，则00,yxf不是极值。④0，需另法判断。例4求函数5126,23yxxyyxf的极值。注：极值的一般求法：①解方程组0,0,yxfyxfyx求出一切驻点；②对每一个驻点，求出Ayxfxx00,Byxfxy00,Cyxfyy00,③对每一驻点，由判别式法判断。4．多元函数最值的求法：在实际应用中，只有一个驻点，即为所求的点。例5要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最省？例6某工厂生产两种产品I与II，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品I与y单位的产品II的总费用是：)(3301.03240022元yxyxyx求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？二、条件极值与拉格朗日乘数法无条件极值：自变量x与y相互独立条件极值：有约束条件0,yxg拉格朗日乘数法（一）约束条件函数0,,yxgyxfz①构造拉格朗日函数yxgyxfyxF,,,,②解方程组0,00yxgFgfFgfFyyyxxx解出的yx,可能为极值。③判断yx,是否是极值，一般由具体问题判断。（二）条件约束函数0,,0,,,,zyxhzyxgzyxfu①构造拉格朗日函数zyxhzyxgzyxfzyxF,,,,,,,,,②解方程组0,,0,,00000000zyxhzyxghgfFhgfFhgfFFFFFFzzzzyyyyxxxxzyx解出的zyx,,可能为极值。③判断zyx,,是否是极值，一般由具体问题判断。例1要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最省？分析：约束条件函数xyzVzxyzxyS2xyzVSSSzyx000例2求由一定点000,,zyx到平面0DCzByAx的最短距离d分析：约束条件函数0202020DCzByAxzzyyxxd由于偏导计算复杂，为简化计算，问题转化为：约束条件函数02020202DCzByAxzzyyxxd三、最小二乘法（建立经验公式的一种常用方法）作业：课堂练习：P336/1、2、3习题：P120/1（1）（3）、2、3、6、7