第六章边值问题差分法简介new

第第六六章章边边值值问问题题差差分分法法简简介介我我们们考考虑虑如如下下简简单单边边值值问问题题。。12''()()()()(),()yxgxyxfxaxbyadybd其其中中，，(),()gxfx为为已已知知函函数数，，()0gx（（为为了了解解方方程程收收敛敛））。。12,bb为为已已知知常常数数。。它它的的解解法法可可以以用用数数值值微微分分公公式式代代替替导导数数，，将将其其变变成成代代数数方方程程，，然然后后求求解解，，这这中中求求解解方方法法通通常常称称为为差差分分法法。。我我们们要要求求函函数数()yyx，实实质质是是关关心心两两个个数数域域之之间间的的对对应应关关系系：：xy所所以以我我们们知知道道一一系系列列ix对对应应的的iy就就足足够够了了，，所所以以这这类类问问题题解解决决思思路路是是将将方方程程离离散散化化，，转转化化为为解解一一个个线线性性方方程程组组。。首首先先，，用用分分点点0123,,2,3,...,nxaxahxahxahxanhb将将区区间间nn等等分分，，hh为为步步长长，，0,1,2,...,ixin称称为为节节点点。。其其次次在在[[aa，，bb]]内内每每个个内内部部节节点点1,2,...,1ixin上上用用数数值值微微分分公公式式。。11112211''()(2)(2)iiiiiiiyxyyyyyyhh替替代代原原方方程程中中的的二二阶阶导导数数得得在在节节点点1,2,...,1ixin满满足足的的关关系系是是式式：：1121(2)()()()1,2,3,...,1iiiiiiyyygxyxfxinh即即：：21121((2()))()1,2,3,...,1iiiiiyhgxyyfxinh注注意意：：上上式式是是关关于于未未知知数数为为11,,iiiyyy的的线线性性方方程程。。我我们们有有nn--11个个这这样样的的方方程程，，组组成成方方程程组组。。未未知知数数0,1,2,3,...,iyin，，共共nn++11个个。。再再加加上上边边值值条条件件012,nydyd，，nn++11个个未未知知数数，，nn++11个个方方程程，，方方程程组组封封闭闭。。解解此此线线性性方方程程组组，，得得到到问问题题的的数数值值解解。。方方程程组组为为：：20112122122322011((2()))()11((2))()2..........yhgxyyfxihyhgyyfxihyd21121((2))()...........iiiiiyhgyyfxiih22111221((2))()1nnnnnnyhgyyfiyxdnh矩矩阵阵形形式式：：2(2)iiThg211112222221112111..................11................1iiinnnhfdTyTyhfTyhfTyhfd由由于于()0gx所所以以，，对对角角占占优优矩矩阵阵，，用用追追赶赶法法求求解解。。解解决决实实际际问问题题，，首首先先，，用用分分点点012,,2,...,nxaxahxahxanhb将将区区间间nn等等分分；；再再直直接接计计算算2(2),()iiiiThgffx得得到到线线性性方方程程组组出出发发，，解解之之。。第第七七章章蒙蒙特特卡卡罗罗方方法法简简介介((MMoonntteeCCaarrllooMMeetthhooddss))蒙蒙特特卡卡罗罗方方法法又又称称随随机机抽抽样样法法或或者者统统计计试试验验法法。。上上世世纪纪，，由由于于科科学学技技术术的的发发展展和和电电子子计计算算机机的的出出现现，，这这种种方方法法被被独独立立提提出出来来，，并并首首先先在在核核武武器器的的研研究究中中得得到到应应用用。。MMCC方方法法是是一一种种计计算算方方法法，，但但与与一一般般数数值值计计算算方方法法差差别别很很大大。。它它以以概概率率统统计计理理论论为为基基础础，，能能够够比比较较逼逼真真的的描描述述事事物物的的特特点点和和物物理理实实验验过过程程。。该该方方法法可可以以解解决决一一些些数数值值方方法法无无法法解解决决的的问问题题，，并并有有自自己己的的特特点点，，因因而而该该方方法法成成为为一一种种重重要要的的数数值值方方法法。。很很多多地地方方为为了了解解决决气气体体流流动动，，求求气气体体分分子子在在空空间间的的分分布布问问题题也也用用MMCC方方法法。。§§11MMCC方方法法的的基基本本思思想想例例：：扔扔硬硬币币，，扔扔两两个个硬硬币币，，结结果果两两个个硬硬币币的的字字都都在在上上的的机机率率是是多多少少？？解解决决此此问问题题可可有有以以下下方方法法：：概概率率统统计计理理论论11125%224P或或者者出出现现四四种种情情况况的的几几率率都都相相同同，，所所以以结结果果两两个个硬硬币币的的字字都都在在上上的的几几率率为为2255%%。。实实验验找找个个硬硬币币具具体体扔扔上上NN次次，，数数以以下下如如果果mm次次两两个个硬硬币币的的字字都都在在上上，，则则认认为为两两个个硬硬币币的的字字都都在在上上的的几几率率为为mPNMMCC方方法法用用计计算算机机模模拟拟扔扔硬硬币币，，模模拟拟扔扔上上NN次次，，数数以以下下如如果果mm次次两两个个硬硬币币的的字字都都在在上上，，则则认认为为两两个个硬硬币币的的字字都都在在上上的的机机率率为为mPN如如何何模模拟拟扔扔硬硬币币？？本本题题目目的的实实质质问问题题是是一一个个事事件件发发生生，，结结果果有有两两种种可可能能，，每每种种可可能能各各为为一一半半。。所所以以不不管管是是扔扔硬硬币币还还是是扔扔纸纸币币，，还还是是扔扔砖砖头头。。其其实实哪哪怕怕是是就就是是老老鼠鼠生生小小老老鼠鼠也也是是同同一一个个本本质质。。所所以以我我们们可可以以用用任任何何一一个个结结果果有有两两种种可可能能，，每每种种可可能能各各为为一一半半的的事事件件代代替替扔扔硬硬币币。。我我们们仍仍计计算算机机产产生生00到到11之之间间的的随随机机数数，，在在00到到00..55认认为为字字朝朝上上，，00..55到到11认认为为是是字字朝朝下下。。产产生生一一个个随随机机数数模模拟拟仍仍一一次次硬硬币币，，产产生生两两个个随随机机数数认认为为仍仍两两个个硬硬币币（（一一次次事事件件））。。产产生生多多组组随随机机数数，，模模拟拟多多次次人人两两个个硬硬币币，，记记录录模模拟拟结结果果。。计计算算出出结结果果。。可可以以看看出出蒙蒙卡卡方方法法主主要要是是处处理理一一些些概概率率相相关关的的问问题题，，在在已已知知最最基基本本的的规规律律的的前前提提下下，，用用计计算算机机模模拟拟较较复复杂杂的的物物理理过过程程，，得得到到各各种种事事件件发发生生的的次次数数，，然然后后用用模模拟拟事事件件的的频频率率代代表表概概率率的的近近似似方方法法，，所所以以蒙蒙卡卡方方法法又又称称为为蒙蒙卡卡模模拟拟。。优优点点：：能能够够比比较较逼逼真真的的描描述述随随机机事事件件的的物物理理过过程程，，程程序序简简单单，，易易于于实实现现。。缺缺点点：：收收敛敛速速度度慢慢，，费费时时，，误误差差具具有有概概率率性性。。§§22随随机机数数模模拟拟与与概概率率相相关关的的物物理理过过程程，，需需要要模模拟拟出出各各种种分分布布，，产产生生这这些些分分布布通通常常需需要要从从已已知知的的分分布布中中产产生生。。用用MMCC方方法法标标准准语语言言说说就就是是：：有有已已知知分分布布的的总总体体中中抽抽取取简简单单子子样样（（抽抽样样））。。例例11：：扔扔硬硬币币，，表表征征上上下下的的两两个个时时间间怎怎么么产产生生？？我我们们这这么么作作：：产产生生00到到11之之间间的的随随机机数数，，在在00到到00..55认认为为字字朝朝上上，，00..55到到11认认为为是是字字朝朝下下。。这这个个问问题题中中涉涉及及两两个个分分布布：：第第一一个个00到到11之之间间的的均均匀匀分分布布（（已已知知分分布布））第第二二个个[[00，，00..55]]上上[[00..55，，11]]下下，，随随机机的的上上下下（（子子样样））。。例例22分分子子速速率率分分布布密密度度函函数数。。又又11000000个个分分子子，，在在vv11，，vv22，，vv33处处单单位位间间隔隔中中个个数数应应不不同同的的。。产产生生00到到VVmm之之间间均均匀匀分分布布，，从从中中抽抽取取以以上上分分布布，，vv11处处多多抽抽点点，，vv22处处最最多多，，VV33处处少少点点。。这这种种由由已已知知分分布布产产生生其其他他分分布布的的产产生生子子样样的的过过程程叫叫做做抽抽样样随随机机数数的的定定义义和和性性质质首首先先我我们们需需要要产产生生随随机机数数。。在在连连续续随随机机变变量量的的分分布布中中最最简简单单、、最最基基本本的的分分布布是是单单位位均均匀匀分分布布。。由由该该分分布布中中抽抽取取简简单单子子样样成成为为随随机机数数序序列列，，序序列列中中每每一一个个数数叫叫随随机机数数。。单单位位均均匀匀分分布布也也称称为为[[00，，11]]上上的的均均匀匀分分布布。。其其分分布布密密度度函函数数为为：：101()0xfxothers10()()1fxdxfxdx分分布布函函数数00()0111xFxxxx0()()()xxFxfxdxfxdx随随机机数数在在蒙蒙特特卡卡罗罗方方法法中中占占有有极极其其重重要要的的位位置置，，我我们们用用123,,,....表表示示随随机机数数。。随随机机数数序序列列123,,,....是是相相互互独独立立且且具具有有相相同同单单位位均均匀匀分分布布的的随随机机数数序序列列。。随随机机数数两两个个必必备备特特点点：：独独立立性性、、均均匀匀性性我我们们将将来来一一直直用用随随机机数数序序列列作作为为均均匀匀、、单单位位一一直直分分布布去去抽抽取取其其他他子子样样。。随随机机数数的的产产生生随随机机数数表表随随机机数数表表是是由由00，，11，，22，，33，，44，，55，，66，，77，，88，，99十十个个数数字字组组成成的的数数字字表表，，每每个个数数字字以以1100%%的的等等概概率率出出现现，，且且数数字字之之间间相相互互独独立立。。用用到到随随机机数数时时我我们们就就可可以以从从中中取取，，如如果果需需要要得得到到nn位位有有效效数数字字的的随随机机数数，，只只需需将将随随机机数数表表中中每每nn个个相相邻邻的的随随机机数数字字合合并并在在一一体体，，且且在在最最高高为为的的前前边边加加小小数数点点即即可可。。例例如如，，随随机机数数表表为为883366118822558800994466228844……..，，三三位位有有效效随随机机数数00..883366,,00..118822,,00..558800,,00..994466,,00..228844,,……..物物理理方方法法利利用用某某些些特特殊殊设设备备的的随随机机性性，，产产生生随随机机数数。。例例如如：：街街道道上上小小赌赌博博的的转转盘盘指指针针随随即即指指向向；；电电视视上上各各种种彩彩票票漏漏乒乒乓乓球球；；机机器器噪噪声声；；放放射射物物质质的的放放射射性性。。这这种种方方法法很很大大缺缺陷陷是是没没有有重重复复性性，，不不能能进进行行程程序序复复算算，，且且费费用用昂昂贵贵。。在在计计算算机机上上最最实实