第六章第一节不等关系与不等式

一、选择题1．(2011·长沙一模)若a，b∈R，则下列命题正确的是()A．若ab，则a2b2B．若|a|b，则a2b2C．若a|b|，则a2b2D．若a≠|b|，则a2≠b2解析：∵a|b|≥0，∴a2b2.答案：C2．(2011·泉州质检)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．不确定解析：由题意得M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)0，故MN.答案：B3．设a，b是非零实数，若ab，则下列不等式成立的是()A．a2b2B．ab2a2bC.1ab21a2bD.baab解析：当a0，b0时，a2b2不一定成立，故A错．因为ab2－a2b＝ab(b－a)，b－a0，ab符号不确定，所以ab2与a2b的大小不能确定，故B错．因为1ab2－1a2b＝a－ba2b20，∴1ab21a2b.故C正确．D项中ba与ab的大小不能确定．答案：C4．设0ba1，则下列不等式成立的是()A．abb21B．12logb12loga0C．2b2a2D．a2ab1解析：取a＝12，b＝13验证可得．答案：C5．(2012·厦门模拟)设命题p：若ab，则1a1b，q：若1ab0，则ab0.给出以下3个复合命题，①p∧q；②p∨q；③綈p∧綈q.其中真命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：p为假命题，q为真命题，所以②为真命题．答案：B二、填空题6．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：(－3,3)7．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤ay＞bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x＞y，a＞b，∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y.因此①不成立．又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by.因此③也不正确．又∵ay＝3－3＝－1，bx＝2－2＝－1，∴ay＝bx.因此⑤不正确．由不等式的性质可推出②④成立．答案：②④三、解答题8．已知a0，b0，试比较M＝a＋b与N＝a＋b的大小．解：∵M2－N2＝(a＋b)2－(a＋b)2＝a＋b＋2ab－a－b＝2ab0，∴MN.9．已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调递减函数，α，β，γ∈R且α＋β0，β＋γ0，γ＋α0.试说明f(α)＋f(β)＋f(γ)的值的与0的关系．解：由α＋β0，得α－β.∵f(x)在R上是单调减函数，∴f(α)f(－β)．又∵f(x)为奇函数，∴f(－β)＝－f(β)．∴f(α)－f(β)．∴f(α)＋f(β)0.同理f(β)＋f(γ)0，f(γ)＋f(α)0.∴f(α)＋f(β)＋f(γ)0.10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？解：设从寝室到教室的路程为s，甲、乙两人的步行速度为v1，跑步速度为v2，且v1v2.甲所用的时间t甲＝s2v1＋s2v2＝sv1＋v22v1v2，乙所用的时间t乙＝2sv1＋v2，∴t甲t乙＝sv1＋v22v1v2×v1＋v22s＝v1＋v224v1v2＝v21＋v22＋2v1v24v1v24v1v24v1v2＝1.∵t甲0，t乙0，∴t甲t乙，即乙先到教室．