第六组常微分方程课程拓展训练

常微分方程课程拓展训练学院：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学年级：2012级组别：第六小组成员：郭波汪小红冉妹琴李珊珊蒲小容2014.06.121.如图所示，运用二阶线性微分方程知识，分析研究阻尼振动现象及特点（平面光滑）。一.总体分析①当忽略空气阻力的情况下，物体在振动过程中只受弹簧的弹力作用，由牛顿第二定律maF，其中kxF,22dtxda,则22dtxdmkx,整理得：022xmkdtxd；②考虑空气阻力的情况下，由于平面光滑，物体受弹簧的弹力和空气的阻力，由实验可知，空气阻力与物体运动速度成正比关系，且阻力方向始终与速度方向相反，即1F=-1kv，其中v=dtdx，k为阻尼系数。由牛顿第二定律可得：221)(dtxdmkxdtdxk，整理可得：0122xmkdtdxmkdtxd，这是一个二阶常系数线性微分方程，运用我们所学，可以用求特征根的方法求二阶线性常系数微分方程，即012mkmk，利用求根公式，有mkmkk242111，mkmkk242112，然后对kmk421分三种情况进行讨论：⑴.当0421kmk时，方程有两个实根，可以写出特征向量和方程的表达式；⑵.当0421kmk时，方程的两个根相等，为二重根，也可以写出特征向量和方程的表达式；⑶.当0421kmk时，方程有两个不同的复根，也可以写出特征向量和方程的表达式。我们可以根据方程的表达式，通过分析研究物体振动过程中的现象及特点。二.小组第一次讨论时间：第十五周周一地点：致远楼402组长：郭波成员:汪小红冉妹琴李珊珊蒲小容经小组五个成员上网查询，翻阅资料确定选题。⒈此时小组出现第一个分歧，选用一阶线性微分方程还是二阶线性微分方程；成员中有的人认为选用一阶的简单，有的人认为可以挑战一下自己，选用二阶微分方程，最后经过讨论选的题为：运用二阶线性微分方程知识，分析研究阻尼振动现象及特点（平面光滑）。⒉讨论中出现的第二个分歧，对于物理学中的简谐振动方程022xmkdtxd是否需要详细讲述出来。经讨论，为了该题目的完整性和同学们对此题的更深入的掌握，我们一致决定讲题前先忽略空气阻力，立出简谐振动的标准方程022xmkdtxd；⒊讨论中出现的第三个分歧，即是对方程0122xmkdtdxmkdtxd的解。经总结有求特征根，拉普拉斯变换等方法，由于要考虑到对解法的熟悉程度，我们决定选用“特征根”法。此上即是小组第一次讨论的分歧和结果。三.小组第二次讨论时间：第十六周周二地点：致远楼401组长：郭波成员：汪小红冉妹琴李珊珊蒲小容此次，我们主要讨论如何讲解这个题目，怎样板书，如何更好地完成此次活动，如何更好地把我们的成果展现出来。经讨论，我们得出的注意事项：①图示与题目板书于黑板的左端；②板书必须工整，不能混乱；③讲题人讲题时应尽量面对学生，不能老是自己写自己的；④讲题人应该声音洪亮，要与同学互动。经过讨论决定由本组组长讲题。此上即是本组第二次讨论的过程及结果。老师对各个组的点评：①讲题中应有互动；②板书要工整；③课堂氛围应得到保证；④要能够驾驭整个课堂；⑤课前要有充分的准备；⑥学会总结，反思和自我的提升。四．以下是本组中的两位同学的心得体会：一.我们学习常微分方程不仅仅是学习书本中的内容，学会做书上的例题习题，我们也要把学习的知识应用于日常生活中。在研究怎样运用二阶线性微分方程的知识分析研究阻尼振动现象及特点时，我们先分析在无阻尼时物体的运动状态，可得到方程22dtxdmkx，再分析有阻尼时物体的运动状态，得到了我们所要研究的方程0122xmkdtdxmkdtxd，我们就可以根据这个方程，运用我们所学，解出物体的运动方程，从而解决该问题。常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力的工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务。二.在上个星期，我们小组讨论了常微分方程在生活中的应用——阻力振动的规律及现象。首先建立了一个模型，一个弹簧振子，我们对他先进行了假设，忽略阻力的影响，则物体只受弹力作用，由牛顿第二定律，我们可以建立方程；但在我们的生活中不存在完全光滑的物体，所以物体还会受空气阻力，地面的摩擦力等等；我们也可以立出常微分方程，用我们所学，可以解决这些实际生活中的问题。我发现在解决这个问题的过程中，每一步都用到了常微分方程，而在解方程的过程中，又必须要用到常微分方程中我们所学的方法，所以，常微分方程不单是一门课程，还与我们的生活密不可分，在其它科目中也会用到常微分知识。