第六节(简单的三角恒等变换)

第六节简单的三角恒等变换[知识能否忆起]半角公式(不要求记忆)1．用cosα表示sin2α2，cos2α2，tan2α2.sin2α2＝1－cosα2；cos2α2＝1＋cosα2；tan2α2＝1－cosα1＋cosα.2．用cosα表示sinα2，cosα2，tanα2.sinα2＝±1－cosα2；cosα2＝±1＋cosα2；tanα2＝±1－cosα1＋cosα.3．用sinα，cosα表示tanα2.tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知cosα＝13，α∈(π，2π)，则cosα2等于()A.63B．－63C.33D．－33解析：选B∵cosα＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈π2，π，∴cosα2＝－1＋cosα2＝－1＋132＝－63.2．已知函数f(x)＝cos2π4＋x－cos2π4－x，则fπ12等于()A.12B．－12C.32D．－32解析：选Bf(x)＝cos2π4＋x－sin2x＋π4＝－sin2x，∴fπ12＝－sinπ6＝－12.3．已知tanα＝12，则cos2α＋sin2α＋1cos2α等于()A．3B．6C．12D.32解析：选Acos2α＋sin2α＋1cos2α＝2cos2α＋2sinα·cosαcos2α＝2＋2tanα＝3.4.sin20°cos20°cos50°＝________.解析：sin20°cos20°cos50°＝12sin40°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.答案：125．若1＋tanα1－tanα＝2013，则1cos2α＋tan2α＝________.解析：1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝cosα＋sinα2cos2α－sin2α＝cosα＋sinαcosα－sinα＝1＋tanα1－tanα＝2013.答案：2013三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．三角函数式的化简典题导入[例1]化简2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x.[自主解答]原式＝－2sin2xcos2x＋122sinπ4－xcos2π4－xcosπ4－x＝121－sin22x2sinπ4－xcosπ4－x＝12cos22xsinπ2－2x＝12cos2x.由题悟法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．以题试法1．化简1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2.解：法一：原式＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2·cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα－α2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.法二：原式＝1－tan2α2tanα2·1＋sinαsinα2cosαcosα2＝2tanα·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosα·cosα2＝2sinα.三角函数式的求值典题导入[例2](1)(2012·重庆高考)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝()A．－32B．－12C.12D.32.(2)已知α、β为锐角，sinα＝35，cos()α＋β＝－45，则2α＋β＝________.[自主解答](1)原式＝sin30°＋17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.(2)∵sinα＝35，α∈0，π2，∴cosα＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝35×－45＋45×35＝0.又2α＋β∈0，3π2.∴2α＋β＝π.[答案](1)C(2)π由题悟法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．以题试法2．(2012·广州一测)已知函数f(x)＝tan3x＋π4.(1)求fπ9的值；(2)设α∈π，3π2，若fα3＋π4＝2，求cosα－π4的值．解：(1)fπ9＝tanπ3＋π4＝tanπ3＋tanπ41－tanπ3tanπ4＝3＋11－3＝－2－3.(2)因为fα3＋π4＝tanα＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tanα＝2，所以sinαcosα＝2，即sinα＝2cosα.①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②解得cos2α＝15.因为α∈π，3π2，所以cosα＝－55，sinα＝－255.所以cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝－55×22＋－255×22＝－31010.三角恒等变换的综合应用典题导入[例3](2011·四川高考)已知函数f(x)＝sinx＋7π4＋cosx－3π4，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f(β)]2－2＝0.[自主解答](1)∵f(x)＝sinx＋7π4－2π＋cosx－π4－π2＝sinx－π4＋sinx－π4＝2sinx－π4，∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)证明：由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝45，cosβcosα－sinβsinα＝－45.两式相加得2cosβcosα＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f(β)]2－2＝4sin2π4－2＝0.在本例条件不变情况下，求函数f(x)的零点的集合．解：由(1)知f(x)＝2sinx－π4，∴sinx－π4＝0，∴x－π4＝kπ(k∈Z)，∴x＝kπ＋π4(k∈Z)．故函数f(x)的零点的集合为xx＝kπ＋π4，k∈Z.由题悟法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．以题试法3．已知函数f(x)＝2cosxcosx－π6－3sin2x＋sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值．解：(1)因为f(x)＝2cosxcosx－π6－3sin2x＋sinxcosx＝3cos2x＋sinxcosx－3sin2x＋sinxcosx＝3cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π3，所以最小正周期T＝π.(2)由f(α)＝1，得2sin2α＋π3＝1，又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈π3，7π3，所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性如有界性等，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数二次函数等最值问题.下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略.1．配方转化策略对能够化为形如y＝asin2x＋bsinx＋c或y＝acos2x＋bcosx＋c的三角函数最值问题，可看作是sinx或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决．[典例1]求函数y＝5sinx＋cos2x的最值．[解]y＝5sinx＋()1－2sin2x＝－2sin2x＋5sinx＋1＝－2sinx－542＋338.∵－1≤sinx≤1，∴当sinx＝－1，即x＝2kπ－π2，k∈Z时，ymin＝－2×8116＋338＝－6；当sinx＝1，即x＝2kπ＋π2，k∈Z时，ymax＝－2×116＋338＝4.[题后悟道]这类问题在求解中，要注意三个方面的问题：其一要将三角函数准确变形为sinx或cosx的二次函数的形式；其二要正确配方；其三要把握三角函数sinx或cosx的范围，以防止出错，若没有特别限制其范围是[－1,1]．2．有界转化策略对于所给的三角函数能够通过变形化为形如y＝Asin(ωx＋φ)等形式的，常常可以利用三角函数的有界性来求解其最值．这是解决三角函数最值问题常用的策略之一．[典例2](2012·重庆高考改编)设函数f(x)＝4cosωx－π6sinωx－cos(2ωx＋π)，其中ω0.求函数y＝f(x)的最值．[解]f(x)＝432cosωx＋12sinωxsinωx＋cos2ωx＝23sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx＝3sin2ωx＋1，因为－1≤sin2ωx≤1，所以函数y＝f(x)的最大值为3＋1，最小值为1－3.[题后悟道]求解这类问题的关键是先将所给的三角函数化为一个角的三角函数问题，然后利用三角函数的有界性求其最值．3．单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略．对于三角函数来说，常常是先化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再利用三角函数的单调性求解．[典例3]函数f(x)＝22sinx＋π4－32在π，17π12上的最大值为________，最小值为________．[解析]由π≤x≤17π12，得5π4≤x＋π4≤5π3.因为f(x)＝22sinx＋π4－32在π，5π4上是减函数，在5π4，17π12上是增函数，且f(π)f17π12，所以当x＝5π4时，f(x)有最小值为22sin5π4＋π4－32＝－22－32.当x＝π时，f(x)有最大值－2.[答案]－2－22－32[题后悟道]这类三角函数求最值的问题，主要的求解策略是先将三角函数化为一个角的三角函数形式，然后再借助于函数的单调性，确定所求三角函数的最值．4．数形结合转化策略对于形如y＝b－sinxa－cosx的三角函数最值问题来说，常常利用其几何意义，将y＝b－sinxa－cosx视为定点(a，b)与单位圆上的点(cosx，sinx)连线的斜率来解决．[典例4]求函数y＝－sinx2－cosx(0xπ)的最小值．[解]将表达式改写成y＝0－sinx2－cosx，y可看成连接点A(2,0)与点P(