第六节曲线的凹凸与拐点

第六节曲线的凹凸与拐点教学目的:1使学生理解函数凹凸与拐点的定义;会用导数判断函数图形的凹凸性;2会求函数图形的拐点;3会求水平、铅直和斜渐近线，4会描绘函数的图形。教学重点:描绘函数的图形教学过程:一、曲线的凹凸与拐点为了较准确地描出函数的图形，单知道函数的单调区间和极值是不行的，比如说，f（x）在[a，b]上单调，这时会出现图中的几种情况，l1是一段凸弧l2是一段凹弧，l3即有凸的部分，也有凹的部分，曲线具有这种凸和凹的性质，称为凸凹性。从几何意义上看，凸弧具有这种特点：从中任取两点，连此两点的弦总在曲线的下方。进而不难知道，在（a，b）中任意取两个点函数在这两点处的函数值的平均值小于这两点的中点处的函数值。凹弧也有相仿的特点。定义：设f（x）在[a，b]上连续，若对Vx1，x2∈（a，b）恒有：f（x1+x2/2）＜f（x1）+f（x2）/2或f（x1+x2/2）＞f（x1）+f（x2）/2这称为f（X）在[a，b]上的图形是凹的（凸的）或凹弧（凸弧）。注：1、有的书也用此线的位置来定义。2、上面等式有些书上带等号，例如对y=x4定理：设f（x）在[a，b]上连续在[a，b]内具有一阶和二阶导数，（i）若在[a，b]内，f″（x）＜0，则f（x）在[a，b]上的图形是凸的。（ii）若在（a，b）内，f″（x）＜0，则f（x）在[a，b]上的图形是凹的。证明：下面证（i）从（a，b）中任取二点x1，x2不防设x1＜x2由lagrange中值定理，)2()2)(()2()(2121121212xxxxxfxxfxf)2()2)(()()2(2121122121xxxxxfxfxxf所以)]()2([21)]2()([21)2(2)()(1212122121xfxxfxxfxfxxfxfxf4))((2)]()([2112211221xxfxxff其中,12又因为0(0)(fxf0)2(2)()(2121xxfxfxf即2)()()2(2121xfxfxxf，由定义，即得。[例1]判别曲线y=2x2+3x+1的凹凸性解：因为y′=4x+3，y″=4＞0所以曲线y=2x2+3x+1在其定义域（-∞，+∞）上是凹的。[例2]证明当x∈[0，1]时，有不等式证：首先，由1)1()1(]1,0[,1xxxxxppp，现证：pppxx)1(211，即证2)1(21ppxxp令0)1()(.)()(21pppxppxfpxxfxxfpxxf)(的图形在[0，1]上凹的[例3]讨论曲线y=arctanx的凹凸性解，﹤0时，y﹥0；当x﹥0时，y﹥0。是凸的在上是凹的在曲线),0(,)0,(arctanxy从[例3]中不难知道点X=0为曲线的凹部分与凸部的分界点定义，连续曲线上的凸弧的分界点称为曲线的拐点。若f（x）在（a，b）内有二阶导数，x0点的拐点，则有f″（x0）=0，且在x0左右两边，f″（x）异号，由此不难求拐点的步骤：（i）求出f″（x）=0，在（a，b）中的所有解x=x0。（ii）对（Ⅰ）中所求的每一个x0，察f″（x）在x0左右两边的符号，若异号，则x0为拐点，若同号，则x0不是拐点。[例4]求的拐点解：.2.0,2,0,2为拐点时当时当xyxyx[例5]求的拐点。解：令y″=0x=1，但此时，在x=1附近，不论x＞1还是x＜1，都有y″＞0，2)1()2)1((pppxxxx2)1(21pppxx即211xyxxxy当212xxy12.20.)2(,)1(xyexyexyxx令101201235xxxy32323538)1(9121528131xxxxxy∴x=1不是拐点。然而，当x=0时，y″不存在，但当x＜0时，y″＜0，当x＞0时，y″＞0，由定义知，x=0为拐点。[例6]讨论函数32)52()(xxxf的凸性。解：定义域：（,），33321310132)52(2)('xxxxxxf33232312910)311)(1(310)(''xxxxxxxxf当x=0时，f’(x)不存在，f”(x)不存在；当21x时，f”(x)=0。列表讨论：X)21,(21)0,21(0（0，1）1),1(f'’(x)+++不存在-0+f'”(x)-0+不存在+++f(x)拐点极值三-函数图形的描绘根据前n节所学的知识，我们可较准确地画出函数的图，描绘函数图象的一般步骤：1、确定函数的定义域，并求出f′（x），f″（x）2、求出f′（x）=0和f″（x）=0的所有根，及不可导点，并用这些点将定义域分为若干个小区间。3、确定f′（x）和f″（x）在这些子区间上的符号，并且由此确定的函数图形的升降，凹凸及极点和拐点。4、确定水平，铅直渐近线，以及其它渐近线。5、确定某些特殊点的坐标，比如：与坐标的交点。6、沿x增大的方向按上讨论的结果，将点用曲线光滑连结起来，分点的坐标，以把图描得更准些，另外，还可以观察f（x）的奇偶性，周期性配合作用。[例1]作出函数y=xe-x的图形解（Ⅰ）y=xe-x的定义域为（-∞，+∞）y′=（1-x）e-x，y″=（x-2）e-x（Ⅱ）令y′=0x=1，令y″=0X=2用x=1，x=2，将Ⅲ（-∞，+∞）分为三部分（-∞，1），[1，2]，[2，+∞]Ⅲ（-∞，1）上，y′＞0，y″＜0，∴f（X）的图形在（-∞，1）上是单增的，且是凸的在[1，2]上，y′＜0，y″＜0，∴f（x）的图形在（1，2）上是单减的，且是凸的在[2，+∞]上，y＜0，y″＞0，∴f（x）的图形在[2，+∞]是单减的，且是凹的。进而得x=1为极大点，x=2为拐点（Ⅳ）当x→+∞时xe-x→0,∴y=0是水平渐近线，当x→-∞时xe-x→-∞（Ⅴ）f（1）=e-1，f（2）=2·e-2，f（0）=0，从而得四个点的f（-1）=-e坐标（0，0），（1，1/e），（2，2e-2），（-1，-e）将（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的结果列成下表：X（-∞，1）1（1，2）2（2，+∞）y′+0---y″---0+Y=f（X）的图形↗凸极大↘凸拐点↘凹课堂练习：1讨论下列函数的凸性：（1）3xy；（2）3xy；2．讨论函数xyln的凸性，当10时，a,b为任意的实数，3证明：baba)1(1答案：2xy1'，21xy，在定义域（0，+）内，y”=0，故y=lnx是凹函数（图形是凸的）3由凹函数的定义])1ln[(lnln)1(baba])1ln[(lnln)1(babaee])1ln[()ln()1babaee证毕。