率无关弹塑性本构方程建立的一般步骤

第一部分：小变形模型的弹塑性本构方程第二部分：大变形模型的弹塑性本构方程本构方程：指将描述连续介质变形的参量与描述内力的参量联系起来的一组关系式。本构原理:1、客观性原理：本构关系对于刚性运动的参考标架（或参考系）具有不变性。2、确定性原理：应力由组成物体的全部物质点运动的历史唯一地确定。3、局部作用原理：离开物质点x有限距离的其他物质点的运动与x上的应力无关。小应变下的弹塑性模型（Elastoplasticmaterialmodelunderinfinitesimalstrains）一般形式对于弹塑性材料模型的通常形式，我们需要以下三个要素1、屈服面（yieldsurface）：三维应力空间中，塑性最开始发生时的边界的轨迹。2、流动法则（flowrule）：描述塑性变形的演化过程。3、硬化定律（hardeninglaw）：描述屈服面在塑性变形过程中屈服面的演化。屈服面（theyieldsurface）对于弹塑性材料，应力（stress）和应变（strain）之间没有单一的对应关系，应力不仅依赖于应变，还依赖于材料的应变历史。我们用一组称为内变量（internalvariables）的参数tqi（i=1，n）来刻画宏观物质微元的变形历史。以后的讨论中，我们进一步假定：当给定内变量之后，材料的弹性响应可通过超弹性势来加以表示，由内变量来确定材料的屈服准则在应力空间中，对于给定的材料，我们可以定义屈服面其中：是柯西应力张量（Cauchystresstensor）是内变量（internalvariables）对率无关的材料，应力并不依赖于应变速率，当给定内变量tqi之后，材料的弹性响应可以通过超弹性势加以表示。0),1,σ(niqfitttσtitq超弹性体：在等温过程中，超弹性体的热力学状态仅仅依赖于应变。因此对于超弹性材料模型，对于有任意的应力度量（arbitrarystressmeasure）和与此应力能量共轭的应变率度量（strain-ratemeasure），我们可以得到公式：其中：U为弹性势函数（elasticenergyfunctionperunitvolume）若U=f时称为关联塑性流动（associatedplasticflow）若U≠f时称为非关联塑性流动（nonassociatedplasticflow）需要注意：弹性体只有在一定的条件下才具有势函数U，而次弹性体也只有在一定的条件下才可能具有弹性体的本构关系形式。EUETT)(TE当tƒ0时，材料呈弹性响应而不产生新的塑性变形当tƒ=0时，应变的继续变化就可能使材料产生新的塑性变形过去很多年，对于不同的性能的材料，已经提出了许多屈服函数，课本上介绍的是冯米塞斯屈服准则。应当注意durcker公设，即对于任何稳定的材料，用任何屈服面模拟时，在屈服面演化的过程中，应力空间中，屈服面必须是凸面。流动法则（theflowrule）在小变形的时候，弹塑性材料的应变可以用和分解方式分解为弹性部分和塑性部分。小变形假定密度不变，位形无影响。由于材料的塑性变形中，会有力学功率的塑性损耗（plasticdissipation）当没有塑性荷载（noplasticloading）那么没有塑性变形，但由热力学第二定律知塑性变形中必然产生塑性损耗。PtEttdddPtEttεεε0ptdptijσijttdD0Dt0Dt对于金属等一些材料，塑性流动的发展必须遵循最大塑性耗散理论。在数学形式中，即在的约束之下寻找最大的塑性耗散，即的最大值。定义是拉格朗日乘子需要求在约束之下的最大值。要求0ftDtfλt.t＊DDtt.tλDt0ft0σij＊ttD0λ.t＊Dt由以上的式子可以得到同时注意（elasticbehavior）（plasticloading）上式可以用Kuhn-Tucker约束最优条件表示为：在塑性荷载的情况下，由可以得到一致性条件：ij.tσλttPijtfd0λ0.tft0λ0.tft0λ.tft0λ.t0ft0λ.tft0df应力应变关系（Stress-strainrelation）在小变形下，应变可以分为弹性部分和塑性部分对于线弹性四阶张量是材料的弹性本构张量，对于线弹性性能，它是连续的，对于非线性弹性性能，它是整个弹性应变的函数。PdddαβEαβαβεεEEαβαβγδγδσCdεdEC对于小应变的本构关系综上述可知：1、应变的基本假定：2、弹性基本假定：3、屈服函数：4、流动法则：5、一致性条件：所以，由以上这些条件就可以得到小变形时，率无关弹塑性本构方程的应力应变关系。PdddαβEαβαβεεEγδEαβγδαβdεCσd0),1,σ(niqfittt0df.tijλσttPijtfdε:CσEPddt由一致性条件可得由于可以得到0df::0ffdfddqq:::eeepefdDdDddDd:::0efffffDdq:::::0eefffffDdDq用分量的形式表述为可得把带入可得0eeijklklabcdijabcdababfffffDdDqijabcdababeijklkleabcdqfDdfDfffijijklσCdεeekldijabcdababeijklkleklkleabcdqfDdfdDdfDfff即得到弹塑性本构张量ijabcdababeeijklkleklkleabcdqfDfDdDdfDfff:::::eeepeeqDfDfDDfDfff大变形下的弹塑性材料模型（Elastoplasticmaterialmodelunderfinitestrains）大变形下的应变就不可以用加法分解了，应该用变形梯度的乘法分解，lee的乘法分解是以大的弹塑性变形下的超弹性模型为基础的。将速度梯度张量带入上式可以得到：其中为定义在中间位形的张量000ttEtPXXX100tttlXX111000000()()()ttEtEtEtPtPtElXXXXXX100()tptPtPXXl上式亦可写为其中，是把中间位形的张量的分量推回到当前位形上。需注意，在中间位形中我们可以做分解如果材料是各向同性的，则0()tPteXl1000()()tPttEtEtelXXXltPltPtPtPldw0tPw屈服准则（theyieldcriterion）我们用vonMise屈服准则介绍考虑各向同性的弹性材料，我们用能量共轭的和来表示。其中是基尔霍夫应力张量（Kirchhoffstresstensor）的无旋表示。屈服准则0σ)]ατ:()ατ(23[y21ttDttDttfEHt0ГtГtτt能量耗散（Energydissipation）对于力学问题，根据热力学第二定律，可以得到Clausius-Dhuem不等式，式中：为自由能。对于变形的弹性部分，变形时，上式取“=”；当有不可恢复的塑性变形时，上式取“”，用乘法分解的形式可以表述为：0ψ:τttdtψt0ψ:τδttαβPαβt0dXt0ψ:τδttαβPαβt0dXt对于只考虑力学问题的自由能我们可以用下面的方程表示：还可以把上式分解写成由中间位形的速度梯度张量分解可知），（BHEtytt0ttσ,ψψ），（）（BHEtytptt0ettσψψψPtttlllEEtEtEtEtEtdXX100)(1PtPtEtPtEtPtdXX100)(11因此塑性部分由于考虑的是各向同性材料，弹性部分所以能量耗散不等式（Clausius-Duhem）可以写成下面形式：EHt0ttt:Гd:τ):(:PtEttttdddPtTEttTEtPttXXd1]:)()[(:0001]:)[()[():(0000PtPtTEttTEtEtEtettXXHH由于上式对弹性部分也是成立的，所以剩余的塑性部分可以写为前面已经介绍各向同性时，上式可以化为类似于小变形，我们需要寻找在屈服函数的约束下的最大耗散能EtettH001]:)()[(00ptPtTEttTEttXXD0Ptw0:ptPtttdD0ft当时当时，用约束优化条件（Kuhn-Tuckerconditions）可得到其中：0ft0Ptd0ft0λtft):()(23)(23BBBdtDttDttDttPt.:32PtPtPttdd应力率的学习客观应力率是材料本构理论，尤其是增量本构理论中的一个重要研究课题。应力率在非弹性论中起重要作用，它出现在复杂材料的本构方程和本构不等式中。对于给定的材料，使用不同的应力率，就有不同的应力应变关系。1、耀曼应力率(Jaumannstressrate)耀慢应力率是研究大变形时所采用的与刚性转动无关的应力对时间的导数。在大变形弹一塑性有限元分析中常用这种要求不受刚性转动影响的应力率。只有用这样的应力率写出的本构方程才与坐标选择无关，从而可真实地反映材料的力学行为。由向量的客观导数出发，我们有如下关于客观应力率的较狭义定义：客观应力率表示作用于单位物质面元上应力向量的，在形式上与变形和变形率无关的客观导数。2、oldroyd应力率柯西应力张量（Cauchystresstensor）的李导数（Liederivative）就是oldroyd应力率3、Truesdell应力率基尔霍夫应力张量（Kirchhoffstresstensor）的李导数就是Truesdell应力率bctactactcbtabtabtvabotlσ-lσ-σσσt）（）（Lbctactactcbtabtabtvabotlτ-lτ-τττt）（）（L4、Green-Naghdi应力率对于任意的欧拉应力张量（arbitraryEulerianstresstensor）的分量用转动张量进行推回，然后对其就李导数就是Green-Naghdi应力率。由于Green-Naghdi应力率是客观等长转换的，所以它也被称为共转应力率（corotationalstressrate）。5、对于基尔霍夫应力张量（Kirchhoffstresstensor），它的无旋推回后的李导数就是bcRtactcbtacRtabtabtt-t-ttt0）（RLГtГt谢谢请老师和各位同学批评指正