第六节空间直线及其方程

第六节空间直线及其方程教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点教学重点：1.直线方程2.直线与平面的综合题教学难点：1.直线的几种表达式2.直线与平面的综合题教学内容：一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：0022221111DzCyBxADzCyBxA二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。已知直线上的一点),,(0000zyxM和它的一方向向量},,{pnms，设直线上任一点为),,(zyxM，那么MM0与s平行，由平行的坐标表示式有：pzznyymxx000此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。（写时参照书上注释）如设tpzznyymxx000就可将对称式方程变成参数方程（t为参数）ptzzntyymtxx000三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。例1：用对称式方程及参数方程表示直线043201zyxzyx．解：在直线上任取一点),,(000zyx，取10x063020000zyzy，解得2,000zy，即直线上点坐标)2,0,1(．因所求直线与两平面的法向量都垂直，取}3,1,4{21nns，对称式方程为：321041zyx参数方程：tztytx3241．例2：一直线过点)4,3,2(A，且和y轴垂直相交，求其方程．解：因为直线和y轴垂直相交，所以交点为)0,3,0(B，于是}4,0,2{BAs，所求直线方程：440322zyx三、两直线的夹角：两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。设两直线1L和2L的方向向量依次为},,{1111pnms和},,{2222pnms，两直线的夹角可以按两向量夹角公式来计算222222212121212121cospnmpnmppnnmm两直线1L和2L垂直：0212121ppnnmm（充分必要条件）两直线1L和2L平行：212121ppnnmm（充分必要条件）例3：求过点)5,2,3(且与两平面34zx和152zyx的交线平行的直线方程．解：设所求直线的方向向量为},,{pnms，根据题意知，直线的方向向量与两个平面的法向量都垂直，所以可以取}1,3,4{21nns，所求直线的方程153243zyx．四、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角)20(称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为2。设直线L的方向向量为},,{pnms，平面的法线向量为},,{CBAn，直线与平面的夹角为，那么222222sinpnmCBACpBnAm直线与平面垂直：s//n，相当于pCnBmA（充分必要条件）直线与平面平行：sn，相当于0CpBnAm（充分必要条件）平面束方程：过平面直线0101zyxzyx的平面束方程为0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA五、杂例：例1：求与两平面x－4z＝3和2x－y－5z＝1的交线平行且过点（－3，2，5）的直线方程。解：由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行，故直线的方向向量s一定与两平面的法线向量垂直，所以)34(512401kjikjis因此，所求直线的方程为153243zyx例2：求过点（2，1，3）且与直线12131zyx垂直相交的直线方程．解：先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的法线向量），这平面的方程为0)3()1(2)2(3zyx再求已知直线与这平面的交点。将已知直线改成参数方程形式为x=-1+3ty=1+2tz=-t并代入上面的平面方程中去，求得t＝73，从而求得交点为)73,713,72(．以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s即为所求直线的方向向量：}4,1,2{76}733,7131,722{s故所求直线方程为431122zyx例3：求直线0101zyxzyx在平面0zyx上的投影直线的方程．解：应用平面束的方法．设过直线0101zyxzyx的平面束方程为0)1()1(zyxzyx即01)1()1()1(zyx这平面与已知平面0zyx垂直的条件是01)1(1)1(1)1(解之得1代入平面束方程中得投影平面方程为y－z－1＝0所以投影直线为001zyxzy小结与思考：本节介绍了空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角（注意两直线的位置关系），直线与平面的夹角（注意直线与平面的位置关系）。作业：见作业本7.6