高等数学常用极限求法[1]1

1求函数极限的方法和技巧摘要:本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。关键词：函数极限引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。主要内容一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例:用极限定义证明:1223lim22xxxx证:由244122322xxxxxx2222xxx0取则当20x时,就有12232xxx由函数极限定义有:21223lim22xxxx2、利用极限的四则运算性质若Axfxx)(lim0Bxgxx)(lim0(I))()(lim0xgxfxx)(lim0xfxxBAxgxx)(lim0(II)BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000(III)若B≠0则：BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000（IV）cAxfcxfcxxxx)(lim)(lim00（c为常数）上述性质对于时也同样成立xxx,,例：求453lim22xxxx解:453lim22xxxx=2542523223、约去零因式（此法适用于型时00,0xx）例:求121672016lim23232xxxxxxx解:原式=)12102(65)2062(103lim2232232xxxxxxxxxxx=)65)(2()103)(2(lim222xxxxxxx3=)65()103(lim222xxxxx=)3)(2()2)(5(lim2xxxxx=2limx735xx4、通分法（适用于型）例:求)2144(lim22xxx解:原式=)2()2()2(4lim2xxxx=)2)(2()2(lim2xxxx=4121lim2xx5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x)满足：（I）0)(lim0xfxx(II)Mxg)((M为正整数)则：0)()(lim0xfxgxx例:求xxx1sinlim0解:由0lim0xx而11sinx故原式=01sinlim0xxx6、利用无穷小量与无穷大量的关系。4（I）若：)(limxf则0)(1limxf(II)若:0)(limxf且f(x)≠0则)(1limxf例:求下列极限①51limxx②11lim1xx解:由)5(limxx故051limxx由0)1(lim1xx故11lim1xx=7、等价无穷小代换法设'',,,都是同一极限过程中的无穷小量，且有：''~,~，''lim存在，则lim也存在，且有lim=''lim例:求极限2220sincos1limxxxx解:,~sin22xx2)(~cos1222xx2220sincos1limxxxx=212)(2222xxx注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。51sinlim)(0xxAxexBxx)11(lim)(但我们经常使用的是它们的变形：))((,))(11lim()()0)((,1)()(sinlim)()(''xexBxxxAx例：求下列函数极限xaxx1lim)1(0、bxaxxcoslncoslnlim)2(0、)1ln(ln1ln)1ln(,11uauxaauxuaxx于是则）令解：（auauuauauxauxuuuuxxln)1ln(lnlim)1ln(lnlim)1ln(lnlim1lim0010000故有：时，又当)]1(cos1ln[)]1(cos1ln[(lim)2(0bxaxx、原式1cos1cos1cos)]1(cos1ln[1cos)]1(cos1ln[(lim0axbxbxbxaxaxx1cos1coslim0axbxx222222220220)2()2()2(2sin)2(2sinlim2sin22sin2limabxaxbxbxbxaxaxbxxx9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。6)()](lim[))((lim)()(lim)]([)()()(lim)()(000000afxfxfauufaxxfiixfxfxxxfixxxxxxxx处连续，则在且是复合函数，又若处连续，则在若例：求下列函数的极限)1ln(15coslim)1(20xxxexx、（2）xxx)1ln(lim01ln))1(limln()1ln(lim)1ln(lim)1()1ln()1ln()2(6)0()1ln(15coslim)1ln(15cos)(01010011202exxxxxxxxxfxxxexxxexfxxxxxxxxxxx故有：令、由有：故由函数的连续性定义的定义域之内。属于初等函数解：由于10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：nkmlxxmnklx11lim1m、n、k、l为正整数。例：求下列函数极限①mxxmnx(11lim1、n)N②1)1232(limxxxx解:①令t=mnx则当1x时1t,于是原式=nmttttttttttnmtnmt)1)(1()1)(1(lim11lim121211②由于1)1232(limxxxx=1)1221(limxxx7令：tx1212则2111tx1)1232(limxxxx=1)1221(limxxx=2110)1(limttt=eettttt1)1(lim)1(lim2101011、利用函数极限的存在性定理定理:设在0x的某空心邻域内恒有g(x)≤f(x)≤h(x)且有:Axhxgxxxx)(lim)(lim00则极限)(lim0xfxx存在,且有Axfxx)(lim0例:求xnxaxlim(a1,n0)解:当x≥1时,存在唯一的正整数k,使k≤x≤k+1于是当n0时有:knxnakax)1(及aakakaxknknxn11又当x时,k有knkak)1(lim00)1(lim1aaakknk及1limknkak0101limaaakknk8xnxaxlim=012、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限)(lim0xfxx存在且等于A的充分必要条件是左极限)(lim0xfxx及右极限)(lim0xfxx都存在且都等于A。即有：Axfxx)(lim0)(lim0xfxx=)(lim0xfxx=A例：设)(xf=1,10,0,212xxxxxxxex求)(lim0xfx及)(lim1xfx1)1(lim)(lim)(lim1)21(lim)(lim00000xxxxxfexfxxxxxx解：由1)(lim)(lim00xfxfxx1)(lim0xfx不存在由（又)(lim)01()01(1lim)(lim0)1limlim)(lim1211111xfffxxfxxxxxfxxxxxx13、罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若9AxgxfxgxfAAxgxfiiixgxuxgfiixgxfixxxxxxxxxx)()(lim)()(lim()()(lim)(0)()()(0)(lim,0)(lim)('''''00000000），则或可为实数，也可为内可导，且的某空心邻域在与此定理是对00型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、要注意条件，也就是说，在没有化为,00时不可求导。2、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当)()(lim''xgxfax不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例：求下列函数的极限①)1ln()21(lim2210xxexx②)0,0(lnlimxaxxax解：①令f(x)=21)21(xex,g(x)=l)1n(2x21')21()(xexfx,2'12)(xxxg22223)1()1(2)(,)21()(xxxgxexfx由于0)0()0(,0)0()0(''ggff但2)0(,2)0(gf从而运用罗比塔法则两次后得到10122)1()1(2)21(lim12)21(lim)1ln()21(lim22223022102210xxxexxxexxexxxxxx②由axxxxlim,lnlim故此例属于型，由罗比塔法则有：)0,0(01lim1limlnlim1xaaxaxxxxaxaxax14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：1、)(!!212nnxxonxxxe2、)()!12()1(!5!3sin212153nnnxonxxxxx3、)()!2()1(!4!21cos12242nnnxonxxxx4、)()1(2)1ln(12nnnxonxxxx5、)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnxoxnnxxx6、)(xx1112nnxoxx上述展开式中的符号)(nxo都有:0)(lim0nnxxxo例:求)0(2lim0axxaxax解:利用泰勒公式，当0x有11)(211xoxx于是xxaxax2lim0=xaxaxax)121(lim0=xxoaxxoaxax)(211)()2(211lim0=axxoxaxxoaxaxx21)(21lim)(2lim0015、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件：(I)f在闭区间上连续(II)f在(a,b)内可导则在(a,b)内至少存在一点,使得abafbff)()()('此式变形可为:)10())(()()('abafabafbf例:求xxeexxxsinlimsin0解:令xexf)(对它应用中值定理得)1(0))sin((sin)sin()(sin)('sin