第六讲现代逻辑之布尔德摩根和皮尔士的逻辑学说(提纲)

西方逻辑史提纲（之第六讲）河北大学政法学院1第六讲：现代逻辑之一——布尔、德摩根和皮尔士的逻辑学说概述：（1）近代与现代的分期问题关键在于莱布尼茨究竟属于哪个时期？马玉珂的《西方逻辑史》把莱布尼茨的学说划入近代逻辑，而把之后布尔、弗雷格和罗素等人的学说作为现代逻辑的内容。宋文坚的《西方形式逻辑史》则把莱布尼茨作为跨两个阶段的逻辑学家，近代逻辑部分他讲了莱布尼茨对传统逻辑的贡献，而现代逻辑部分则讲了莱布尼茨作为数理逻辑创始人的地位。张家龙的《逻辑学思想史》或《数理逻辑发展史》中则大体上把莱布尼茨作为现代逻辑基础——数理逻辑的创始人。涅尔夫妇在《逻辑学的发展》中把莱布尼茨作为“文艺复兴以后的逻辑”中的一节来介绍，之后又花较大篇幅论述了布尔代数、关系理论、弗雷格逻辑等等。（2）现代逻辑产生的总体背景与特征产生的总体背景：总结为三方面：一是社会历史基础（大背景），即17－18世纪欧洲资产阶级革命的胜利带来了资本主义社会的迅速发展。二是自然科学基础，主要是力学以及与力学紧密相关的数学的发展。三是逻辑学科自身内在发展的要求。一方面，古典形式逻辑有着形式化发展的趋势和条件；另一方面，它也有着自己的一些内在局限性（例如，对关系命题的忽略、缺乏量词研究、没有引入“变元”的概念等等），正是这些局限阻碍了传统逻辑学的进一步发展，但却从反面促成了数理逻辑的产生。特征：数学中的公理化运动作为数理逻辑发展的主要动力，导致了现代逻辑研究的严重的数学化倾向。具体有以下表现：①从研究对象上，现代逻辑开始专注于研究数学形式化过程中提出的问题；②在研究方法上，现代逻辑主要采取了数学的方法论思路；那就是进行逻辑研究就意味着象数学那样用严格的形式证明去解决问题。这样，在逻辑学中也就形成了之前在数学中才有的、形式化的演算方法。这种方法的特点在于，演算规则仅仅涉及符号的西方逻辑史提纲（之第六讲）河北大学政法学院2形状，而不涉及它的含义。③在研究的语言方面，现代逻辑以人工语言取代了自然语言，并且用跟数学符号相似的逻辑符号来表示。④在逻辑系统的构造进程方面，古典逻辑是从“具体命题——抽象定理”，是从“语义——语形”；现代逻辑则是从“抽象定理——具体命题”，是从“语形——语义”。这一发展倾向或特征直接导致了下面一些后果：第一方面，它增强了逻辑研究的深度，是逻辑学的发展继古希腊、中世纪之后进入第三个高峰期，并进而对整个科学，特别是数学、哲学、语言学、计算机科学和人工智能等领域产生了非常重要的影响。第二方面，现代逻辑的形式化特征使得逻辑系统中的公式、定理的丰富程度远远超过了其它类型的逻辑。而符号化的公式、定理显然能避免以往在心理学、认识论和形而上学等许多问题上的纠缠。第三方面，现代逻辑的形式化发展，也使得“逻辑”的概念或“逻辑学”这一学科更加专门化和技术化（研究视角变窄）。第四方面，现代逻辑的形式化动力既然直接来源于数学，那它在之后的发展中，就始终和数学领域的研究及数学问题的解决联系在一起。（3）现代形式逻辑的大致划分及主要人物大致划分为三阶段：①奠基和初创时期自19世纪上半叶起至19世纪中后期弗雷格之前，持续了大约三、四十年，是现代形式逻辑的奠基和初创时期。主要代表人物有布尔、德摩根、皮尔士等。②完善和系统化时期从19世纪70年代到20世纪30、40年代，约六、七十年时间，现代形式逻辑，尤其是作为基础的数理逻辑得到了逐步完善和系统化。主要代表有弗雷格和罗素。③进一步发展时期从20世纪30年代起至现在，为现代逻辑的进一步发展时期。在这一阶段，现代逻辑的发展表现出了新的发展方向与发展趋势。西方逻辑史提纲（之第六讲）河北大学政法学院3(第六讲：现代逻辑之一——布尔、德摩根和皮尔士的逻辑学说)1.布尔把逻辑变成代数1.1生平著述简介布尔(1815-1864),十九世纪英国著名数学家和逻辑学家。布尔在当时学术界影响较大：1844年发表论文《关于分析中的一个普遍方法》，并因此获皇家学会的奖章；1849年任考克皇后学院教授；1857年被选为英国皇家学会会员。主要逻辑著作:a、《逻辑的数学分析：论一种演绎推理的演算法》(TheMathematicalAnalysisofLogic)(1847)。（1847）在该著作中布尔强调：数学的本质特征在于其形式，而不在于其内容；数学不(像今天某些字典所主张的)仅是“计量和数的科学”，而是广泛得多，包括符号连同在那些符号上运算的严格规则(这规则只受内部一致性需要的约束)的任何研究。b、《思维规律:逻辑和概率的数学理论》(InvestigationoftheLawsofThought)(1854)；在其中，他建立了形式逻辑和一种新代数——集合代数，今天以布尔代数(Booleanalgebra)著称。c、以及由R.里斯编辑的布尔手稿汇编《逻辑与概率研究》(1952)1.2主要逻辑学贡献首创了数理逻辑发展史上第一个比较成熟的逻辑演算-----逻辑代数（直观而言即“逻辑的代数演算”）,又称布尔代数。1.2.1布尔创建逻辑代数的思想基础A.莱布尼茨及其后继者兰勃特B.汉密尔顿和德摩根C.皮考克1.2.2布尔创建逻辑代数的基本思路既然代数理论的有效性并不依赖于对使用符号所作的解释，而只是依赖于符号的结合规律；同时逻辑关系和某些数学运算有类似的性质,（例如逻辑的概念、命题、推理和代数的字母、方程、变换等有某种形式的类似，概念、命题的析取与合取跟数字的加西方逻辑史提纲（之第六讲）河北大学政法学院4法与乘法有某种相似之处,）因此，如果将代数中符号的解释推广到更广泛的逻辑领域，就可以构造出一个思维的演算。1.2.3”布尔代数”的概念界定狭义上说,在逻辑代数中,不做任何具体解释的最抽象的理论体系被称为布尔代数,它是一个抽象的代数系统。（王雨田的《现代逻辑科学导引》：“这里说的代数系统需要满足三个条件：a、有一个非空集合S；b、有一些建立在集合S上的运算；c、这些运算在集合S上是封闭的。广义上说，有些人还把上述狭义的布尔代数连同对之加以具体解释和应用后所得到的各种系统统称为布尔代数。比如真值代数；命题代数；类逻辑代数；集合代数；开关代数；概率代数等等。1.2.4逻辑代数（B）的基本原理以及类的解释a.初始符号：大写字母X、Y、Z等表示类以及类中的个别分子；小写字母x、y、z表示从某个范围中选择所有X、所有Y和所有Z的结果，布尔称之为选择符号。另外，布尔用1表示可以想像的事物的全体，即全类；用0表示没有事物是它的分子的类，即空类。具体的或者个别的类由选择符号和1进行选择运算或限制运算而形成。我们知道，亚氏主要注重于一般的词项分析，其中既不包括涵盖全体事物的全类，也不包括排除任何对象的空类。全类和空类概念的提出无疑是对亚氏以来“类”这一概念的重大扩展。b.基本运算及其运算符号：加法运算：记为＋，x＋y表示由x类和y类联合形成的一个新类，或者两个部分形成的一个整体，其中的分子或者属于x类，或者属于y类。和现在所说的并运算不同的是，布尔代数中的相加的两类或者部分不允许有共同的分子，也即它们的外延必须是相互排斥的。因此x＋y表示或者是x类的分子或者是y类的分子，但没有既是x类又是y类的分子。这其实相当于今天所说的无共同部分的并运算或逻辑学中的不相容析取。因此，在布尔那里，x＋x是不允许的。这一点和普通数学中的加法不同，数学中任何一个数都可以和自身相加。乘法运算：记为•或者省略，x•y或者xy表示同时属于x类和y类的分子构成的类，相当于交运算或逻辑学中的合取。其实，布尔代数中的选择运算就是一种乘法运算，例如在全类1中选择x，表示为1•x或者1x或者x，这实际上就是选取x类；另外xy其西方逻辑史提纲（之第六讲）河北大学政法学院5实是1xy的省略写法，是指从全类中选取既是x又是y的分子组成新类。可见，在布尔那里，表示运算和运算结果的符号是不加区分的。补运算：这个运算是相对于全类1而言的，x相对于1的补(简称x的补)是指由属于全类但不属于x类的分子构成的类，即由所有非x的分子构成的类，记为1－x，相当于x或x。有了补运算的严格定义，我们再看一下布尔的x＋y，严格来讲，它表示的其实是x（1－y）＋y（1－x）。另外，在实际的应用中我们还会遇到两个相容的类的整体，使用布尔的记法，可以表示为：x（1－y）＋y（1－x）＋xy。在补运算的基础上，布尔定义了减法运算。减法运算：减法运算是加法运算的逆运算，定义为：x－y＝df·x（1－y），表示属于x但却不包含y的分子的对象构成的类。这一运算要求y包含在x之中，否则没有意义。同时，由于布尔代数规定“x＋y”中x和y是不相容的，因此，如果x＋y＝z，那么z－x＝y也成立。这表明，在布尔那里＋和－是严格的相反的。除法运算：除此之外，布尔也曾提出和乘法相对应的除法运算，x除y记为y/x。这一运算在他的函项的展开和求解中有用，但布尔并未对之作出相应的解释。因此，在他那里，除法被称作未解释的运算符号。相等关系：布尔没有给出表示类的包含关系的符号，他采用了数学中的等号即“＝”来表示类似的关系。这是布尔代数中的基本关系。x＝y表示x和y两个类外延相同或它们具有相同的分子。c.初始公理在规定了代数系统的初始符号和基本运算及其记法的基础上，布尔给出了系统的基本原理，或称初始公式或初始公理。共有10个。①xy＝yx（合取或交运算的交换律）②x＋y＝y＋x（析取或并运算的交换律）③x（y＋z）＝xy＋xz（交对于并的结合律）④x（y－z）＝xy－xz⑤如果x＝y，则xz＝yz⑥如果x＝y，则x＋z＝y＋z⑦如果x＝y，则x－z＝y－z西方逻辑史提纲（之第六讲）河北大学政法学院6⑧xx＝x或x2＝x，一般的xn＝x⑨x（1－x）＝0⑩x＝1或x＝0以上10个公式中，前面7个是和普通代数的有关规则相似，而后面3个是逻辑代数的特有规则或特征公式。其中：⑧式：xx＝x或x2＝x，一般的xn＝x称为指数律，（类似于莱布尼茨的A＋A）是说对同一对象连续进行两次甚至多次选取，其结果是不变的。如果说前面7个公式和普通代数的有关公式极其类似，那么这个指数律却与普通代数有着本质的区别，我们甚至可以说布尔整个逻辑体系都建立在这一规则之上。既然xx＝x总是为真，进一步，布尔根据通常的代数规则把这个方程式因式分解，得到：⑨式：x（1－x）＝0，该式用语言描述就是：没有任何东西可以既属于又不属于一个给定的类x。对布尔来说，这显然是一个令人振奋的结果！因为这恰恰是传统逻辑中矛盾律的表达式。而这之前，矛盾律始终被视为一切原理中最确定无疑的、是被用于论证时的最终的依据。布尔发现，这样一个早期逻辑学发展的重要里程碑，原来只不过是他的新观念的一个特殊应用而已。这一公式的发现，使他确信自己的路走对了。⑨式的确是矛盾律在类代数中的表达式，但布尔并没有给出从⑧到⑨的推论之所以有效的确切依据。一方面，这一过程并不依赖之前的公式，另一方面，虽然很明显他是运用了因式分解（在马玉珂的《西方逻辑史》中称之为“移项规律”），但对因式分解规则本身，他并没有在类代数中给出解释。按照1-9建立起来的系统是类解释的系统,但这一系统并没有假定任何一个类必须取全类或空类为值,所以它并不是一个二值系统。但是进一步，布尔从⑨式得到：⑩式x＝1或x＝0这显然是一个不相容析取，意思是任一个类或者是全类或者是空类。并且前面9个公式对这一解释也成立。这样，他的代数就成为一个二值代数系统。但这对于类代数而言，显然又是一个假解释，因为不能说每个类就或者是全类或者是空类。换言之,包括公式⑩在内的系统不允许作类解释。但布尔并没有明确区分这两个系统。1.2.5逻辑代数对古典形式逻辑的处理布尔在构造了逻辑代数系统之后，进一步用它来处理了古典形式逻辑中的直言命题西方逻辑史提纲（之第六讲）河北大学政法学院7及其推理。具体内容如下：a.传统直言命题的逻辑代数表示：A命题：x（1－y）＝0（直观意思就是：属于x但同时不属于y的对象是不存在的，即所有x都是y。）E命题即“没有x属于y”的布尔表达：xy＝0（直观理解是“属于x同时又属于y的对象是没有的”）I命题：x