第十一章三角形

三角形一、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形2、三角形注意知识点：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义．（4）三角形是多边形中边数最少的一种。3、三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A，B，C来表示。∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．4、三角形的分类：(1)按边分类：用集合表示（2）按角分类用集合表示等边三角形是等腰三角形的特例5、三角形中的三种重要线段：三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．①三角形的角平分线是线段；可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点；（注：这一点叫三角形的内心。角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等）三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角等边三角形三角形直角三象形斜三角形锐角三角形大于0度钝角三角形21DCBADCBA③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（注：这点叫重心：当我们用一条线穿过重心的时候，三角形不会乱晃）③中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在三角形外；③三角形三条高所在直线交于一点．这点叫垂心6、三角形的主要线段的表示法：（1）三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：AD是ABC的角平分线；AD平分BAC，交BC于D；③如果AD是ABC的角平分线，那么BAD=DAC=21BAC.(2)三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AE是ABC的中线；②AE是ABC中BC边上的中线；③如果AE是ABC的中线，那么BE=EC=21BC.(3)三角线的高的表示法：如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：①AM是ABC的高；AM是ABC中BC边上的高；②如果AM是ABC中BC边上高，那么AMBC，垂足是E；③如果AM是ABC中BC边上的高，那么AMB=AMC=90.7、在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.(2)如图4，三角形的三条中线交于一点，交点都在三角形内部.图3图4ABCDE图1图2如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.二、三角形三边关系定理1、推论：△ABC的三边长分别是a、b、c，根据公理“连接两点的所有线中，线段最短”。可知：①a+c＞b，②b+c＞a，③a+b＞c。由此可以得到下来结论：三角形两边之和大于第三边；由②、③得b―a＜c，且b―a＞―c故|a―b|＜c，同理可得|b―c|＜a，|a―c|＜b。从而得到推论：三角形任意两边的差小于第三边。2、定理：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。（1）三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+bc，b+ca，c+ab．（2）三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：|a―b|＜c，|b―c|＜a，|a―c|＜b。（3）已知三角形任意两边的长a，b。则第三边的长度取值范围是：a+bca-b3、构成三角形的条件只要满足|b-c|＜a＜b+c，则可构成三角形。反过来，只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件，则一定有|b-c|＜a＜b+c。图5图6在特殊情况下，如果已知线段a最大，只要满足b+ca就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，就能判定三条线段a、b、c构成三角形。三、三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．1、照相机的三脚架不是利用三角形的稳定性，因为这个三脚架与地面接触的三点构成一个平面。2、要使四边形木架不变形，至少要订上一根木条要使五边形木架不变形，至少要钉上两根木条要使六边形木架不变形，至少要钉上三根木条要使n边形木架不变形，至少要钉上n-3根木条。四、三角形的内角和定理及性质1、定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。2、同时我们还很容易得到如下几条结论：（1）一个三角形最多有一个直角或钝角。（2）一个三角形至少有两个内角是锐角。（3）一个三角形至少有一个角小于或等于60°（否则，若三个内角都大于60°；则这个三角形的内角和大于180°，这与定理矛盾）。(4)三角形有六个外角，其中两两是对顶角相等，所以三角形的三个外角和等于360°。3、证明三角形的内角和等于180°方法一、作CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=1800，即∠A+∠B+∠ACB=1800．方法二、作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=1800，即∠BAC+∠B+∠C=1800．4、利用三角形的内角和做题（1）在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）（2）在三角形中，已知三个内角的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．（3）若∠A+∠B∠C，则此三角形是钝角三角形解：∠A+∠B＜∠C180-∠C＜∠C∠C90所以∠C是钝角，即钝角三角形21BACMD（4）若∠A+∠B=∠C，则此三角形是直角三角形因为∠A+∠B+∠C=180，所以2∠C=180，∠C=90五、三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．2．三角形外角的性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.（3）三角形的一个外角与之相邻的内角互补，（4）三角形的外角和等于360°3．外角个数：（1）三角形每个顶点处各有两个外角，但这两个外角是对顶角.（所以一般我们只研究一个），也就是说一个三角形共有6个外角。而我们平时所说的外角和，是指在每个顶点处各取一个外角，然后再求其和。（2）一个三角形有六个外角，但我们每一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.4、证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.如图：作CM∥AB由于B、C、D共线∴∠A=∠1，∠B=∠2.即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.那么∠ACD∠A.∠ACD∠B.5、关于三角形会经常遇到的题型：适当添加辅助线，寻找基本图形(1)基本图形一，如图9，如果CO是AOB的角平分线，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么DOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.（2）基本图形二，如图10，如果BD是ABC的角平分线，M是AB上一点，MNBD，且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即BMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分线+垂线→等腰三角形.当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12.图11六、多边形（1）定义：在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。图9（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。（3）正多边形：各边相等，各角都相等的多边形叫做正多边形（4）注意点：当求角度时应该想起内角和或者外角和，或者一个角的外角（5）多边形的对角线的条数：2)3(nn条对角线；（6）n边形的内角和为（n－2）×180°(n≥3)；（7）多边形的外角和为360°1）凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形5）密铺（即平面镶嵌）所谓“密铺”，就是指任何一种图形，如果能既无空隙又不重叠的铺在平面上，这种铺法就叫做“密铺”。用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。平面镶嵌及平面镶嵌的条件。①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。（1）可单独密铺的图形1、所有三角形与四边形均可以单独密铺。2、正多边形只有正三角形、正四边形、正六边形可以单独密铺。3、对边平行的六边形可以单独密铺。平面上有：完全相同的三角形、四边形能密铺（或三角形与四边形组合）、正多边形密铺时,只有正三、四、六边形可以密铺。（利用内角和的知识来计算，如：任意三角形内和180°，则三个相同的任意三角形即可形成∠180，六个就可以密铺；同理，四边形内角360，四个就可以密铺；正多边形的顶角的整数倍等于180或360）曲面像12个正五边形和20个正六边形可以铺成个球（足球就是）。七、全等变换全等图形只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。八、三角形有关的线段典型例题（一）利用三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边这个定理解题，即利用|b-c|＜a＜b+c这个公式解题。例、等腰三角形的周长为12，且其各边长均为整数，求各边长。解法1：设其腰长为x，则底边长为（12－2x），由题意得：12-2x-x﹤x﹤12-2x+x解得：3x6∵x为整数∴x=4或5即等腰三角形的腰长为4或5，则底边为，4或2∴该等腰三角形的三边长分别为：4、4、4或5、5、2。注意：当未知数为正整数时，可以运用不等式来接。解法2：设腰长为x，底边长为y，根据题意得2x+y=12x=6-y/2当y=2时，x=5，即三边长为5、5、2当y=4时，x=4，即三边长分别为4、4、4当y=6时，x=3，因为3+3=6，不能构成三角形，舍去。当y=8时，x=2，因为2+2＜8，舍去。所以该等腰三角形的三边长分别为：4、4、4或5、5、2。例2、（1）已知三角形的两边分别为5cm和6cm，求第三边c的取值范围及三角形周长的取值范围；（2）已知三角形的三边分别为14，4x和3x，求x的取值范围；（3）已知三角形的三边分别为a，a-1，和a+1，求a的取值范围。分析：根据三角形的三边关系，可得第