有界函数黎曼可积的充要条件

有有有界界界函函函数数数可可可积积积的的的充充充要要要条条条件件件19020122202881刘刘刘天天天宇宇宇2013/07/06充充充要要要条条条件件件一一一定理一：有界函数f(x)在[a,b]可积的充分必要条件是，对于任意划分P，当λ=max1≤i≤n(△xi)→0时，Darboux大和与Darboux小和的极限相等，即成立lim→0S(P)=L=l=lim→0S(P)证明：先证必要性。设f(x)可积且积分值为I，则由定义，对任意的ϵ0，存在δ0，使得对任意划分P:a=x0x1x2...xn=b和任意点ξ∈[xi−1,xi],只要λ=max16i≤n(△xi)δ，便有|n∑i=1f(ξ)△xi−I|ϵ2　特殊地，取ξi是[xi−1,xi]中满足0≤Mi−f(ξi)ϵ2(b−a)的点，由于Mi是f(x)在[xi−1,xi]中的上确界，因此这样的ξi是一定可以取得到的。于是|S(P)−n∑i=1f(ξi)△xi|=n∑i=1[Mi−f(ξi)]△xiϵ2(a−b)·(b−a)=ϵ21所以|S(P)−I|≤|S(P)−n∑i=1f(ξi)△xi|+|n∑i=1f(ξi)△xi−I|ϵ2+ϵ2=ϵ这就是lim→0S(P)=I　　同理可证lim→0S(P)=I于是lim→0S(P)lim→0S(P)再证充分性。　　按Darboux大和的定义，对任意一种划分P，其Darbox大和与小和总满足lim→0S(P)≤n∑i=1f(ξi)△xi≤lim→0S(P)若lim→0S(P)=lim→0S(P)=I那么两边取极限，即有lim→0n∑i=1f(ξi)△xi=I充充充要要要条条条件件件二二二定理二：有界函数f(x)在[a,b]可积的充分必要条件是，对任意的划分，当λ=max1≤i≤n(∆x)→0时，有下面的结果lim7→0n∑i=1ωi∆xi=02证明：先证明必要性。由定理一可知，若有界函数f(x)在[a,b]上可积，则对于任意的划分P，有lim→0¯S(P)=lim→0S(P)又ωi=Mi−mi，所以有n∑i=1ωi∆xi=n∑i=1Mi∆xi−n∑i=1mi∆xi所以有lim→0n∑i=1ωi∆xi=0再证明充分性。同样利用ωi=Mi−mi，可以由lim→0n∑i=1ωi∆xi=0推出lim→0¯S(P)=lim→0S(P)又由于∃M≥0，使得|lim→0¯S(P)|≤M(b−a)所以有lim→0¯S(P)=lim→0S(P)=LL为有限数。所以f(x)可积。充充充要要要条条条件件件三三三3定理三：有界函数f(x)在[a,b]可积的充分必要条件是，对任意给定的ϵ0，存在着一种划分，使得相应的振幅满足n∑i=1ωi△xiϵ证明：必要性是显然的，下面证充分性。设∀ϵ0，存在一种划分P′，使得相应的振幅满足p∑i=1ω′i△x′iϵ3即S(P′)−S(P′)ϵ3取δ=min(△x′1,△x′2,...,△x′p,ϵ3(p−1)(M−m))对任意一个满足λ=max1≤i≤n(△xi)δ的划分P:a=x0x1x2...xn=b现将P′，P的分点合在一起组成新的划分P′′，则由Darboux定理的证明过程，可得0≤S(P)−S(P)=[S(P)−S(P′′)]+[S(P′′)−S(P′)]+[S(P′)−S(P′′)]+[S(P′′)−S(P)]ϵ3+0+ϵ3+0++ϵ3=ϵ由定理1，可知f(x)在[a,b]上可积。充充充要要要条条条件件件四四四定理四：有界函数f(x)在[a,b]上可积的充分必要条件是，对于任意给定ε0，σ0，存在δ0，使得4任意的[a,b]的划分P满足λ=max∆xi,i=1,2,3,4...,n，λδ时，对应于ωi′≥ε的那些区间区间长度∆xi′满足∑i′∆xi′σ证明：先证明必要性。若f(x)可积，则对于任意的ε0σ0，可以找到δ0，当λ=max∆xiδ时，n∑i=1ωi∆xiεσ于是，ε∑i′∆xi′≤∑i′ω∆xi′≤n∑i=1ωi∆xiσε所以，∑i′∆xi′σ下证充分性。设∆xi′′是使得ωiε的那些部分区间的长度，∑i′′表示这些区间长度求和，以Ω表示f(x)表示f(x)在[a,b]上的幅度，于是n∑i=1ωi∆xi=∑i′ωi′∆xi′+∑i′′ωi′′∆xi′′Ω∑i′∆xi′+ε∑i′′∆xi′′Ωσ+ε(b−a)由于ε，σ的任意性，有lim→0n∑i=1ωi∆xi=0所以f(x)可积。综上，定理得证。5