第十一章常微分方程

第十一章一阶方程与可降阶的二阶方程§11-1一般概念简介常微分方程来源于实际问题，反映客观现实世界运动过程中量与量之间的关系。引例：初速smv/20，以2/4.0sma作直线运动。问多久停止？行驶多少？几个概念：1微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间的关系的方程。（例、引例）2常微分方程：自变量只有一个的微分方程。3阶：微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数。（例、引例，n阶微分方程一般形式）4解：代入微分方程能使其两端成为恒等式的函数。（引例，n阶微分方程解的一般形式）5通解：如果n阶微分方程的解中含有相互独立的n个任意常数，则此解称为此微分方程的通解。（引例，说明通解未必全部解）6特解：不含任意常数的解。（引例）7初始条件：用来确定通解中任意常数的已知条件，（满足初始条件的解是特解）（引例）8初值问题：求满足初始条件的特解问题。（引例）9几何意义：积分曲线（族）。（例）例1：验证函数cyxyx22是微分方程yxyyx2)2(2的解小结：重要概念§11-2一阶微分方程一般形式：),(yxfdxdy或,,0;PxydxQxydy一、可分离变量的微分方程引例：曲线上任一点M处切线与OM垂直，曲线过（1，1），求曲线方程。一般形式：)()(ygxfdxdy或0)()()()(2211dyyQxPdxyQxP（例2后）方法：分离变量，两边积分。关键：判断（尝试写成上形式）例1：求通解yxycsc（xCeycos）说明C是相乘的。例2：求特解)2)1)(1((2ln,0)()(0yxxyyxxyxeeydyeedxee二、一阶齐次方程一般形式：dxdy=(xy)方法：换元化可分离变量的微分方程（具体介绍）关键：判断（尝试写成上形式）例3：求022yxyyx的通解。（y=Cxxln）例4：求通解11yxy（Cxyx2)(2）三、一阶线性微分方程线性：)()()()()2(2)1(1)(xfyxayxayxaynnnn非线性：举例一阶线性微分方程：dxdy+P(x)y=Q(x)非齐次dxdy+P(x)y=0齐次（对应性）1dxdy+P(x)y=0通解：y=cedxxP)(2dxdy+P(x)y=Q(x)（常数变易法）通解：y=edxxP)(()(xQedxxP)(dx+c)dxexQeCedxxPdxxPdxxP)()()()(结构介绍关键：判断写成标准形式例5：求解通解问题1011202xyxxyy两法说明各自特点、利弊及注意点通解)21(112Cxxxxy例6：求（2x+y3）dy=ydx的通解。视x为y函数通解x=y2(y+C)四、伯努利（Bernoulli）方程方程0,1dyPxyQxydx称为伯努利方程。作变量代换：1zy，可得一阶线性微分方程:11dzPxzQxdx,容易求得它的通解，代回变量后可得到伯努利方程的通解。例：求方程42323dyyxydxx小结：四类型的判断及求解方法，解题过程中的注意点。作业：P201/1,2,5§11-3可降阶的二阶微分方程在二阶微分方程中：(,,)dyyfxydx，当,,dyxydx不同时显含时，一般可通过适当的变量代换降为一阶方程来求解。一、nyfx型的微分方程接连积分n次,可得方程的通解.例1：求通解xeyxcos2通解212cos41CxCxeyx二、'','yfxy型的微分方程设y/=p,则y//=p/=dxdp,方程化为dxdp=f(x，p),这是一个以P为未知函数，x为自变量的一阶微分方程,设其通解为p=(x，c1),得dxdy=(x，c1),对它积分便得原方程的通解y=(x，c1)dx+c2例2：解初值问题3,12)1(002xxyyyxyx特解133xxy三、'','yfyy型的微分方程设y/=p,则y//=dxdp=dydpdxdy=pdydp,方程化为pdydp=f(y，p),这是一个以P为未知函数，y为字变量的一阶微分方程,设其通解为y/=p=(y，c1),分离变量并积分,便得原方程的通解)c(y,1dy=x+c2例3求方程2yy//=y/2+y2满足初始条件y(0)=1,y/(0)=-1的特解。通解：y=C2ex；特解：y=ex.小结：类型及解法作业：P201/7,8,9