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计数原理1第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础梳理1.分类加法计数原理:完成一件事有n类不同的方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事情共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.2.分步乘法计数原理:完成一件事情需要分成n个不同的步骤,完成第一步有m1种不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法,……,完成第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.双基自测1.由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中,有重复数字的四位数共有().A.238个B.232个C.174个D.168个2.(2010·广州模拟)已知集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},C={8,9}.现在从这三个集合中取出两个集合,再从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元素的集合,则一共可以组成多少个集合().A.24个B.36个C.26个D.27个3.(2012·滨州调研)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有().A.6种B.12种C.24种D.30种4.(2010·湖南)在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为().A.10B.11C.12D.155.某电子元件是由3个电阻组成的回路,其中有4个焊点A、B、C、D,若某个焊点脱落,整个电路就不通,现在发现电路不通了,那么焊点脱落的可能情况共有________种.【例1】(2011·全国)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友一本,则不同的赠送方法共有().A.4种B.10种C.18种D.20种【训练1】如图所示,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有________个.【例2】(2011·北京)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有________个(用数字作答).计数原理2【训练2】由数字1,2,3,4,(1)可组成多少个3位数;(2)可组成多少个没有重复数字的3位数;(3)可组成多少个没有重复数字的三位数,且百位数字大于十位数字,十位数字大于个位数字.【例3】如图,用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,求有多少种不同的涂色方法?【训练3】1、如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法种数.2、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?3、(2011·湖北)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:由此推断,当n=6时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种,至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种.(结果用数值表示)计数原理3第2讲排列与组合基础梳理1.排列(1)排列的概念:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Amn表示.(3)排列数公式:Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).(4)全排列数公式:Ann=n(n-1)(n-2)…2·1=n!(叫做n的阶乘).2.组合(1)组合的定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cmn表示.(3)组合数公式Cmn=AmnAmm=nn-1n-2…n-m+1m!=n!m!n-m!(n,m∈N*,且m≤n).特别地C0n=1.(4)组合数的性质:①Cmn=Cn-mn;②Cmn+1=Cmn+Cm-1n.3.排列组合问题的常见解法主要有以下几种:(1)特殊元素优先安排的策略;(2)合理分类与准确分步的策略;(3)相邻问题捆绑处理的策略;(4)不相邻问题插空处理的策略;(5)定序问题除法处理的策略;(6)分排问题直排处理的策略(7)“小集团”排列问题中先整体后局部(8)排列、组合混合问题先选后排;(9)正难则反、等价转化的策略;(10)构造模型的策略.双基自测1.8名运动员参加男子100米的决赛.已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道,若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如:4,5,6),则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有().A.360种B.4320种C.720种D.2160种2.以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有().A.200个B.190个C.185个D.180个3.(2010·山东)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有().A.36种B.42种C.48种D.54种4.如图,将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,右面是一种填法,计数原理4则不同的填写方法共有().A.6种B.12种C.24种D.48种5.某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行,那么安排这6项工程的不同排法种数是________(用数字作答).【例1】三名男生两名女生五个同学站成一排,按下列要求各有多少种不同的排法?(1)要求甲必须在中间(2)男女分别排在一起;(3)两女生必须排在一起;(4)女生不能相邻;(5)甲乙不站排头和排尾;(6)甲不排头,乙不排尾;(7)甲乙两名男生必须在一起,而另一名男生和甲乙都不相邻;(8)从左到右,甲乙丙三人只能按甲乙丙顺序排列;(9)两个女生中间必须有一个男生;[变式]1、若是五个同学站成两排,前排两人,后排三人又有多少种不同排法?2、若是五个同学站成一圈呢?【训练1】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数(1)能组成多少个六位数?(2)能组成多少个六位奇数?(3)能组成多少个能被5整除的六位数?(4)能组成多少个比240135大的数?【例2】(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?有向线段呢?(2)一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球①从口袋内取出3个球,共有多少种取法?②从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?③从口袋种取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?123312231计数原理5【训练2】1、有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从20个零件中任意取3个,那么至少有1个一等品的不同取法有多少种?2、某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队,其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不同选法?(2)甲、乙均不能参加,有多少种选法?(3)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法?(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?【例3】6本不同的书,按照以下要求处理,各有多少种分法?(1)一堆一本,一堆两本,一堆三本;(2)甲得一本,乙得两本,丙得三本;(3)一人得一本,一人得两本,一人得三本;(4)平均分给甲乙丙三人;(5)平均分成三堆.【训练3】(1)7个相同的小球,任意放入4个不同的盒子中,试问:每个盒子都不空的放法共有多少种?(2)计算x+y+z=6的正整数解有多少组;(3)计算x+y+z=6的非负整数解有多少组.计数原理6第3讲二项式定理基础梳理1.二项式定理(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.其中的系数Crn(r=0,1,…,n)叫二项式系数.式中的Crnan-rbr叫二项展开式的通项,用Tr+1表示,即通项Tr+1=Crnan-rbr.2.二项展开式形式上的特点(1)项数为n+1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n,C1n,一直到Cn-1n,Cnn.3.二项式系数的性质(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.即Crn=Cn-rn.(2)增减性与最大值:二项式系数Ckn,当k<n+12时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的;当n是偶数时,中间一项Cn2n取得最大值;当n是奇数时,中间两项Cn-12n,Cn+12n取得最大值.(3)各二项式系数和:C0n+C1n+C2n+…+Crn+…+Cnn=2n;C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=2n-1.双基自测1.(2011·福建)(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于().A.80B.40C.20D.102.若(1+2)5=a+b2(a,b为有理数),则a+b=().A.45B.55C.70D.803.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为().A.9B.8C.7D.64.(2011·重庆)(1+3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等,则n=().A.6B.7C.8D.95.(2011·安徽)设(x-1)21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21,则a10+a11=________.【例1】已知在3x-33xn的展开式中,第6项为常数项.(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.计数原理7【训练1】(2011·山东)若x-ax26展开式的常数项为60,则常数a的值为________.【例2】二项式(2x-3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和.【训练2】已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.【例3】(1+2x)3(1-x)4展开式中x项的系数为________.【训练3】1、(2011·广东)xx-2x7的展开式中,x4的系数是________(用数字作答).2、若多项式x3+x10=a0+a1(x+1)+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则a9=().A.9B.10C.-9D.-10计数原理8第1讲双基自测CCCB15【例1】B【训练1】40【例2】14【训练2】(1)43=64个3位数(2)4×3×2=24(3)共4个【例3】180【训练3】1、420法一先将四棱锥一侧面三顶点染色,法二以S、A、B、C、D顺序分步染色法三按所用颜色种数分类2、2603、2143第2讲双基自测BDBB20第3讲双基自测BCBB0【例1】(1)n=10,(2)x2的项的系数为C210(-3)2=405.(3)第3项,第6项,第9项为有理项,它们分别为405x2,-61236,295245x-2.【训练1】4【例2】(1)29(2)-1(3)59-12【训练2】(1)-2(2)-1094(3)1093(4)2187【例3】2【训练3】1、842
本文标题:第十一讲-计数原理
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