第十一讲三角函数

第十一讲三角函数直角三角形中有两条直角边和一条斜边，从这三条边中适当取两条边可以得到不同的比，这些比值的大小显然只与直角三角形中锐角的大小有关，这佯便定义了直角三角形中锐角的三角函数(如图3－14)，常用的有：利用比例的变形并且结合勾股定理，可以从三角函数定义中推出同角三角函数间的关系式：(1)倒数关系tgα·ctgα=1；(2)商的关系(3)平方关系sin2α+cos2α=1．这些同角三角函数关系式对任意锐角都成立，它们在求值、化简以及三角式的变形中有着重要的应用．如图3-15所示，在直角三角形ABC中，∠A与∠B互为余角，根据三角函数定义不难得到互为余角的三角函数之间的关系：sinB=sin(90°-A)=cosA，cosB=cos(90°-A)=sinA，tgB=tg(90°-A)=ctgA，ctgB=ctg(90°-A)=tgA．上述四个公式可以概括为：一个锐角的余角的三角函数值，等于该锐角相应的余函数的函数值由图3－16可以看到，在直角三角形ABC中，如果斜边长度不变，当锐角A增大时，sinA与tgA的值也随之增大，而cosA与ctgA的值随之减小．特别地，当A=0时，sin0=0，tg0=0，cos0=1，ctg0值不存在；当A=90°时，sin90°=1，tg90°值不存在，cos90°=0，ctg90°=0．由于一个角的正弦或余弦值等于直角边与斜边的比，而直角三角形的斜边总是大于直角边，所以，当α为锐角时，总有0＜sinα＜1，0＜cosα＜1．我们利用以上锐角三角函数的定义及性质，可以解决一些求值、化简以及等式证明等问题．例1不查表，求15°的四种三角函数值．分析30°，45°，60°这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样，15°角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出．解如图3－17所示．在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到D，使BD=BA，则所以所以说明将15°角的三角函数求值问题，通过构造适当的三角形，将它转化为30°角的三角函数问题，这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法，是我们研究解决新问题的重要方法．根据互余三角函数关系式，我们很容易得到75°角的四种三角函数值．例2比较下列各组三角函数值的大小：(1)sin19°与cos70°；(2)ctg65°与cos40°；(3)cos1°，tg46°，sin88°和ctg38°．分析(1)利用互余角的三角函数关系式，将cos70°化为sin20°，再与sin19°比大小．(2)余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊再将ctg65°，cos40°分别与ctg60°，cos45°比大小．(3)tg45°=1，显然cos1°，sin88°均小于1，而tg46°，ctg38°均大于1．再分别比较cos1°与sin88°，以及tg46°与ctg38°的大小即可．解(1)因为cos70°=cos(90°-20°)=sin20°，而sin19°＜sin20°，所以sin19°＜cos70°．(2)因为所以ctg60°＜cos45°，所以ctg65°＜cos40°．(3)因为ctg38°=ctg(90°-52°)=tg52°，所以tg52°＞tg46°＞tg45°=1．因为cos1°=cos(90°-89°)=sin89°，所以sin88°＜sin89°＜1，所以ctg38°＞tg46°＞cos1°＞sin88°．说明比较三角函数值的大小，一般分为三种类型：(1)同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．(2)互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小．(3)不能化为同名的两个三角函数，可通过与某些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如30°，45°，60°的三角函数值．例3化简求值：(1)tg1°·tg2°·tg3°·…·tg89°；分析(1)因为tg89°=tg(90°-1°)=ctg1°，而tg1°·ctg1°=1，所以，可将连乘积中的第一个因式与倒数第一个因式相乘，结果为1．同样方法，将第二个因式与倒数第二个因式相乘，其积也是1．依次类推．(3)利用同角三角函数关系将正切函数化为正弦函数与余弦函数，再进一步化简求值．(4)将被开方式化为完全平方的形式，即1-2sin11°·cos11°=sin211°-2sin11°·cos11°+cos211°=(sin11°-cos11°)2．因为sin1l°＜cos11°，所以根式化简后得cos11°-sin11°．(5)根据tgα=3，求出sinα与cosα的值．也可以将所求分式的分子、分母同除以cos2α，将其化为用tgα表示的分式．解(1)原式=tg1°·tg2°·tg3°·…·tg44°·tg45°·ctg44°·ctg43°·…·ctg3°·ctg2°·ctg1°=(tg1°·ctg1°)·(tg2°·ctg2°)·…·(tg44°·ctg44°)·tg45°=1·1·…·1=1．说明同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式，在三角式变形、化简、求值及证明中是重要的依据．例4设α是锐角，若求以tgα，ctgα为两根的一元二次方程．分析根据韦达定理，以tgα，ctgα为两根的一元二次方程是x2-(tgα+ctgα)x+tgα·ctgα=0，因此，解决问题的关键是求出tgα+ctgα的值．解由已知条件可得所以(1)当sinα=cosα时，tgα=ctgα=1，所求方程为x2-2x+1=0，所求方程为即4x2-9x+4=0．说明这是一道一元二次方程与三角函数相结合的综合题，应注意运用分析法、综合法，寻求解题途径．例5设x2+y2=1，且x≠-1，y≠-2，求证：分析本题如果直接用代数方法，通过代数式的运算证明等式成立，比较复杂．根据已知条件x2+y2=1，联想到sin2α+cos2α=1，因此可设x=sinα，y=cosα，则将代数式转化为三角式，利用三角函数有关公式进行变形，这样会简便一些．证设x=sinα，y=cosα，则说明在一些代数等式的证明中，如果已知条件x2+y2=1或x2+y2=a(a＞0)，则可设从而将代数式转化为三角等式的证明问题，我们称这种转化为三角代换法．由于三角函数的公式较多，因此化为三角式后，运算化简常比较方便．练习十一3．求值：sin6α+cos6α+3sin2α·cos2α+4．4．求证：(1)sin(90°-A)ctg(90°-A)=sinA；(2)sinAcos(90°-A)+cosAsin(90°-A)=1；5．化简下列各式，并求出它们的值：(1)(sinA+cosA)2+(sinA-cosA)2；6．证明：sin2A·tgA+cos2A·ctgA+2sinA·cosA=tgA+ctgA．