电路分析中回路分析法和割集分析法.

§3－4回路分析法和割集分析法本节先介绍利用独立电流或独立电压作变量来建立电路方程的另外两种方法--回路分析法和割集分析法，然后对各种电路分析方法作个总结。一、图论的几个名词先介绍图论的几个名词。1．树(tree)是图论的一个重要概念。图由结点和支路组成，树是连通图中连通全部结点而不形成回路的子图。构成树的支路称为树支，连接树支的支路称为连支。由b条支路和n个结点构成的连通图有n-1条树支和b-n+1条连支。2．割集(cutset)是图论的另一个重要概念，它是连通图中满足以下两个条件的支路集合1)移去全部支路，图不再连通。2)恢复任何一条支路，图必须连通。KCL可以用割集来陈述：在集总参数电路中，任一时刻，与任一割集相关的全部支路电流的代数和为零。A33254iiii例如，按照图示割集可以写出以下KCL方程由一条树支和几条连支构成的割集，称为基本割集。基本割集:{2,4,1},{5,1,3},{6,1,3,4}43161436315135412142000iiiiiiiiiiiiiiiiiiii基本割集的KCL方程是一组线性无关的方程组2,5,6为树支,1,3,4为连支连支电流i1，i3，i4是一组独立电流变量0001436135142iiiiiiiiii基本回路:{1,2,6,5},{3,5,6},{4,6,2}基本回路的KVL方程是一组线性无关的方程组由一条连支和几条树支构成的回路，称为基本回路。62426456365326515621000uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu2,5,6为树支,1,3,4为连支树支电压u2，u5，u6是是一组独立电压变量。0002646535621uuuuuuuuuu基本割集:{1,4,2},{5,2,4,3},{6,2,3}基本回路:{2,1,5,6},{4,5,1},{3,5,6}练习题：选择1，5，6为树支，2，3，4为连支，写出基本割集和基本回路。可以证明，n-1条树支电压是一组独立电压变量(它们不构成回路)，由此可以导出割集分析法。b-n+1条连支电流是一组独立电流变量(它们不构成割集)，由此可以导出回路分析法。二、回路分析法与网孔分析法相似，也可用(b-n+1)个独立回路电流作变量，来建立回路方程。由于回路电流的选择有较大灵活性，当电路存在m个电流源时，假如能够让每个电流源支路只流过一个回路电流，就可利用电流源电流来确定该回路电流，从而可以少列写m个回路方程。网孔分析法只适用平面电路，回路分析是更普遍的分析方法。例3－17用回路分析法重解图3－5电路，只列一个方程求电流i1和i2。解:为了减少联立方程数目，让1A和2A电流源支路只流过一个回路电流。例如图3－21(a)和(b)所选择的回路电流都符合这个条件。假如选择图3－21(a)所示的三个回路电流i1，i3和i4，则i3=2A,i4=1A成为已知量，只需用观察法列出电流i1的回路方程图3－21图3－21V20)35()31()135(431iii用观察法列出电流i1的回路方程代入i3=2A,i4=1A，求得电流i1A4135V8V8V201i根据支路电流与回路电流的关系可以求得其它支路电流A1A2A34316315412iiiiiiiiii假如选择图3－21(b)所示的三个回路电流i2，i3和i4，由于i3=2A,i4=1A成为已知量，只需用观察法列出电流i2的回路方程V201A)(12A)3(1)15(32i求解方程得到电流i2A3153V18VV202i练习题1：选择图示电路的i3，i4和i5作为三个回路电流，只用一个回路方程求出电流i5；练习题2：选择选择图示电路的i3，i4和i6作为三个回路电流，只用一个回路方程求出电流i6。三、割集分析法与结点分析法用n-1个结点电压作为变量来建立电路方程类似，也可以用n-1个树支电压作为变量来建立割集的KCL方程。由于选择树支电压有较大的灵活性，当电路存在m个独立电压源时，其电压是已知量，若能选择这些树支电压作为变量，就可以少列m个电路方程。结点分析法只适用连通电路，而割集分析是更普遍的分析方法。例3－18用割集分析法重解图3－11电路，只列一个方程求电压u2。解:为了求得电压u2，作一个封闭面与支路2及其它电阻支路和电流源支路相交，如图所示，这几条支路构成一个割集，列出该割集的KCL方程图3－22A33254iiii代入用电压u2表示电阻电流的VCR方程A33254iiii)V8(1112)V14(111)V8V14(21223322255244uuiuiuuiuui得到以下方程A3)V8(1121)V14(11)V8V14(212222uuuu求解方程得到u2=12V。四、电路分析方法回顾到目前为此，我们已经介绍了2b方程法，支路电流法及支路电压法，网孔分析法及回路分析法，结点分析法及割集分析法。其核心是用数学方式来描述电路中电压电流约束关系的一组电路方程，这些方程间的关系，如下所示网孔方程支路电流方程(b-n+1)回路方程2b方程(b)(2b)结点方程支路电压方程(n-1)割集方程2b方程是根据KCL，KVL和VCR直接列出的支路电压和支路电流的约束方程，适用于任何集总参数电路，它是最基本最原始的一组电路方程，由它可以导出其余几种电路方程。当电路由独立电压源和流控电阻元件组成时，将流控元件的VCR方程{u=f(i)}代入KVL方程中，将支路电压转换为支路电流，从而得到用b个支路电流表示的b-n+1个KVL方程。这些方程再加上原来的n-1个KCL方程，就构成以b个支路电流作为变量的支路电流法方程。由于b个支路电流中，只有b-n+1个独立的电流变量，其它的支路电流是这些独立电流的线性组合。假如将这种线性组合关系代入到支路电流方程组中，就得到以b-n+1个独立电流为变量的KVL方程(网孔方程或回路方程)。假如采用平面电路的b-n+1个网孔电流作为变量，就得到网孔电流方程；假如采用b-n+1个回路电流作为变量，就得到回路电流方程。当电路由独立电流源和压控电阻元件组成时，将压控元件的VCR方程{i=f(u)}代入KCL方程中，将支路电流转换为支路电压，从而得到用b个支路电压表示的n-1个KCL方程。这些方程再加上原来的b-n+1个KVL方程，就构成以b个支路电压作为变量的支路电压法方程。由于b个支路电压中，只有n-1个独立的电压变量，其它的支路电压是这些独立电压的线性组合。假如将这种线性组合关系代入到支路电压方程组中，就得到以n-1个独立电压为变量的KCL方程(结点方程或割集方程)。假如采用连通电路的n-1个结点电压作为变量，就得到结点电压方程；假如采用n-1个树支电压作为变量，就得到割集方程。值得注意的是，当电路中含有独立电流源时，在列写支路电流方程，网孔方程和回路方程时，由于独立电流源不是流控元件，不存在流控表达式u=f(i)，这些电流源的电压变量不能从2b方程中消去，还必须保留在方程中，成为既有电流和又有电流源电压作为变量的一种混合变量方程。与此相似，当电路中含有独立电压源时，在列写支路电压方程，结点方程和割集方程时，由于独立电压源不是压控元件，不存在压控表达式i=f(u)，这些电压源的电流变量不能从2b方程中消去，还必须保留在方程中，成为既有电压和又有电压源电流作为变量的一种混合变量方程。从2b分析法导出的几种分析方法中，存在着一种对偶关系，支路电流分析与支路电压分析对偶；网孔分析与结点分析对偶；回路分析与割集分析对偶。这些方法对应的方程也存在着对偶的关系，即支路电流方程与支路电压方程对偶；网孔电流方程与结点电压方程对偶；回路方程与割集方程对偶。利用这些对偶关系，可以更好地掌握电路分析的各种方法。由于分析电路有多种方法，就某个具体电路而言，采用某个方法可能比另外一个方法好。在分析电路时，就有选择分析方法的问题。选择分析方法时通常考虑的因素有(1)联立方程数目少;(2)列写方程比较容易;(3)所求解的电压电流就是方程变量;(4)个人喜欢并熟悉的某种方法。例如2b方程的数目虽然最多，但是在已知部分电压电流的情况下，并不需要写出全部方程来联立求解，只需观察电路，列出部分KCL，KVL和VCR方程就能直接求出某些电压电流，这是从事实际电气工作的人员喜欢采用的一种方法。常用网孔分析法和结点分析法来分析复杂电路，这些方法的优点是联立求解的方程数目少和可以用观察电路的方法直接写出联立方程组。一般来说，当电路只含有独立电压源而没有独立电流源时，用网孔分析法显然更容易；当电路只含有独立电流源而没有独立电压源时，用结点分析法显然更容易。必须记住，网孔分析法只适用于平面电路；结点分析法只适用于连通电路。以上谈到的是用“笔”算方法分析电路时遇到的几个问题，假若用计算机程序来分析电路，就不必考虑这些问题了，只要将电路元件连接关系和参数的有关数据告诉计算机，计算机就能够自动建立电路方程，并求解得到你所需要的各种计算结果。当你用“笔”算分析电路遇到困难时和深入研究某些比较复杂电路的特性时，建议用本教材提供的计算机程序，可以为你节省大量时间。郁金香