电路分析中结点分析法.

§3－2结点分析法与用独立电流变量来建立电路方程相类似，也可用独立电压变量来建立电路方程。在全部支路电压中，只有一部分电压是独立电压变量，另一部分电压则可由这些独立电压根据KVL方程来确定。若用独立电压变量来建立电路方程，也可使电路方程数目减少。对于具有n个结点的连通电路来说，它的(n-1)个结点对第n个结点的电压，就是一组独立电压变量。用这些结点电压作变量建立的电路方程，称为结点方程。这样，只需求解(n-1)个结点方程，就可得到全部结点电压，然后根据KVL方程可求出各支路电压，根据VCR方程可求得各支路电流。一、结点电压用电压表测量电子电路各元件端钮间电压时，常将底板或机壳作为测量基准，把电压表的公共端或“-”端接到底板或机壳上，用电压表的另一端依次测量各元件端钮上的电压。测出各端钮相对基准的电压后，任两端钮间的电压，可用相应两个端钮相对基准电压之差的方法计算出来。与此相似，在具有n个结点的连通电路(模型)中，可以选其中一个结点作为基准，其余(n-1)个结点相对基准结点的电压，称为结点电压。例如在图3－6电路中，共有4个结点，选结点0作基准，用接地符号表示，其余三个结点电压分别为u10,u20和u30，如图所示。这些结点电压不能构成一个闭合路径，不能组成KVL方程，不受KVL约束，是一组独立的电压变量。任一支路电压是其两端结点电位之差或结点电压之差，由此可求得全部支路电压。图3－6例如图示电路各支路电压可表示为:323020633032120105220231301041101vvuuuvuuvvuuuvuuvvuuuvuu图3－6二、结点方程下面以图示电路为例说明如何建立结点方程。2S6436521S5410iiiiiiiiiii对电路的三个独立结点列出KCL方程：图3－6列出用结点电压表示的电阻VCR方程：)()()(326621553144333222111vvGivvGivvGivGivGivGi代入KCL方程中，经过整理后得到：)()(0)()()()(2S3262143332621522S121531411ivvGvvGvGvvGvvGvGivvGvvGvG结点方程)(0)()(2S3643261436265215S134251541ivGGGvGvGvGvGGGvGivGvGvGGG2S6436521S5410iiiiiiiiiii写成一般形式)93(33S33323213122S32322212111S313212111ivGvGvGivGvGvGivGvGvG其中G11、G22、G33称为结点自电导，它们分别是各结点全部电导的总和。此例中G11=G1+G4+G5,G22=G2+G5+G6,G33=G3+G4+G6。Gij(ij)称为结点i和j的互电导,是结点i和j间电导总和的负值，此例中G12=G21=-G5,G13=G31=-G4,G23=G32=-G6。iS11、iS22、iS33是流入该结点全部电流源电流的代数和。此例中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的结点方程，其系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。)93(33S33323213122S32322212111S313212111ivGvGvGivGvGvGivGvGvG从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的结点方程，其系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。由独立电流源和线性电阻构成的具有n个结点的连通电路，其结点方程的一般形式为：)1((1(S1)1)(1(22)1(1)1(22S1)1(222212111S1)1(1212111nnnnnnnnnnnivGvGvGivGvGvGivGvGvG三、结点分析法计算举例结点分析法的计算步骤如下：1．指定连通电路中任一结点为参考结点，用接地符号表示。标出各结点电压，其参考方向总是独立结点为“+”，参考结点为“－”。2．用观察法列出(n-1)个结点方程。3．求解结点方程，得到各结点电压。4．选定支路电流和支路电压的参考方向，计算各支路电流和支路电压。例3－5用结点分析法求图3-7电路中各电阻支路电流。解：用接地符号标出参考结点，标出两个结点电压u1和u2的参考方向，如图所示。用观察法列出结点方程：A10)S2S1()S1(A5)S1()S1S1(2121uuuu图3－7整理得到：V103V522121uuuu解得各结点电压为：V3V121uu选定各电阻支路电流参考方向如图所示，可求得A4))(S1(A6)S2(A1)S1(2132211uuiuiui图3－7例3－6用结点分析法求图3-8电路各支路电压。图3－8解:参考结点和结点电压如图所示。用观察法列出三个结点方程：A6A25)S3S6S1()S6()S1(A12A18)S6()S6S3S2()S2(A18A6)S1()S2()S1S2S2(321321321uuuuuuuuu整理得到:V19106V66112V1225321321321uuuuuuuuu解得结点电压V3V2V1321uuu求得另外三个支路电压为：V1V3V4236215134uuuuuuuuuA6A25)S3S6S1()S6()S1(A12A18)S6()S6S3S2()S2(A18A6)S1()S2()S1S2S2(321321321uuuuuuuuu图3－8四、含独立电压源电路的结点方程当电路中存在独立电压源时，不能用式(3－9)建立含有电压源结点的方程，其原因是没有考虑电压源的电流。若有电阻与电压源串联单口，可以先等效变换为电流源与电阻并联单口后，再用式(3－9)建立结点方程。若没有电阻与电压源串联，则应增加电压源的电流变量来建立结点方程。此时，由于增加了电流变量，需补充电压源电压与结点电压关系的方程。例3－7用结点分析法求图3-9(a)电路的电压u和支路电流i1，i2。图3－9解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联，如图(b)所示。对结点电压u来说，图(b)与图(a)等效。只需列出一个结点方程。A5A5)S5.0S1S1(uA5A5)S5.0S1S1(u解得V4S5.2A10u按照图(a)电路可求得电流i1和i2A32V10V4A11V4V521ii图3－9例3－8用结点分析法求图3-10所示电路的结点电压。解：选定6V电压源电流i的参考方向。计入电流变量i列出两个结点方程：A2)S5.0(A5)S1(21iuiu图3－10解得补充方程V621uu1AV,2,V421iuu这种增加电压源电流变量建立的一组电路方程，称为改进的结点方程(modifiednodeequation)，它扩大了结点方程适用的范围，为很多计算机电路分析程序采用。图3－10A2)S5.0(A5)S1(21iuiu例3－9用结点分析法求图3-11电路的结点电压。解：由于14V电压源连接到结点①和参考结点之间，结点①的结点电压u1=14V成为已知量，可以不列出结点①的结点方程。考虑到8V电压源电流i列出的两个结点方程为：图3－110)S5.0S1()S5.0(A3)S5.0S1()S1(3121iuuiuu补充方程V832uu代入u1=14V，整理得到：V8V245.15.13232uuuu解得：1AV4V1232iuu0)S5.0S1()S5.0(A3)S5.0S1()S1(3121iuuiuu图3－11郁金香