统计学常用公式

公式一1.众数【MODE】（1）未分组数据或单变量值分组数据众数的计算未分组数据或单变量值分组数据的众数就是出现次数最多的变量值。（2）组距分组数据众数的计算对于组距分组数据，先找出出现次数最多的变量值所在组，即为众数所在组，再根据下面的公式计算计算众数的近似值。下限公式：1012M=L++i式中：0M表示众数；L表示众数的下线；1表示众数组次数与上一组次数之差；2表示众数组次数与下一组次数之差；i表示众数组的组距。上限公式：2012M=U-+i式中：U表示众数组的上限。2．中位数【MEDIAN】（1）未分组数据中中位数的计算根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置。设一组数据按从小到大排序后为12NXXX，，…，，中位数eM，为则有：eN+M=X1（）2当N为奇数eNN+1221M=X+X2当N为偶数（2）分组数据中位数的计算分组数据中位数的计算时，要先根据公式N/2确定中位数的位置，并确定中位数所在的组，然后采用下面的公式计算中位数的近似值：N=1m-1em-S2M=L+iifdf式中：eM表示中位数；L表示中位数所在组的下限；m-1S表示中位数所在组以下各组的累计次数；mf表示中位数所在组的次数；d表示中位数所在组的组距。3．均值的计算【AVERAGE】（1）未经分组均值的计算未经分组数据均值的计算公式为：112n++==niixxxxxnn…（2）分组数据均值计算分组数据均值的计算公式为：11221121+++==+kiikkikkiixfxfxfxfxffff+4．几何平均数【GEOMEAN】几何平均数是N个变量值乘积的N次方根，计算公式为：21-1G==nnnniixxxx…式中：G表示几何平均数；表示连乘符号。5．调和平均数【HARMEAN】调和平均数是对变量的倒数求平均，然后再取倒数而得到的平均数，它有简单调和平均数与加权调和平均数两种计算形式。简单调和平均数：211H==111+++nininnxxxx1…加权调和平均数：21211211mm+m++mH==mmmm+++ninininniixxxx……式中：H表示调和平均数。6．极差【Range】极差也称全距，是一组数据的最大值与最小值之差，即R=max-miniixx式中：R表示极差；maxix和minix分别表示一组数据的最大值与最小值。7．平均差【MeanDeviation】平均差是各标志值与其平均数的绝对离差的算术平均。（1）根据未分组资料的计算公式：1-AD=inixxn（2）根据分组资料的计算公式：11-AD=iniiniixxff式中：AD表示平均差8．方差【Variance】和标准差【StandardDeviation】方差是各变量值与其均值离差平方的平均数。要求掌握方差和标准差的计算方法。未分组数据方差的计算公式为：221nixxn分组数据方差的计算公式为：2211iniiniixxff式中：2表示方差。方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为：未分组数据：21nixxn分组数据：211iniiniixxff式中：表示标准差。9．离散系数离散系数通常是就标准差来计算的，因此，也称为标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标。其计算公式为：Vx式中：V表示离散系数。10．偏态【SKEW】偏态是对分布偏斜方向及程度的测度。利用众数、中位数和均值之间的关系就可以判断分布是左偏还是右偏。显然，判别偏态的方向并不困难，但要测度偏斜的程度就需要计算偏态系数了。EXCEL中偏态系数的计算公式为：31--1-2inixxnnns11．峰值【KURT】EXCEL中峰值系数的计算公式为：421-13112313inixxnnnnnnsnn式中：s表示样本标准差。公式二1．均值估计（1）样本均值的标准差样本均值的标准差，即为样本均值的标准误差，又称为样本均值的抽样平均误差,它反映的是所有可能样本的均值与总体均值的平均差异程度，反映了所有可能样本的实际抽样误差水平。样本均值的抽样平均误差计算公式为：重复抽样方式：2xnn不重复抽样方式：21NnxnN通常情况下，当N很大时，（N-1）几乎等于N，样本均值的抽样平均误差的计算公式也可简化为：21nxnN在公式中，是总体标准差。但实际计算时，所研究总体的标准差通常是未知的，在大样本的情况下，通常用样本标准差S代替。（2）大样本均值的极限误差2xZx（3）大样本下总体均值的区间估计总体均值的置信度为（1）的置信区间：22xzxxzx即22xzxznn（4）总体方差未知，小样本正态总体均值的区间估计总体均值的置信度为（1）的置信区间：22xtxxtx即22ssxtxtnn2．比例估计（1）样本比例的抽样平均误差样本比例的抽样平均误差为：重复抽样下：1pppn上式中，p应为总体比例，实际计算时通常用样本比例p代替。不重复抽样下：1111ppppNnnpnNnN（2）样本比例的抽样极限误差2PZp（3）总体比率的区间估计总体比例P的置信度为（1）的置信区间为：PPppp即22pZpppZp3．总体均值检验（1）单一总体均值检验①正态总体（总体方差已知）或大样本均值检验检验统计量Z为：0xZn②正态总体（总体方差未知）小样本均值检验检验统计量t为：0xtsn（2）两个总体的均值检验①两个正态总体均值检验——两个总体方差已知或大样本Z检验统计量为：1212221212-xxZnn大样本下对两个总体均值进行检验时，在总体标准差未知的情况下，可用样本标准差代替总体标准差进行计算，检验统计量不变。②两个正态总体均值检验（小样本）——两个总体方差未知但相等T检验统计量为：121212-11pxxZsnn22112212112pnsnssnn其中：122111111inisxxn；222221211inisxxn4．总体比例检验（1）单一总体的比例检验Z检验统计量：0001ppZppn（2）两个总体比例的检验检验的统计量为：1212ˆˆˆˆˆˆ11ppZppppnn其中：112212ˆˆˆnpnppnn，ˆp为当12pp时1p和2p的联合估计值。5．总体方差假设检验（1）单一正态总体方差的假设检验检验统计量为：22201ns其中：2211inixxsn为2的估计量。（2）两个正态总体的方差假设检验检验统计量为：2212Fss其中：1221111inixxsn；2221221inixxsn。公式三1.单因素方差分析设总体共分为k种处理进行观察，第j种处理试验了容量为jn的样本。（1）计算各项离差平方和在单因素方差分析中，需要计算的离差平方和有3个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平项离差平方和。总离差平方和，用SST（SumofSquaresforTotal）代表：211jnkijijSSTxx式中：x表示全部样本观测值的总均值。其计算公式为：ijxxn误差离差平方和，用SSE（SumofSquaresforError）代表：211jnkijjijSSExx式中：jx表示第j种水平的样本均值，1jnijijjxxn水平项离差平方和。为了后面叙述方便，可以把单因素方差分析中的因素称为A。于是水平项离差平方和可以用SSA（SumofSquaresforFactorA）表示。SSA的计算公式为：211jnkjijSSAxx（2）计算平均平方用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（MeanSquare）。对SST来说，其自由度为（n-1）；对SSA来说，其自由度为（r-1），这里r表示水平的个数；对SSE来说，其自由度为（n-r）。与离差平方和一样，SST、SSA、SSE之间的自由度也存在着如下的关系：n-1=（r-1）+（n-r）对于SSA，其平均平方MSA（组间均方差）为：1SSAMSAr对于SSE，其平均平方MSE（组内均方差）为：SSEMSEnr（3）检验统计量FMSAFMSE2．两因素方差分析设两个因素A、B分别有k个水平和n个水平，共进行nk次试验。（1）计算各项离差平方和在两因素方差分析中，需要计算的离差平方和有4个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平A、B项离差平方和。总离差平方和，用SST（SumofSquaresforTotal）代表：2ijSSTxx式中：x表示全部样本观察值的总均值，其计算公式为：111nkijijxxnk水平项离差平方和可以分别用SSA（SumofSquaresforFactorA）和SSB（SumofSquaresforFactorB）表示。SSA的计算公式为：211nkjijSSAxx式中：11njijixxnSSB的计算公式为：211nkiijSSBxx式中：11kiijjxxk误差离差平方和，用SSE（SumofSquaresforError）代表：211nkijijijSSExxxx（2）计算平均平方用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（MeanSquare）。对SST来说，其自由度为（nk-1）；对SSA来说，其自由度为（k-1），这里k表示水平A的个数；对SSB来说，其自由度为（n-1），这里n表示水平B的个数；对SSE来说，其自由度为（n-1）（k-1）。这样，把各项离差平方和除以各自的自由度，即得到平均的离差平方和，简称为均方：1SSAMSAk1SSBMSBn11SSEMSEkn（3）检验统计量F()MSAFAMSE()MSBFBMSE公式四1．拟合优度的检验统计量：221kieiefff式中：if表示类别i的观察频数；ef表示假设0H为真时，类别i的期望频数；k表示类别总数。注意：当所有种类的期望频数均大于或等于5时，检验统计量服从自由度为（k-1）的2分布。