电路分析基础第7章电容元件和电感元件

重点：1、电容、电感VCR；2、动态电路的方程及其初始条件确定第7章电容元件和电感元件常用的几种电容器电容器_q+q在外电源作用下，两极板上分别带上等量异号电荷，撤去电源，电荷依靠电场力作用，相互吸引，故仍可长久地集聚下去，因此理想电容器应是一种电荷与电压相约束的器件。1、定义电容元件一个二端元件，在任一时刻，其电荷与电压之间关系可用q～u平面上的一条曲线来确定0),(qufqu§7.1电容元件(capacitor)特性曲线是q~u平面过原点的直线。此时，电容元件极板上的电荷q与电流u成正比。电路符号2.线性非时变电容元件C＋－u+q-qtanuqCorCuqC称为电容器的电容,单位：F(法)(Farad，法拉),常用F，pF等表示。quO单位ttuCttqtiCdddd线性电容的电压、电流关系C＋－uiu、i取关联参考方向电容元件VCR的微分关系表明：（1）i的大小取决于u的变化率,与u的大小无关，电容是动态元件；（2）当u为常数(直流)时，i=0。电容相当于开路，电容有隔断直流作用；（1）VCR之一：21t/s20u/V3441t/s2i/A-223例求电容上电流i解uS(t)的函数表示式为:4332211822220)(tttttttus＋－)(tusC1FistststtdtduCtiC32232021210)(解得电流uC(t0)称为电容电压的初始值，它反映电容初始时刻的储能状况，也称为初始状态。电容元件VCR的积分关系diCdiCdiCtuttttC00111tuCiCddiCtuC1dddiCtutC010令diCtututtCC010（2）VCR之二：21t/s20u/V3441t/s2i/A-223例求电容上电压，已知初始条件为uC(0)=0＋－)(tusC1Fi某一时刻t的电容电压，并不取决于该时刻的电流，而是由从-到时刻t之间的全部电流i(t)来确定。这与电阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，所以说电容是一种记忆元件。性质1：电容电压的记忆性uC(0)=1VttCtCdiCtudiCtu0110diCtuttutttCC00100diCtuttuuttt0010001110000tMCMtCdiCtttttt0u当i()为有限值时,即︱i()︱≤M，△t→0时，有电容电流在闭区间[t1,t2]有界时，电容电压在开区间(t1,t2)内是连续的证明diCtututtCC010)()(tutuCC性质2：电容电压的连续性（电容电压不能跃变）)0()0(CCuu特别当t=0时★★★3.电容的功率和储能ttuCtutitutpdd(1)当电容充电，u0，du/dt0，则i0，q，p0,电容吸收功率。(2)当电容放电，u0，du/dt0，则i0，q，p0,电容发出功率.功率表明电容能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为电场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电容元件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。u、i取关联参考方向（1）电容的储能只与当时的电压值有关，电容电压不能跃变，反映了储能不能跃变；（2）电容储存的能量一定大于或等于零。从t0到t电容储能的变化量：)(21)(21)(21)(21022022tqCtqCtCutCuWC0)(21)(21)(21)(21)(21ddd220)(222tqCtCuCutCuCuξξuCuWuttC若ξ电容的储能表明4.电容的串、并联i1C1C2i+ui2_C=C1+C2i+u_并联等效两个电容并联的等效电容等于两个电容之代数和。一般来说，n个电容并联的等效电容等于n个电容之代数和。表明dtduCdtduCCdtduCdtduCtititi212121)()()(串联等效表明C1C2i+u_+_+_u2u1i+u_2121CCCCCdiCdiCtutututt212111)()()(nCCCC111121n个电容串联的等效电容等于diCdiCCtt111215.电荷守恒定律C1C2已知C1=1/2F，C2=1/6F，uC1(0－)=10V，uC2(0－)=0V，当t=0+时刻开关闭合，求并联电容上电压。例1解开关闭合后，根据KVL，两个电容上电压必须相等uC1(0+)=uC2(0+)=u(0+)开关闭合前电荷0111CuCq0222CuCq开关闭合后电荷011'1CuCq022'2CuCq根据电荷守恒定律'2'111qqqq000002122112211uCCuCuCuCuCCCCCV5.70u实际的电容器除了存储电荷的主要性质，多少都会有漏电现象，这是因为介质不可能理想绝缘，多少有点导电能力。因此在这种情况下，电容器的模型除了上述的电容元件外，还应增加电阻元件。实际的电容器除了标明容量以外，还有额定工作电压。因为每一个电容器允许承受的电压是有限的，电压过高，介质就会被击穿。击穿后的电容会丧失电容器的作用。因此，使用电容器时不应超过它的额定工作电压。实际电容器常用的几种电感器§7.2电感元件(inductor)i(t)+-u(t)电感器把金属导线绕在一骨架上构成一实际电感器，当电流通过线圈时，将产生磁通，磁通与N匝线圈交链，形成磁链，因此理想电感器应是一种电流与磁链相约束的器件。（t)＝N(t)1、定义电感元件一个二端元件，在任一时刻，其磁链与电流之间关系可用～i平面上的一条曲线来确定0),(ifi特性曲线是~i平面过原点的直线，此时，通过电感元件的电流i与其磁链成正比。电路符号2.线性时不变电感元件tan)()(iLortLitL称为电感器的自感系数,L的单位：H(亨)(Henry，亨利)，常用H，mH表示。iO+-u(t)iL单位+-u(t)iLtdtdiLtddtuL)()(线性电感的电压、电流关系u、i取关联参考方向电感元件VCR的微分关系表明：（1）电感电压u的大小取决于i的变化率,与i的大小无关；（2）当i为常数(直流)时，u=0。电感相当于短路；根据法拉第电磁感应定律（1）VCR之一：iL(t0)称为电感电流的初始值，它反映电感初始时刻的储能状况，也称为初始状态。电感元件VCR的积分关系duLduLduLtittttL00111tiLuLdduLtiL1ddduLtitL010令duLtitittLL010（2）VCR之二：性质1：电感电流的记忆性电感电压在闭区间[t1,t2]有界时，电感电流在开区间(t1,t2)内是连续的)()(titiLL性质2：电感电流的连续性（电感电流不能跃变）duLtiduLtittLtL0110)0()0(LLii某一时刻t的电感电流，并不取决于该时刻的电压，而是由从-到时刻t之间的全部电压u(t)来确定。所以说电感是一种记忆元件。特别当t=0时★★★3.电感的功率和储能tittiLtitutpdd(1)当电流增大，i0，di/dt0，则u0，，p0,电感吸收功率。(2)当电流减小，i0，di/dt0，则u0，，p0,电感发出功率。功率表明电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电感元件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。u、i取关联参考方向（1）电感的储能只与当时的电流值有关，电感电流不能跃变，反映了储能不能跃变；（2）电感储存的能量一定大于或等于零。从t0到t电感储能的变化量：)(21)(21)(21)(21022022tLtLtLitLiWL0)(21)(21)(21)(21)(21ddd220)(222tLtLiLitLiLiξξiLiWittL若ξ电感的储能表明4.电感的串、并联并联等效i1L1L2i+ui2_串联等效L1L2i+u_+u_2121LLLLLi+u_L=L1+L2i作业7.1求uc、iL、Wc、WL+_+_3Ω2Ω10V0.5Hi12i1+_uc4ΩiL0.5F含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。特点1.动态电路当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。§7.3动态电路的电路方程电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化例+-usR1R2（t=0）i0ti2/RUiS)(21RRUiS过渡期为零电阻电路K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC=0i=0,uC=usK+–uCusRCi(t=0)K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态+–uCusRCi(t→)初始状态过渡状态新稳态t1uSuct0?iRuS有一过渡期电容电路K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uL=0uL=0,i=us/RK接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路初始状态过渡状态新稳态t1uS/Rit0?uLSu有一过渡期K+–uLusRLi(t=0)+–uLusRLi(t→)电感电路过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。twp含有储能元件的动态电路中的电压电流仍然受到KCL、KVL的拓扑约束和元件特性VCR的约束。一般来说，根据KCL、KVL和VCR写出的电路方程是一组微分方程。由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。由n阶微分方程描述的电路称为n阶电路。2.动态电路的电路方程建立+_+_CiucusR+_uR例1图示电路，以电容电压为变量列写电路方程。得到)()(d)(dSCCtututtuRC＝这是关于电容电压uc常系数非齐次一阶微分方程，求唯一解时需知uc初始值。在上式中代入:ttuCtid)(d)(C)()()()()(CCRStutRitututuRC串联电路，根据KVL解iRRiSLiL+uL_例2图示电路，以电感电流为变量列写电路方程。RL并联电路，根据KCL解)()()()()(LLLRStiRtutititi在上式中代入：ttiLtud)(d)(LL得到)()(d)(dSLLtitittiRL＝这是关于电感电流iL常系数非齐次一阶微分方程。求唯一解时需知iL初始值。+_+_CiucusR+_uRL+_uL例3图示电路，以电容电压为变量列写电路方程。RLC串联电路，根据KVL解ScccuutdduRCdtudLC22ScLRuuuuttuCtitititiCLRd)(d)()()()(CdttduRCtRiuCR22dttudLCdttdiLuCLL电路中电流电阻电压电感电压关于电容电压uc常系数非齐次二阶微分方程。如图电路，列写以i为变量的微分方程：例4+_6Ω12Ω18V4H3iii+_16Ω12V4H应将4H电感当作负载断开，简化成戴维宁等效电路34idtdi化简12164idtdi解(1)t=0＋与t=0－的概念认为换