电路原理上册三章

第三章动态元件和动态电路导论引言1.什么叫动态元件？元件电压电流关系为微分，积分关系的元件叫动态元件。2.什么叫动态电路？含有动态元件的电路叫动态电路。3.为什么要研究动态电路？实际电路中需要利用电容器、电感器等,以完成某种功能，特引入理想的电容元件和电感元件作电路模型。4.动态电路的分析方法：动态电路分析的核心是列写动态电路的微分方程，求解微分方程得到待求变量，进而求解电路中的其他变量。基本要求1.掌握动态元件的VCR。2.掌握电路微分方程的列写及求解方法。3.掌握阶跃函数，冲激函数及其在电路中的应用。4.掌握求解电路初始值的方法。5.深刻理解时间常数，零输入响应、零状态响应和全响应，自由分量和强制分量，稳态和暂态等概念。§3-1电容元件电容量—反映电路储存电场能性质的电路参数。简称电容。线性电容用C表示。电容元件—是电容器和其它储存电场能的实际部件抽象出的理想元件。电容量是联系其电荷与电压关系的参数。其电荷与电压的关系也分为线性与非线性，时变与非时变。本章仅研究时不变线性电容。一、电容元件的q-u关系元件如图所示q(t)=Cu(t)或u(t)=C1q(t)C为常量,与电压u(t)和电荷q(t)无关的比例系数,对理想的电容器而言，由其结构、材料、介质等决定。其q(t)，u(t)曲线如右,是一条直线，与u(t)之间的夹角为，则有C=tg。二、电容元件电压电流关系（VCR）1、微分关系式设引线上的电流i(t)与u(t)为一致参考方向，则当端电压u(t)随时间而变化时，其储存的电荷q(t)也随之而变化，引线上即有传导电流通过，此电流等于q(t)对时间的变化率。tdudCtdqd)t(i当tdud＞0时,i(t)＞0时,电压增加，充电，电流实际方向与参考方向相同。当tdud＜0时,i(t)＜0时,电压减小，放电，电流实际方向与参考方向相反。当tdud=0时,有i(t)=0以上分析说明：电容电流的存在依赖于电压是否变化，而不是电压是否存在。(a)(b)图311线性电容元件及其qu特性例如：(a)(b)图312电容元件上电压和电流的波形人们将电容元件称为“动态元件”，就因为电压变化才有电流。2、积分关系将微分式两边从（-∞到任意时刻t）积分。ttttttd)(ic)t(ud)(icd)(icd)(ic)t(u00011110其中u(t0)称为电容电压在t0时的初始值，是由-∞到t0期间积累的，t0为研究某一工作过程的初始时刻。可见u(t)是由电流在[-∞，t]区间所积累，与电流的全部历史有关。这表明电压对电流有“记忆”作用，所以电容又称为“记忆”元件。如果令t0=0，即零时刻为开始研究的时间起点，则td)(ic)(u)t(u010可作出其等效电路如图3-1-3所示电容元件充放电的一个重要性质：由微分式可知：当u(t)连续变化时，tdud为有限值。i(t)亦为有限值。当u(t)跳变时，(a)电容的初始电压为u(0)(b)电容的初始电压为零图313具有初始电压u(0)的线性电容元件及其tdud→∞。i(t)→∞。由积分式可知：当i(t)为有限值时，u(t)不能跳变，只能连续变化。归纳为一句话：有限的电流使电压连续变化，无限大的电流使电压发生跳变。例如下图R限流，i为有限值；开关合上瞬间i(t)→∞uC(t)连续变化。uC(t)将发生跳变，uC(t)=u(t)(t≥0)三、电容元件吸收的功率和能量tdudc(t)u(t)i(t)u(t)pt0～t吸收的能量])(tu(t)u[c21uducξdξdud(ξ)ucξdp(ξ)]t,[tw022(t)u)(tutttt0000当u(t0)=0时，即无初始电压，无初始储能，则(t)uc21w(t)2此式表明：电容元件在任一瞬时储存的能量与u(t)的平方成正比。§3-2电感元件忽略电感线圈的电阻，即忽略其耗能特性，认为它仅储存磁场能量，于是可将线圈抽象为一个理想化的二端元件即电感元件。++－－Cu(t)uC(t)Ri(t)t=0++－－Ct=0u(t)i(t)uC(t)一、复习电磁感应定律法拉弟电磁感应定律：tdψd(t)e楞次电磁感应定律：感应电动势企图产生一个感应电流，此感应电流产生的磁通去阻止原磁通的变化。表达式为tdψd(t)e设u(t)与i(t)、e(t)为一致参考方向，均与ψ(t)成右螺旋。有u(t)=-e(t)，则有tdψd(t)eu(t)当tdψd＞0时，u(t)＞0，感应电压的实际极性与参考极性相同。此感应电压相当于一个电压源，这个电压源产生的感应电流将由负极流向正极，产生一个与原磁通链相反方向的磁链，去抵消原磁通的增加，这符合楞次定律。当tdψd＜0时，u(t)＜0,感应电压的实际极性与参考极性相反。它推动的电流所产生的磁通链与原磁通链相同，去补偿原磁通链的减小，这也符合楞次定率。二、线性电感的ψ—i关系当ψ是由线圈自己所载电流的变化而引起的。且磁链ψ与i成右螺旋，是正比例关系，即ψ=Li,L是常量，是单位电流产生的磁通链，它表明由电感产生磁链的能力的大小，叫做电感系数，又称自感系数，自感。图321线圈中的感应电压+_e(t)+－u(t)i(t)+－感应电压三、电感元件的电压电流关系VCR1、微分关系tdidLtdiLdtdψd(t)u当tdid＞0时，u(t)＞0，这个电压将阻止电流的增加；当tdid＜0时，u(t)＜0，这个电压将阻止电流的减小；当tdid=0时，u(t)=0，不变的电流不能引起感应电压。可见，只有变化的电流，才能产生感应电压。感应电压等效于一个电压源，如右图所示。自感元件也是一个“动态元件”。反过来说，为了使时变电流流过电感元件，需在电感两端施加一个电压，去平衡感应电压。2、积分表达式tttd)(uL)t(id)(uL)t(i0110i(t)的大小与u(t)的全部历史有关，i是由u积累而成的。i(t)对u(t)具有“记忆”作用，所以电感又是一个“记忆元件”。线性电感的一个重要性质：由VCR可知：有限的电压对电感励磁，电流不会跳变；无限的电压对电感励磁，电流将发生跳变。四、功率和能量p(t)=u(t)i(t)=L)t(itdidΨ2Ψ21Ψ222号线圈i2+－u222/1号线圈Ψ12Ψ11Ψ1i1+－u111/(t)i)(ti022tttt0000)(tiL21(t)iL21idiLξdξdid.Liξd(ξ)p]t,tw[当i(t0)=0时，有(t)iL21(t)w2§3-3耦合电感元件耦合电感是有磁耦合的若干电感线圈的电路模型，是多端钮的理想电路元件。耦合电感元件也分为线性与非线性，本书只讨论线性耦合电感。一、二端口耦合电感元件)i,(ifψ)i,(ifψ212221112122212111ψψψψψψ对线性互感有)iMiLψ)iMiLψ121222212111其中;iψL;iψL222211111212121212iψM;iψMM12与M21皆为常量，称为互感系数，可以证明M12=M21=M，即有12222111iMiLψiMiLψ由电磁感应定律(1)tdidMtdidLtdψdutdidMtdidLtdψdu1222221111自感电压互感电压互感电压前的符号是可正可负的。这要看互感磁通链与产生它的电流是否右螺旋而定。而是否右螺旋，又要决定于两线圈实际的电流方向，线圈的绕向，摆放的位置等因素。在工程实际中，往往不全知道这几个因素，理论分析时就不能画出这种三维图形。所以人们用同名端标注法来解决互感电压前正负号确定的难题。同名端标注：将耦合电感都画为平面图形，用“”，“*”,“△”，“#”…等符号标于各电感的某一端，如图3-3-1用“·”标注在Ll和L2的上端。同名端的意义：当两电感的电流都由同名端流进时，互感电压前取正号，否则取负号。如果把互感电压的正、负号归入互感系数M中去,则M就可正可负。对图3-3-1所示同名端“·”，M＞0，（1）式可写为tdidMtdidLutdidMtdidLu12222111如右图中的同名端“*”，则M＜0，（1）式可写为tdidMtdidLu2111tdidMtdidLu1222注意：当i2=0时,互感电压u2中M的正、负号将以u2的高电位端跟i1的流入端是否同名端来判断。是同名端，M取正号，否则取负号。图331二端口耦合电感元件(M为正)M**L1L2i1i2u2++－－u1二、多端口耦合电感以右图三耦合电感为例，由于u1与i1,u2与i2,u3与i3皆为一致参考方向，故在未标同名端时，可写出各端口电压表达式如下：tdidMtdidMtdidLu313212111tdidMtdidMtdidLu323112222tdidMtdidMtdidLu223113333各式中的互感系数，M12,M23,M13皆可正可负，可由同名端而定。如图中所示之同名端标注，则有:M12＜0.M23＞0.M13＜0作业：3-1-1；3-2-1；3-3-1；3-3-2；3-17§3-4单位阶跃函数和单位冲激函数单位阶跃函数和单位冲激函数都属于奇异函数。应用这两个函数可以很方便地描述动态电路的激励和响应。一、单位阶跃函数定义：0001tt)t(t=0时函数值发生跳变，其值不定，（也可定为0,1/2或1）定义：t=0－由t由负趋于零时的极限t=0＋由t由正趋于零时的极限则t由负值趋于零时ε（0-）=0M12*L2i2u2+－*L1i1+－u1＃L3i3u3+－M13M23··＃f(t)=U0e-tε(t)0tf(t)f(t)ε(t)0t0tf(t)=U0e-tU00tU0t由正值趋于零时ε（0＋）=1平移的阶跃函数（延时的阶跃函数）设t0＞000001tttt)tt(向右平移)tt)t(t)tt(00001向左平移11101tttt)tt(单位阶跃函数的应用1、开关作用2、截取作用：设f(t)对所有的t都有定义，则f(t)ε(t)的图形为截取f(t)的t＞0的部分。3、表达矩形脉冲分段函数为000000ttttUt)t(f单个函数)]tt()t([U)tt(U)t(U)t(f00二、单位冲激函数δ（t）定义：围成的面积为1(t)与t0时，且δ仅存在于t1(t)d(t)δ0t0(t)δ01t1tε（-t+t1)0tf(t)t0U0tf(t)t0U-U∵δ（t）仅存在于t=0100td)t(td)t(可见δ（t）→∞（t=0）平移的单位冲激函数δ（t-t0）δ（t-t0）=0t≠t010000tttd)tt(td)tt(一般冲激函数Aδ(t-t1)单位冲激函数的采样性质0000000)(ftd)t()(ftd)t()(ftd)t()t(f同理)t(ftd)tt()t(ftd)tt()t(ftt111111三、δ(t)与ε(t)的关系td)t(d)t(证明：在非常短暂的时间内发生的一个巨大脉冲电流或电压可近似的当作冲激电流或冲激电压。见下图。)t()t(C)t(dtdCdtduC)t(iC0tAδ(t-t1)t1(A)0tf(t)Tk/21-Tk/20tf/(t)Tk/2-Tk/21/Tk0t10KT)t()t(flim[(1/Tk)·Tk=1]0t0KT)t()t(flim求导)t(td)t(d求导取TK→0的极限取TK→0的极限1V++－－t=0i(t)uC(t)C=1F++－－1Fε（t）uC(t)=ε（t）i(t)uC(0-)=00000C1Vc1td(