第十七章勾股定理及练习

第1页共5页ACBD第十八章勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。∠A=30°可表示如下：BC=21AB∠C=90°（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。∠ACB=90°可表示如下：CD=21AB=BD=ADD为AB的中点5、射影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项∠ACB=90°BDADCD2ABADAC2CD⊥ABABBDBC26、常用关系式由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系222cba，那么这个三角形是直角三角形。8、命题、定理、证明⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。第2页共5页⑵命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。⑶公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。⑷定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。⑸证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。⑹证明的一般步骤①根据题意，画出图形。②根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。9、数学口诀.平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。完全平方公式:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。勾股定理单元测试题一、相信你的选择1。三角形各边长度的平方比如选项中所示，其中不是直角三角形是是（）（A）1:1:2（B）1:3:4（C）9:25:26（D）25:144:1692。在△ABC中，三个角和三条边分别满足下列条件：①∠A=∠B，a:c=1:2；②a:b:c=1:2:3；③abcba2)(22；④10,48,14cabba。其中能证明△ABC是直角三角形的有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个3。张师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其他数据弄混了，请你帮他找出来，是数据（）（A）5,8,4（B）13,10,12（C）12,12,8（D）13,12,124。将一直角三角形的三边长变为原来的2.5倍后，得到的三角形是（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）无法确定5。如图1，所示，在一块平地上，李大爷家屋前14米远处有一颗大树，在一次强风中，这颗大树从离地面5米处折断倒下，量得倒下部分的长是13米。出门在外的李大爷担心自己的房子被倒下的树砸到，大树倒下时会砸到李大爷的房子吗？（）（A）一定不会（B）可能会（C）一定会（D）以上答案都不对6/。如图2，正方体盒子的棱长为2，AB中点为M，一只蚂蚁从点M沿正方体的表面爬到点C，蚂蚁爬行的最短距离是（）（A）13（B）17（C）5（D）527。有下列说法：①若两直角边的平方和等于斜边的平方，则此三角形是直角三角形；②在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若222cba，则△ABC是钝角三角形；③在△ABC中，a、b、c分别是∠A、第3页共5页∠B、∠C的对边，若222acb，则∠C=900；④在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C≠900，则222cba。其中正确的是（）（A）①②③（B）②③④（C）②④（D）④8。在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长是（）（A）4（B）14（C）14或4（D）以上都不对9。一个三角形的三条边长之比为1：1：2，则这个三角形三条边上的高线之比为（）（A）1：1：2（B）2：2：1（C）2：1：1（D）1：2：210。如图3，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将它折叠使点A与点C重合，则折痕EF的长为（）（A）3.74（B）3.75（C）3.76（D）4二、慎思妙解，细心填一填11。在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，22nma，22nmb，当c=时，∠B=900。12。一根49厘米长的绳子被折成如图4所示的形状并钉在A、B两点，AB=7厘米，且PA⊥AB，则PB=厘米。13。有一个边长为1米的正方形洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖的半径至少为米。14。如图5，已知小正方形的边长为1，那么3个并排的小正方形组成的矩形的对角线的长为，n个并排的小正方形组成的矩形的对角线的长为。15。小明的叔叔家承包了一个矩形养鱼池，已知它的面积为48m2，对角线长为10m，为建栅栏将这个养鱼池围住，则需要这样的栅栏至少m。16。如图6所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A、B、C、D的面积和为cm2。17。如果一个直角三角形的两条直角边的长恰好是二元一次方程组723xyyx的解，则这个直角三角形的斜边长是。18。如图7，已知某学校A与直线公路BD相距3000米，且与该公路上一个车站D相距5000米，现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市与车站D的距离是米。三、挑战你的技能19。如图8，在等腰△ABC中，AC=BC，CD是角平分线，且CD=8，AC-AD=3，求△ABC的周长。图3FEDCBABAP图4图5图69cmDCBA图7DCBA图8DCBA第4页共5页20。作图：在数轴上（如图9）作出表示3-2的点（保留作图痕迹，不写作法）。21。如图10△ABC是一块等边三角形的废铁皮，利用其裁剪一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上。若所裁剪的正方形的边长为3，求该等边三角形的边长。22。学完了勾股定理后，张老师给同学们布置了这样一道题：有两个形状、大小完全相同的香烟盒按照图11放置，从正前方看图11得到的图形如图12所示，你能运用这个图形证明勾股定理吗？赶紧试一试吧，相信你一定能行！（提示：连接AC、CF、AF）23。农民牛伯伯承包了一块四边形水稻田ABCD（如图13），他量得边长AB=90m，BC=120m，CD=130m，DA=140m，且边AB、BC正好位于两条相互垂直的公路的拐角处，请你帮牛伯伯计算一下这块水稻田的面积。DCBA图13图9-101234GFE图10DCBA图11GFEDCBA图12第5页共5页勾股定理单元测试题答案一、CCBCAADCBB二、11.2mn12.251322141,102n15.2816.8117.1718.3125三、19。312820。略。21。2322。证明略23连接AC，△ABC的面积为5400m2，作CE⊥AD交AD于E。根据勾股定理构造方程求出AE=90，CE=120，△ACD的面积为8400m2，所以四边形ABCD的面积即为13800m2，即这块水稻田的面积为13800m2GFEDCBA