高二数学基本概念——第9章-矩阵和行列式初步

高中数学基本概念高二第一学期第9章矩阵和行列式初步第9章矩阵和行列式初步一、矩阵9.1矩阵的概念矩阵及其相关的概念1、矩形数表叫做矩阵矩阵中的每个数叫做矩阵的元素由个数排成的行列的数表nmmnnjmiaij,,2,1;,,2,1mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为矩阵.nm记作mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211nmija)(2、矩阵叫做方程组的系数矩阵。1321它是2行2列的矩阵，记为22A，矩阵可简记为AnmA注意:矩阵的符号，是“（）”，不能是“||”.列元素。行第称为矩阵的第其中jiaij一般的记为大写字母A、B、C、…等。。等，或者必要时可记为nmijnmnmaBA)(,3、矩阵叫做方程组的增广矩阵，813521它是2行3列的矩阵，32A可记作4、1行2列的矩阵（1，-2），（3，1）叫做系数矩阵的两个行向量。2行1列的矩阵，叫做系数矩阵的两个列向量。3112高中数学基本概念高二第一学期第9章矩阵和行列式初步5、解二元一次方程组就是通过某些变换使系数矩阵变为对角线元素均为1，其余元素为0的矩阵1001在系数矩阵变化过程中增广矩阵随之变化，最后增广矩阵的最后一列给出方程组的解。6、当行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵。1321是2阶方矩阵，2是行数（列数）说明：解方程组的过程就是通过某些矩阵变换，使方程组的系数矩阵变为单位矩阵的过程。7、对角线元素为1，其余元素均为0的方矩阵，如，叫做单位矩阵。1001100010001nEE全为1称为n阶单位矩阵（或单位阵）.注意：单位矩阵是方阵说明：通过对线性方程组的增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换有下列三种：（1）互换矩阵的两行（2）把某一行同乘以（除以）一个非零常数（3）某行乘以一个数加到另一行通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。阶阵）阶矩阵或阶方阵（或为称，的行数与列数相等，即如果矩阵nnnAnmaAnmij)(例如2222222613是一个3阶方阵.也可记作.nA注意：如果说2阶矩阵，指的就是2阶的方阵（2）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.nmnmoo注意.00000000000000000000不同阶数的零矩阵是不同的.例如如果写矩阵340A，右边的0，指的是34的零矩阵高中数学基本概念高二第一学期第9章矩阵和行列式初步9.2矩阵的运算矩阵列的矩形表，称为一个行排列成一个个数由nmnmnjmianmij),,2,1;,2,1(111212122212.....................nnmmmnaaaaaaaaa记为列元素。行第称为矩阵的第其中jiaij一般的记为大写字母A、B、C、…等。,()mnmnijABa必要时可记为等，或者A=。0mnOO所有元素均为的矩阵，称为零矩阵，记作或定义1一一、、复习复习定义2若两个矩阵A，B有相同的行数与相同的列数，并且对应的位置上的元素相等，则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=BnmijnmijbBaA)(,)(即如果,(1,2,...,;1,2,...,)ijijabimjn且则A=B。...)3,2,1,...;3,2,1(jibaijij二二、、矩阵的运算矩阵的运算（一）矩阵的加（减）法和数与矩阵的乘法3(),()ijijmnAaBbmnAB定义两个行列矩阵对应位置元素相加(或相减）得到的行列矩阵，称为矩阵与矩阵的和（差）。A-BAB记为或（）。AB即()()ijmnijmnab()ijijmnab定义4以实数乘矩阵A中的每一个元素所得到的矩阵，称为实数与矩阵A的乘积矩阵．记做AA即()ijmna()ijmna的负矩阵的元素变号，称为的乘积使与AAA1A记作nmijaA)(即)(ija1A1AA2ABAB注意：（）矩阵与实数相乘满足如下交换率和分配律：（）（）（）高中数学基本概念高二第一学期第9章矩阵和行列式初步（2）设A、B、C、O都是m×n矩阵，l、k是实数，则ABBA)1()()()2(CBACBAAOA)3(OAA)()4(kBkABAk)()5(lAkAAlk)()6()()()()7(kAllAkAkl(8)1AA存在唯一解的条件。组例、给出二元一次方程222111cybxacybxa{解：原方程组的系数矩阵为)(2211babaA……①2111,bbba是矩阵A的两个列向量，原方程组可以表示为：212121ccbbyaax……②由平面向量的分解定理可知：使、对实数不平行时，存在唯一一与当向量yxbbaa)1(2121②成立1122111122221212ab(2)xyabababxyababcccccc当向量与平行时，对任意实数、，都与或平行，所以若与平行，则原方程组有无穷多个解；若与不平行，则原方程组无解。唯一解的条件。不平行是原方程组存在与2121bbaa高中数学基本概念高二第一学期第9章矩阵和行列式初步(二)矩阵的乘法111211121112212321222122aabbccABCaabbcc设若它们元素间的关系可以用下列等式表示)2,1;2,1(2211jibabacjijiij那么矩阵C叫做矩阵A和B的乘积，记作C=AB11121112111112211112122221222122211122212112222211122122aabbababababABaabbababababcccc)2,1j21ijBiA)1(；，（列的列向量的数量积的第行的行向量与的第是ijc注：323122211211434241333231232221131211bbbbbbBaaaaaaaaaaaaA设324322421241314321421141323322321231313321321131322322221221312321221121321322121211311321121111babababaababababababababababababababababababababaAB注：)Nk,nm,mkkn)2(矩阵的乘积（列的行、列的矩阵与行、定义可以推广到任意()jkmlkjlnAaBb设矩阵（）的列数与的行数相同，则由元素11221...(1,2,...,,1,2,...,)lijijijilljikkjkcababababimjn构成的m行n列的矩阵nmlkkjiknmijbacC)()(1称为矩阵A与B的积。记为C=ABAB的行数为左边矩阵A的行数，AB的列数为右边矩阵B的列数。AB的第i行第j列元素为A的第i个行向量与B的第j个列向量的数量积。所以只有A的列数与B的行数相同时，AB才有意义。记忆法:左行右列”定义1、一般的，AB≠BA矩阵乘法不满足交换律。2、AB=0不能推出A=0或B=03、如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，称为A与B可交换。由矩阵乘法的要求可知，A与B可交换的必要条件是A与B是同阶方阵。若AC=BC，但A≠B矩阵乘法不满足消去律。*4、平面图形的矩阵变换高中数学基本概念高二第一学期第9章矩阵和行列式初步二、行列式9.3.二阶行列式一、引入：给出一个二元一次方程组：（A）111222axbycaxbyc（其中12210abab）请同学们用加减消元法解这个方程组解得当12210abab时方程组有唯一解1221122112211221cbcbxababacacyabab观察方程组解的表达式，发现解的分子分母都是两数乘积的差。如分母：1221abab二、定义概念（1）定义：1122abab称之为行列式，因为它有两行两列，所以称之为二阶行列式，且规定1122abab1221abab其中1221abab叫做行列式的展开式；1212,,,aabb叫做行列式的元素的两行两列，排列成如图将未知数的系数2121b,b,a,a(2)（2）行列式算式的特点，并口述它的运算规则12,ab21,ab我们把（主对角线）和（副对角线）分别用两条对角线连接用主对角线上的两个数的乘积减去副对角线上的两个数的乘积即为行列式的值。利用对角线把二阶行列式写成它的展开式，这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则。由此我们得到：（1）二阶行列式实质是表示四个数（或式）的特定算式的一种记号。（2）由二阶行列式的计算法则，任何一个二阶行列式都可以表示成乘积差的形式，进而计算出它的值（3）由二阶行列式的计算法则，任何两个乘积差的形式都可以表示成一个二阶行列式。高中数学基本概念高二第一学期第9章矩阵和行列式初步111222)axbycaxbyc...(的解当12210abab时方程组有唯一解1221122112211221cbcbxababacacyabab行列式一般可用大写字母表示，如D1122abab因为D是由未知数x,y的系数组成的，故而称之为方程组(*)的系数行列式0D2121是充要条件不平行的，注意：非零向量bbaa二阶行列式求二元一次方程组的解同样我们可用分别表示方程组（*）的常数项替换行列式D中x,y,xyDD的系数后得到的,那么有:11112222,xycbacDDcbac1221122112211221cbcbxababacacyabab请同学们将这个解用行列式的形式表示出来:11221122cbcbxabab11221122acacyabab从而，当D时，方程组（A）的解用二阶行列式表示为:0xyDxDDyD给出一个二元一次方程组：（A）应转化为方程组111222axbycaxbycxyDxDDyD（三）作为判别式的二阶行列式DDyDDxA0D)(yx）有唯一解时，方程组（当i讨论二元一次方程组的解的情况高中数学基本概念高二第一学期第9章矩阵和行列式初步（ii)在D=0的情况下讨论转化的方程组解的情况。xyDxDDyD（1）如果中至少有一个不为零，不妨设则无论x取何值，方程都不成立，即x无解从而方程组(A)无解。,xyDD0xDxDxD（2）如果显然在方程中，由于从而x可取任意实数再由x的值代入方程求出相应的y值，所以方程组有无穷解。0xyDDxDxD0xDD问题：如何证明在条件下，方程组中的两个方程是同解方程呢？0xyDDD证明：由于不全为零，不妨设，则由解得，21212211,abacbcaa1212,,,aabb10a0,0yDD2121211abacaxyaa于是方程组A中的第二个方程可代换为：即因此它与第一个方