第十三讲定积分与微积分基本定理

第一章集合与常用逻辑用语高三备课组第1页共8页第二章函数、导数及其应用第十三讲定积分与微积分基本定理【考纲速读吧】1．了解定积分的实际背景、基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义．【要点集结号】1个必会关键由微积分基本定理可知，求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．2个必记关系1．当对应的曲边梯形位于x轴上方时定积分的取值为正，位于x轴下方时定积分的取值为负．2．当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．3项必须注意1．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．2．加速度对时间积分为速度，速度对时间积分是路程．3．定积分在物理中应用的不同类型的计算方法，可类比平面图形面积的计算．【课前自主导学】011．定积分的几何意义F（x）abF（x）dx的几何意义F（x）≥0表示由直线______，______，y＝0及曲线y＝F（x）所围成的曲边梯形的面积F（x）0表示由直线______，______，y＝0及曲线y＝F（x）所围成的曲边梯形的面积的相反数F（x）在[a，b]上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积填一填（1）F（x）是奇函数，且05F（x）dx＝6，则5－5F（x）dx＝________．（2）1－11－x2dx的值是____．2．定积分的性质性质1ab1dx＝______性质2abkF（x）dx＝____________（其中k为常数）性质3ab[F1（x）±F2（x）]dx＝abF1（x）dx±abF2（x）dx性质4abF（x）dx＝acF（x）dx＋cbF（x）dx（其中acb）填一填（1）已知01F（x）dx＝2，02F（x）dx＝3，则12F（x）dx＝________．（2）计算下列定积分：①2－1x（x＋1）dx＝________．②01（ex＋2x）dx＝________．③241xdx＝________．3．微积分基本定理一般地，如果函数F（x）是区间[a，b]上的连续函数，并且F′（x）＝F（x），那么abF（x）dx＝________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼兹公式，可以把F（b）－F（a）记作________，第一章集合与常用逻辑用语高三备课组第2页共8页即abF（x）dx＝________＝______．填一填一质点运动时速度和时间的关系为V（t）＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为________．【自我校对】1．x＝ax＝bx＝ax＝b填一填：（1）0（2）π22．b－akabF（x）dx填一填：（1）1（2）92eln23．F（b）－F（a）F（x）|baF（x）|baF（b）－F（a）填一填：176提示：12（t2－t＋2）dt＝13t3－12t2＋2t21＝176．【核心要点研究】02【考点一】定积分的运算例1（1）【2012·江西卷】计算定积分1－1（x2＋Sinx）dx＝________．（2）【2013·浙江丽水】函数F（x）＝xm＋ax的导函数为F′（x）＝2x＋1，则12F（－x）dx的值等于（）A．56B．12C．23D．16【审题视点】计算abF（x）dx的关键是找到满足F′（x）＝F（x）的函数F（x），其中F（x）可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到．【解析】（1）1－1（x2＋Sinx）dx＝（13x3－coSx）1－1＝23．（2）由于F（x）＝xm＋ax的导函数为F′（x）＝2x＋1，所以F（x）＝x2＋x，于是12F（－x）dx＝12（x2－x）dx＝（13x3－12x2）21＝56．【答案】（1）23（2）A【师说点拨】（1）对被积函数，要先化简，再求积分．（2）求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．（3）对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．并注明变量的取值范围．【变式探究】计算以下积分：（1）12（2x2－1x）dx；（2）02|1－x|dx．解：（1）被积函数y＝2x2－1x的一个原函数是y＝23x3－lnx，所以12（2x2－1x）dx＝（23x3－lnx）21＝（163－ln2）－（23－ln1）＝143－ln2．（2）若1－x≥0，则x≤1，若1－x0，则x1，于是02|1－x|dx＝01（1－x）dx＋12（x－1）dx＝（x－12x2）10＋（x22－x）21＝1．第一章集合与常用逻辑用语高三备课组第3页共8页另解：∵x∈[0,2]时，y＝|1－x|，如图，关于x＝1对称，∴02|1－x|dx＝201（1－x）dx＝2（x－x22）10＝1．【考点二】定积分几何意义的应用例2若定积分m－2－x2－2xdx＝π4，则m等于（）A．－1B．0C．1D．2【审题视点】被积函数y＝－x2－2x的原函数不易直接求出，其图象与圆有关，故可用定积分的几何意义求解．【解析】根据定积分的几何意义知，定积分m－2－x2－2xdx的值，就是函数y＝－x2－2x的图象与x轴及直线x＝－2，x＝m所围成图形的面积，y＝－x2－2x是一个半径为1的半圆，其面积等于π2，而m－2－x2－2xdx＝π4，即在区间[－2，m]上该函数图象应为14的圆，于是得m＝－1．故选A．【答案】A【师说点拨】（1）当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．（2）利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．【变式探究】用定积分的几何意义求值：Sinxdx．解：由于函数y＝Sinx在区间[－π2，π2]上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，在x轴上方和下方面积相等，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0，即Sinxdx＝0．【考点三】利用定积分面积例3【2012·山东卷】设a0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a，则a＝________．【审题视点】由于x≥0，a0，所以曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积就是函数y＝x以x为积分变量在区间[0，a]上的定积分，也可以以y为积分变量在区间[0，a]上的定积分．【解析】解法一S＝0axdx＝23x|a0＝23a＝a，解得a＝94．解法二S＝∫a0（a－x）dy＝∫a0（a－y2）dy＝（ay－13y3）a0＝aa－13aa＝a，即23a＝1，所以a＝94．【答案】94【奇思妙想】本例变为“曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积”，如何求解？解：y＝x与y＝x－2以及y轴所围成的图形为如图所示的阴影部分，联立y＝xy＝x－2得交点坐标为（4,2），故所求面积为S＝04[x－（x－2）]dx＝[23x－x22－2x40＝163．【师说点拨】利用定积分求曲边梯形面积的步骤（1）画出曲线的草图．第一章集合与常用逻辑用语高三备课组第4页共8页（2）借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．（3）将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．（4）计算定积分，写出答案．【变式探究】【2013·山东潍坊模拟】由抛物线y＝x2－1，直线x＝2，y＝0所围成的图形的面积是________．答案：83解析：抛物线y＝x2－1与x轴的交点为（－1,0）和（1,0），如图，所求面积S＝12（x2－1）dx＋1－1（1－x2）dx＝（13x3－x）|21＋x－13x31－1＝83．【考点四】定积分在物理中的应用例42012年7月2日，美国费米国家加速器实验室宣布，接近发现“上帝粒子”的存在，再次把人们的目光聚集在微观世界．按万有引力定律，两质点间的吸引力F＝km1m2r2，k为常数，m1，m2分别为两质点的质量，r为两质点间的距离，若两质点起始距离为a，质点m1沿直线移动至离质点m2的距离为b处，则吸引力所做的功（ba）为________．【审题视点】本题考查的是定积分的物理意义，物体在变力F（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与F（x）相同的方向从x＝a移动到x＝b（ab），那么变力F（x）所做的功W＝abF（x）dx．【解析】W＝abF（x）dx＝abkm1m2r2dr＝km1m2·（－1）·r－1|ba＝－km1m2·r－1|ba＝km1m2（1a－1b）．【答案】km1m2（1a－1b）【师说点拨】利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．【变式探究】【2013·广州模拟】物体A以v＝3t2＋1（m/S）的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5m处，同时以v＝10t（m/S）的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t（S）为（）A．3B．4C．5D．6答案：C解析：因为物体A在t秒内行驶的路程为0t（3t2＋1）dt，物体B在t秒内行驶的路为0t10tdt，所以0t（3t2＋1－10t）dt＝（t3＋t－5t2）|t0＝t3＋t－5t2＝5⇒（t－5）（t2＋1）＝0，即t＝5．【课课精彩无限】03用定积分求平面图形面积易错点【选题·热考秀】【2012·上海高考】已知函数y＝F（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0），B（12，5），C（1,0）．函数y＝xF（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为________．【规范解答】由题意F（x）＝10x，0≤x≤12，－10x＋10，12x≤1，则xF（x）＝10x2，0≤x≤12，－10x2＋10x，12x≤1.∴xF（x）与x轴围成图形的面积为10x2dx＋（－10x2＋10x）dx第一章集合与常用逻辑用语高三备课组第5页共8页＝103x3120＋5x2－103x3112＝103×18＋5－103－54－103×18＝54．【答案】54【备考·角度说】No．1角度关键词：易错分析在解答本题时有以下几点错误（1）作图不准确，致使被积函数或积分区间错误．（2）确定被积函数的方法错误，致使被积函数错误．（3）由于导数公式掌握不熟，原函数求解错误，导致面积结果错误．No．2角度关键词：备考建议（1）熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；（2）准确确定所求面积的范围，正确选择被积函数；（3）准确确定积分的上、下限；（4）备考时题的难度不宜太大，只需熟练掌握与教材类型、难度相当的题目即可．【经典演练提能】041．【2012·湖北高考】已知二次函数y＝f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）A．2π5B．43C．32D．π2答案：B解析：由图象可知二次函数解析式为f（x）＝－x2＋1，则与x轴所围图形的面积S＝1－1（－x2＋1）dx＝－x33＋x1－1＝43．2．【2011·湖南高考】由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为（）A．12B．1C．32D．3答案：D解析：如图：S＝cosxdx＝sinxπ3－π3＝sinπ3－sin（－π3）＝3．3．计算定积分024－x2dx＝________．答案：π解析：024－x2dx表示圆x2＋y2＝22与x＝0，x＝2，y＝0围成的图形的面积．根据定积分的几何意义，得024－x2dx＝π．4．【2013·西安模拟】设f（x）＝x2，x∈[0，1]1x，x∈[1，e]（e为自然对数的底数），则0ef（x）dx的值为__