高中数学-平面向量专题

-1第一部分：平面向量的概念及线性运算一.基础知识自主学习1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向或的非零向量0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ0时，λa的方向与a的方向；当λ0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝0.λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.二.难点正本疑点清源1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．-2三．基础自测1．化简OP→－QP→＋MS→－MQ→的结果等于________．2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______．3．在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b.若点D满足BD→＝2DC→，则AD→＝________(用b、c表示)．4．如图，向量a－b等于()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e25．已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D四．题型分类深度剖析题型一平面向量的有关概念例1给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的序号是________．变式训练1判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．(1)若向量a与b同向，且|a|＝|b|，则ab；(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等题型二平面向量的线性运算例2如图，以向量OA→＝a，OB→＝b为边作▱OADB，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→，用a、b表示OM→、ON→、MN→.-3变式训练2△ABC中，AD→＝23AB→，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设AB→＝a，AC→＝b，用a、b表示向量AE→、BC→、DE→、DN→、AM→、AN→.题型三平面向量的共线问题例3设e1，e2是两个不共线向量，已知AB→＝2e1－8e2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)若BF→＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．变式训练3设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．五．思想与方法5．用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：如图所示，在△ABO中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，设OA→＝a，OB→＝b.试用a和b表示向量OM→.六．思想方法感悟提高方法与技巧1．将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如AB→∥CD→且AB与CD不共线，则AB∥CD；若AB→∥BC→，则A、B、C三点共线．失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．-4七．课后练习1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为()A．1B．2C．3D．42．若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：AB＋CD→＝BC＋DA→；②AC＋BD→=ADBC；③AC－BD→＝DC→+AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个3.已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足CBAC2=0，则OC等于()A.OA2－OB→B.OA＋2OB→C.OA32－13OB→D.OA31＋23OB→4.如图所示，在△ABC中，BD＝12DC→，AE→＝3ED→，若AB＝a，AC＝b，则BE→等于()A.13a＋13bB．－12a＋14bC.12a＋14bD．－13a＋13b5.在四边形ABCD中，AB＝a＋2b,BC＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对6.AB＝8，AC＝5，则BC的取值范围是__________．7．给出下列命题：①向量AB的长度与向量BA→的长度与向量BA→的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD→与向量CD→是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．其中不正确的个数为____________．8.如图，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N.若AB＝mAM→，AC＝nAN→，则m＋n的值为________．9．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.10.在正六边形ABCDEF中，AB＝a，AF→＝b，求ADAC,，AE→.11.如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．12.已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点.（1）求GA＋GB→＋GO→；(2)若PQ过△ABO的重心G,且AO＝a,OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求证：1m＋1n＝3.-5第二部分：平面向量的基本定理及坐标表示一．基础知识自主学习1．两个向量的夹角定义范围已知两个向量a，b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)向量夹角θ的范围是,当θ＝时,两向量共线，当θ＝时，两向量垂直，记作a⊥b.2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数λ1，λ2，使a＝.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组．(2)平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解．(3)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，把有序数对叫做向量a的坐标，记作a＝，其中叫做a在x轴上的坐标，叫做a在y轴上的坐标．②设OA→＝xi＋yj，则向量OA→的坐标(x，y)就是的坐标，即若OA→＝(x，y)，则A点坐标为，反之亦成立．(O是坐标原点)3．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝，|AB→|＝.4．平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔.二．难点正本疑点清源1．基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝OA→＝(x，y)．当平面向量OA→平行移动到O1A1→时，向量不变即O1A1→＝OA→＝(x，y),但O1A1→的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．-6三．基础自测1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与b平行，则k＝________.3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d＝____________.4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC→＝2AD→，则顶点D的坐标为()A.2，72B.2，－12C．(3,2)D．(1,3)5．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()A．平行于y轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于x轴D．平行于第二、四象限的角平分线四．题型分类深度剖析题型一平面向量基本定理的应用例1如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM→＝c，AN→＝d，试用c，d表示AB→，AD→.变式训练1如图，P是△ABC内一点，且满足条件AP→＋2BP→＋3CP→＝0，设Q为CP的延长线与AB的交点，令CP→＝p，试用p表示CQ→.题型二向量坐标的基本运算例2已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量MN→的坐标．-7变式训练2(1)已知点A、B、C的坐标分别为A(2，－4)、B(0，6)、C(－8,10)，求向量AB→＋2BC→－12AC→的坐标；(2)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求：①3a＋4b；②a－3b；③12a－14b.题型三平行向量的坐标运算例3平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d.变式训练3已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)求|a＋3b|；(2)