第十五章多元函数的极限与连续性§1平面点集

第十五章多元函数的极限与连续性§1平面点集1．设,nnnPxy是平面点列，000,Pxy是平面上的点.证明0limnnPP的充要条件是0limnnxx，且0limnnyy.2．设平面点列nP收敛，证明nP有界.3．判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点：(1)2,|Exyyx；(2)22,|1Exyxy；(3),|0Exyxy；(4),|0Exyxy；(5),|02,222Exyyyxy；(6)1,|sin,0Exyyxx；(7)22,|10,01Exyxyyx或；(8),|,Exyxy均为整数.4．设F是闭集，G是开集，证明\FG是闭集，\GF是开集.5．证明开集的余集是闭集.6．设E是平面点集.证明0P是E的聚点的充要条件是E中存在点列nP，满足01,2,nPPn且0limnnPP.7．用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理.8．用致密性定理证明柯西收敛原理.9．设E是平面点集，如果集合E的任一覆盖都有有限子覆盖，则称E是紧集.证明紧集是有界闭集.10．设E是平面上的有界闭集，dE是E的直径，即',''sup',''PPEdErPP.求证：存在12,PPE，使得12,rPPdE.11．仿照平面点集，叙述n维欧氏空间中点集的有关概念(如邻域、极限、开集、聚点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等).12．叙述并证明三维空间的波尔察诺－魏尔斯特拉斯致密性定理.§2多元函数的极限与连续性1．叙述下列定义：(1)00lim,xxyyfxy；(2)lim,xyfxyA；(3)lim,xayfxyA；(4)lim,xayfxy.2．求下列极限（包括非正常极限）：(1)2200limxyxyxy；(2)332200sinlimxyxyxy；(3)222200lim11xyxyxy；(4)22001limsinxyxyxy；(5)222200limlnxyxyxy；(6)00limcossinxyxyeexy；(7)3224200limxyxyxy；(8)02sinlimxyxyx；(9)2210lnlimyxyxexy；(10)121lim2xyxy；(11)44001limxyxyxy；(12)2222001limxyxyxy；(13)22limxyxyxye；(14)222limxxyxyxy.3．讨论下列函数在0,0点的全面极限和两个累次极限：(1)222,xfxyxy；(2)11,sinsinfxyxyxy；(3),sinxyeefxyxy；(4)22222,xyfxyxyxy；(5)332,xyfxyxy；(6)2233,xyfxyxy；(7)422322232,xxyxyfxyxy；(8)44324,xyfxyxy.4．叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理.5．叙述并证明00lim,xxyyfxy存在的柯西收敛准则.6．试作出函数,fxy，使当00,,xyxy时，(1)全面极限和两个累次极限都不存在；(2)全面极限不存在，两个累次极限存在但不相等；(3)全面极限和两个累次极限都存在.7．讨论下列函数的连续范围：(1)221,fxyxy；(2)1,sinsinfxyxy；(3),fxyxy；(4)33,xyfxyxy；(5)sin,0,,0,0;xyyfxyyy(6)222222sin,0,,0,0;xyxyfxyxyxy(7)0,,,xfxyyx为无理数为有理数；(8)2222222ln,0,,0,0;yxyxyfxyxy(9)222222,0,,(0)0,0,pxxyxyfxypxy.8．若,fxy在某区域G内对变量x连续，对变量y满足利普希茨条件，即对任意,'xyG和,''xyG，有,','''''fxyfxyLyy，其中L为常数，求证,fxy在G内连续.9．证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理.10．设二元函数,fxy在全平面上连续，22lim,xyfxyA，求证：(1),fxy在全平面有界；(2),fxy在全平面一致连续.11．证明：若,fxy分别对每一变量x和y是连续的，并且对其中的一个是单调的，则,fxy是二元连续函数.12．证明：若E是有界闭域，,fxy是E上的连续函数，则fE是闭区间.