第十八章动态优化模型

变分法简介变分法是研究泛函极值的一种经典数学方法，有着广泛的应用。这里，根据以下列举的控制问题的建模需要，先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。一、变分法的基本概念1．容许函数集满足条件（1）)(tx在],[0ftt上逐段连续可导；（2）满足边界条件ffxtxxtx)(,)(00的一切函数)(tx构成容许函数集。适合不等式)(|)()(|00fttttxtx的容许函数集，称为函数)(0tx的领域。2．泛函概念通俗地说，泛函就是“函数的函数”。设S为一个容许函数集，若对于每一个函数Stx)(都有一个实数J与之对应，则称J是定义在S上的泛函，记为)]([txJ。例如，函数的定积分10)()]([dttxtxJ是一个泛函。同样可定义n元泛函的概念，常记为)](,),(),([21txtxtxJn。3．泛函的连续性如果对任意给定的正数，存在正数，当|)()(|,,|)()(|,|)()(|)(0)(00txtxtxtxtxtxkk时，能使|)]([)]([|0txJtxJ则称泛函)]([txJ在)(0tx处是k阶接近的连续泛函。4．泛函的变分泛函的变分与函数的微分概念类似。设)(tx在)(0tx处的增量记为)()()(0txtxtx，如果泛函)]([txJ在)(0tx处的增量)]([)]()([00txJtxtxJJ可表示为)](),([)]()([00txtxRtxtxLJ。其中：L是)(tx的线性函数，R是)(tx的高阶项（当0x时，0R），则)](),([0txtxL称为泛函)]([txJ在0x处的变分，记为)](),([)]([00txtxLtxJ这时，也称泛函)]([txJ在)(0tx处可微。计算泛函的变分，采用下面定理1给出的变分形式是方便的。定理1如果泛函)]([txJ可微，则其变分可表示为0)]()([)]([txtxJtxJ。证由L对x的线性性质，有)](),([)](),([txtxLtxtxL，于是JxxLxxRxxLxJxxJtxtxJ],[],[](lim][](lim)]()([000同样，对n元泛函的变分为0221],,,[nnxxxxxxJJ5、泛函的极值函数的极值，是相对局部领域而言的。可微泛函)]([txJ在)(0tx处有极值的必要条件是0)]([0gxJ；n元泛函在),,,(02010nxxx处有极值的必要条件是0],,,[02010nxxxJ。6．变分法的基本引理为了进一步研究科学家函极值的必要条件，需要引用如下引理。引理设)(tM在],[0ftt内连续，若对满足0)()(0ftt的)(t在],[0ftt内具有连续二阶导数，且使fttdtttM00)()(。则在],[0ftt内，0)(tM。（用反证法容易证明，略）。二、无约束条件的泛函极值求泛函fttdtttxtxFJ0]),(),([（1）的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线)(tx，使给定的二阶连续可微函数F沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线（或轨线），记为)(tx。1．端点固定的情况设容许曲线)(tx满足边界条件ffxtxxtx)(,)(00，且二次可微。首先计算（1）式的变分：ffttxxttdtxtxxFxtxxFdttxxxxFtxtxJJ00]),,(),,([],,[)]()([00（2）对上式右端第二项做分布积分，并利用0)()(0ftxtx，有dtxtxxFdtddtxtxxFffttxttx),,(),,(00再代回到（2）式，并利用泛函取极值的必要条件，有0][0fttxxxdtFdtdFJ。因为x的任意性，及0)()(0ftxtx，所以由基本引理得到著名的欧拉方程0xxFdtdF（3）它是这类最简泛函取极值的必要条件。最简泛函取极值的必要条件可以推广到多元泛函的情况，如二元泛函fttdttuuxxFtutxJ0);,;,()](),([取极值的必要条件——欧拉方程为00uuxxFdtdFFdtdF（4）2．端点变动的情况（横截条件）设容许曲线)(tx在0t固定，在另一端点ftt时不固定，是沿着给定的曲线)(tx上变动。于是端点条件表示为)()()(00ttxxtx这里，t是变动的，不妨用参数形式表示为ffdttt。寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定发问进行推导，即有dtttfdttxxxxFJ00|],,[0dtttdtttfffxxfffdtdttxxxxFdtxFxF0)(00|),,(|)(fffttfttttxxxdtFxFxdtFdtdF0||)(（5）再对（5）式做如下分析：（1）对每一个固定的ft，)(tx都满足欧拉方程，即（5）式右端的第一项积分为零；（2）为考察（5）式的第二、第三项，建立ft与)(ftx之间的关系，因为)()()(ffffffdttdttxdttx两端对求导，并令0，有fffffdtttxdttx)()()(即ffffdttxttx)]()([)(（6）于是，（5）式变为0])([fttxdtFxFf由fdt的任意性，便得横截条件为0])([fttxFxF（7）横截条件（7）式有两种常见的特殊情况：①当)(tx是垂直横轴的直线时，ft固定，)(ftx自由，并称)(ftx自由端点。此时（5）式中0fdt及)(ftx的任意性，便得自由端点的横截条件0|fttxF（8）②当)(tx是平行x轴的直线时，ft自由，)(ftx固定，并称)(ftx为平动端点。此时，0)(t（7）式的横截条件变为0|fttxFxF（9）注意，横堆条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。三、有约束条件的泛函极值在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统]),(),([)(ttutxftx（10）寻找最优性能指标（目标函数）fttffdtttutxFttxtuJ0]),(),([]),([)]([，（11）其中：)(tu是控制策略，)(tx是轨线，0t固定，ft及)(ftx自由，mnRtuRtx)(,)(（不受限，充满值曲线mR空间），Ff,,连续可微。问题的提法是：求最优控制)(tu使泛函)]([txJ在条件（10）式下达到极值，并求极值曲线)(tx。下面推导取得目标函数极值的最优控制策略)(tu和最优轨线)(tx的必要条件。采用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑fttTffdtxtuxfttuxFttxuxJ0]}),,()[(),,({]),([],,[1（12）的无条件极值，首先定义（10）式和（11）式的哈密顿函数为),,(),,(),,,(tuxftuxFtuxHT，（13）将其代入（12）式，得到泛函fttTffdtxtuxHttxtuxJ0]),,,([]),([],,[1。（14）下面先对其求变分]),()([{1ffffdtttxtxJ0|})]()(),,,([0dtxxtuuxxHTdtttfffffttTTfttTftfTftxTfxdttuxHdtdttx|)()(|),,,()()()]([)(fffffffttuTTxTttxTfttftTfttTffTTTuTttxTftxTfttftTfTTTuTttxTdtHuxHHxtxtuxFdtdtxtxtdtxHHuHxtxtuxFdtdtxxHHuHx0000)(][)(][)(][)]([]|),,,([)()()()(])()()()[()]([]|),,,([)(])()()()[(再令01J，由,,),(,uxtxdtff的任意性，便得（1）x，必满足正则方程：①状态方程),,(tuxfHx，②协态方程xH。（2）哈密顿函数),,,(tuxH作为u的函数，也必满足0uH，并由此方程求得u。（3）求x，，u时，必利用边界条件①00)(xtx，（用于确定x）②)()(ftxft（用于确定）③tfttftuxF|),,,(（确定ft）。四、最大值原理如果受控系统为),,(tuxfx00)(xtx。其控制策略)(tu的全体构成有界集U，求Utu)(，使性能指标fttffdttuxFttxtuJ0),,(]),([)]([达到最大（小）值。最大（小）值原理：如果]),([),,,(ffttxtuxf和),,(tuxF都是连续可微的，那么最优控制策略)(tu和相应的最优轨线)(tx由下列的必要条件决定：（1）最优轨线)(tx，协态向量)(t满足正则方程),,(tuxfdtdx，Utu)(xHdtd。（2）哈密顿密数),,(),,(),,,(tuxftuxFtuxHT作为)(tu的函数，最优策略)(tu必须使),,(max),,,(,,tUuuxHtuxH或使),,,(min),,,(tuxHtuxHUu。（3）满足相应的边界条件：①若两端点固定，则正则方程的边界条件为,)0(0xxffxtx)(。②若始端固定，终端ft也固定，而)(ftx自由，则正则方程的边界条件为]),([)(,)0()(0fftfxfttxtxx。③若始端固定，终端ft，)(ftx都自由，则正则方程的边界条件为]),([)(,)0()(0fftxfttxtxxf，0]),([)]),(),(),([fftffffttxtttutxHf。