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第10章第6节一、选择题1.(2010·河南南阳市调研)现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学,其中A,B两所希望小学每个学校至少两台,其它小学允许1台没有,则不同的分配方案共有()A.12种B.15种C.20种D.30种[答案]B[解析]分类“42000”型共两种方案,“33000”型共有1种方案,“32100”型共有6种方案,“22200”型共有3种方案,“22110”型共有3种方案,故共有15种不同的分配方案.2.(2010·南昌市模考)某同学要出国学习,行前和六名要好的同学站成一排照纪念照,该同学必须站在正中间,并且甲、乙同学要站在一起,则不同的站法有()A.240种B.192种C.96种D.48种[答案]B[解析]甲、乙两名同学都站在该同学的左边或右边,故共有站法:2×A22·C41·A22·A33=192种.3.(2010·绵阳市模拟)某地为上海“世博会”招募了20名志愿者,他们的编号分别是1号、2号、…,19号、20号.若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个编号较大的在另一组.那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是()A.16B.21C.24D.90[答案]B[解析]由题意知5号和14号在所选4人中,且在同一组,故再从其余志愿者中选2人,如果5号和14号是编号较大的一组,则另二人只能从编号为1至4号的志愿者中选取,有C42种方法;如果5号和14号是编号较小的一组,则另二人只能从15至20号中选,有C62种选法,∴不同选法共有C42+C62=21种.4.现有5位同学准备一起做一项游戏,他们的身高各不相同.现在要从他们5个人当中选择出若干人组成A,B两个小组,每个小组都至少有1人,并且要求B组中最矮的那个同学的身高大于A组中最高的那个同学的身高.则不同的选法共有()A.50种B.49种C.48种D.47种[答案]B[解析]解法1:给5位同学按身高的不同由矮到高分别编号为1,2,3,4,5,组成集合M={1,2,3,4,5}.①若小组A中最高者为1,则符合要求的小组B是{2,3,4,5}的非空子集,这样的子集有C41+C42+C43+C44个=24-1=15个,所以此时不同的选法有15种;②若A中最高者为2,则这样的小组A有2个:{2}、{1,2},则与小组A的每一种情况对应的符合要求的小组B都是{3,4,5}的非空子集,这样的子集有23-1=7个,所以此时不同的选法有2×7=14种;③若A中最高者为3,同理可得此时符合要求的不同的选法有4×3=12种;④若A中最高者为4,此时符合要求的不同的选法有8种.综上,所有不同的选法有15+14+12+8=49种,故选B.解法2:各组中可以是1人,2人,3人,4人,可以①从5人中选2人,一组一个人,有C52种;②从5人中选3人,一个组1人,另一组2人,有2C53种;③从5人中选4人,一个组1人,另一组3人或每组2人,有3C54种;④5个人全参加一个组1人,另一组4人或一个组2人,另一组3人,共4C55种,∴共有不同分组方法C52+2C53+3C54+4C55=49种.5.(2010·山东肥城联考)有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球,从中取出4个,则取出的球的编号互不相同的概率为()A.521B.27C.13D.821[答案]D[解析]从10个球中取出4个,不同的取法有C104=210种.如果要求取出的球的编号各不相同,可以先从5个编号中选取4个编号,有C54种选法.对于每一个编号,再选择球,有两种颜色可供挑选,所以取出的球的编号互不相同的取法有C54·24=80种.因此,取出的球的编号各不相同的概率为80210=821.故选D.[点评]解题时要注意抓主要矛盾来解决,本题中“取出球的编号互不相同”是要点,对颜色无特别要求,哪一色都可以.6.(2010·天津理)如图,用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有()A.288种B.264种C.240种D.168种[答案]B[解析]当涂四色时,先排A、E、D为A43,再从B、F、C三点选一个涂第四种颜色,如B,再F,若F与C同色,则涂C有2种方法,若F与C异色则只有一种方法,故A43A31(2+1)=216种.当涂三色时,先排A、E、D为C43A33,再排B有2种,F、C各为一种,故C43A33×2=48,故共有216+48=264种,故选B.7.身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿红色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有()A.48种B.72种C.78种D.84种[答案]A[解析]解法一:两种穿相同颜色衣服的人相邻的排法有A33A22A22=24种,只有一种穿相同颜色衣服的人相邻的排法有2(A44A22-24)=48,则穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法有A55-24-48=48,故选A.解法二:按穿兰衣服的两人站位分有以下6类:对于①②⑤⑥排上穿黄衣服的两人都只有两类方法.第③类中排上穿黄衣服的两人只有一类方法.第④类中排上穿黄衣服的两人有三类方法.对于上述每一类安排方法,五人的不同站法共有A22A22=4种,∴共有不同排法(4×2+1+3)×4=48种.8.(2010·江西宜春中学)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是()A.12B.28C.36D.48[答案]B[解析]当0夹在两位奇数之间时,有A22·A33=12种;当2或4夹在奇数之间时有C21·A22·A21A22=16种,∴共有12+16=28种.9.(2010·四川双流县模考)在某次数学测验中,学号为i(i=1,2,3,4)的四位同学的考试成绩f(i)∈{90,91,92,93,94},且满足f(1)f(2)f(3)f(4),则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为()A.15种B.10种C.5种D.9种[答案]C[解析]由条件f(1)f(2)f(3)f(4)知,对于任意4个成绩,只有一种可能情况,故所有可能情况为从5个成绩中,任意取出4个成绩的所有可能取法,∴共有C54=5种.10.(2010·云南省统考)现将5名学生分成两个小组,其中甲、乙两人必须在同一个小组里,那么不同的分配方法有()A.7种B.6种C.5种D.4种[答案]A[解析]将甲、乙两人看作一个人,则问题为4人分两组,一种情形是每组2人,有12C42=3种方法,一种情况是一个组1人,另一个组3人,有C41=4种方法,∴共有不同方法3+4=7种.[点评]将甲、乙两人看作一个整体考虑时,两个人在解题中可视作一个人处理,或者这两个人只留甲分组完成后,再把乙放进有甲的小组里亦可.二、填空题11.(2010·哈三中)现有五种股票和三种基金,欲购买其中任意三种,至少有一种基金的概率为________.[答案]2328[解析]从8种中任取3种有C83种方法,不含基金的取法有C53种,∴所求概率为P=C83-C53C83=2328.12.(2010·南充市)从数字1、2、3、4、5中随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,则其各位数字之和等于9的概率为________.[答案]19125[解析]所有三位数共53=125个,其各位数字之和为9的情形有:①三个数字都相同,只能是3,一种;②有两个数字相同,两个2,一个5或两个4,一个1,共有3×2=6种;③三个数字互不相同,∵1+3+5=2+3+4=9,有2×=12种,∴所求概率P=1+6+12125=19125.13.(2010·湖北理,8)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其它三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是________.[答案]126[解析]先安排司机:若有一人为司机,则共有C31C42A33=108中方法,若司机有两人,此时共有C32A33=18种方法,故共有126种不同的安排方案.14.(2010·重庆中学)有红、黄、蓝三种颜色的小球各5个,都分别标有字母A、B、C、D、E,现取出5个,要求字母各不相同且三种颜色齐备,则有________种取法(用数字做答).[答案]150[解析]第一类:一种颜色3个,另两色各1个,有C31·C53·C21=60种取法;第二类:两种颜色各2个,另一色1个,有C32·C52·C32=90种取法.∴共有取法60+90=150种.[点评]要紧紧抓住“字母各不相同”和“三种颜色齐备”来解题.三、解答题15.(2010·重庆一中)为配合即将开幕的2010年上海世博会,某大学拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队,经过初选,2名男同学,4名女同学成为了候选人,每位候选人当选正式队员的机会是相等的.(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率.(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率.[解析]从2男4女共6名同学中选取4人,不同选法共有C64=15种,(1)恰有1名男同学当选的情况有C21·C43=8种,∴所求概率P=815.(2)当选的4名同学中至少有3名女同学的情况有C43C21+C44=9种,∴所求概率P=915=35.16.(2010·南充市)袋里装有30个球,球面上分别记有1到30的一个号码,设号码为n的球重量为n23-4n+443(克).这些球以等可能性(不受重量、号码的影响)从袋里取出.(1)如果任意取出1球,求其重量值大于号码数的概率.(2)如果同时任意取2球,试求他们重量相同的概率.[解析](1)由n23-4n+443n⇒n2-15n+440可解得n4或n11由题意知n=1,2,3或n=12,13,…,30,共22个值,所以所求概率为P1=2230=1115.(2)设第m号和第n号的两个球的重量相等,其中mn,当m23-4m+443=n23-4n+443时,可以得到m+n=12,则(m,n)有(1,11),(2,10),…,(5,7),共5种情况.所以所求概率为P2=5C302=187.17.2009年10月1日,为庆祝中华人民共和国成立60周年,来自北京大学和清华大学的共计6名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务,且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是35.(1)求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人;(2)求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率;(3)设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数,求ζ分布列及期望.[解析](1)记“至少一名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A,则A的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”,设有北京大学志愿者x个,1≤x6,那么P(A)=1-C6-x2C62=35,解得x=2,即来自北京大学的志愿者有2人,来自清华大学志愿者4人.(2)记清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各有一人为事件E,那么P(E)=C21C41C62=815,所以清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各一人的概率是815.(3)ξ的所有可能值为0,1,2,P(ξ=0)=C42C62=25,P(ξ=1)=C21C41C62=815,P(ξ=2)=C22C62=115,所以ξ的分布列为ξ012P25815115E(ξ)=0×25+1×815+2×115=23.
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