第十章曲线积分与曲面积分练习题

第十章曲线积分与曲面积分§10.1对弧长曲线的积分一、判断题1．若f(x)在（-,）内连续，则badxxf)(也是对弧长的曲线积分。（）2．设曲线L的方程为x=)(y在[,]上连续可导则Ldyyyyfdsyxf2)]([1)),((),(（）二、填空题1.将Ldsyx)(22，其中L为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)()20t化为定积分的结果是。2.Ldsyx)(=，其中L为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段。三、选择题1．Ldsyx)(22=（），其中L为圆周122yx（A）02d（B）20d（C）202dr（D）202d2．Lxds=（），L为抛物线2xy上10x的弧段。（A）)155(121（B）)155(（C）121（D）)155(81四、计算Cdsyx)(，其中C为连接点（0，0）、（1，0）、（0，1）的闭折线。五、计算Ldszyx)2(22，其中L为02222zyxRzyx六、计算Lndsyx)(22，L为上半圆周：)(222NnRyx七、计算Lyxdse22，其中L为圆周222ayx，直线y=x和y=0在第一象限内围成扇形的边界。八、求半径为a，中心角为2的均匀圆弧（=1）的重心。§10.2对坐标的曲线积分一、判断题1．定积分也是对坐标的曲线积分。（）2．022Lyxydxxdy，其中L为圆周122yx按逆时针方向转一周。（）二、填空题1．ydzxdyydxx2233=，其中是从点A（1，2，3）到点B（0，0，0）的直线段AB。2．化LdyyxQdxyxP),(),(为对弧长的曲线积分结果是其中L为沿xy从点（0，0）到（1，1）的一段。三、选择题1．设曲线L是由A（a,0）到O（0，0）的上半圆周axyx22，则Lxxdymyedxmyye)cos()sin(（）（A）0（B）22am（C）82am（D）42am2．设L为20,sin,costtytx，方向按t增大的方向，则Ldxxyydyx22=（）（A）20)cossinsin(cosdttttt（B）20]cos2sinsinsin2sincos[dttttttt（C）2021dt（D）2022)sin(cosdttt四、计算I=AOxydydxyx)(22，其中O为坐标原点，A的坐标为（1，1）1．OA为直线段y=x2.OA为抛物线段2xy3．OA为y=0,x=1构成的折线段。4.OA为x=0,y=1的折线段。五、计算ydxxdyxyL22，L是从A（1，0）沿21xy到B（-1，0）的圆弧。六、计算Lxydx，L为圆周axyx222（a0）取逆时针方向。七、设方向依oy轴负方向，且大小等于作用点的横坐标平方的力构成一力场，求质量为m的质点沿抛物线21yx，从点A（1，0）移到B（0，1）时力场所做的功。九、把xdyydxxL2（L为3xy上从A（-1，-1）到B（1，1）的弧段）化为对弧长的曲线积分。§10.3格林公式及其应用一、判断题1．闭区域D的边界按逆时针即为正向。（）2．设P、Q在闭区域D上满足格林公式的条件，L是D的外正向边界曲线，则LDQdyPdxdxdyyPxQ)(（）3．对单一积分LPdx或LQdy不能用格林公式。（）4.设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,P(x,y),Q(x,y)上有一阶连续偏导数，则（a）dxdyyQxPQdyPdxLD)(()(b)dxdyyQxPdxyxPQdyLD)(),(()(c)dxdyxudyyxQLD),(()二、填空题1．设C是圆周922yx的正向，则Cyxdxyxdyyx224)()4(2．设f(u)在,(）上连续可导，沿连接点A（3，32）和B（1，2）的直线段AB的曲线积分dyyyxfyxdxyyxfyAB222)1),((),(1=3．设有二元函数u(x,y),已知u(1,1)=0,且du=(2xcosy-ysinx)dx+(2ycosx-xsiny)dy,则=且u(x,y)=4设是由点（1，1，1）到点（2，3，3）的直线段，则zyxzyxzdzydyxdx4222=三、选择题1．设函数f(x)连续（x0），对x0的任意闭曲线C有Cdyxxfydxx0)(43且f(1)=2,则f(x)=()(A)242412423xxx(B)rxexxx10242412423(C)x3(D)xx132.设F(x,y)可微，如果曲线积分CydyxdxyxF))(,(与路径无关，则F(x,y)应满足（）（A）),(),(yxxFyxyFxy（B）),(),(yxFyxFxy（C）),(),(yxxFyxyFxxyy（D）),(),(yxyFyxxFxy2.设函数f(x)连续可微且f(0)=-2,曲线积分Cdyxfdxxxyfxy)()tan)(2sin(与路径无关，则f(x)=（）（A）xxcos34cos322（B）x2cos2（C）-2cosx（D）xxcos34cos323.曲线积分dyyyxxdxyyxxC22222()(在不与X轴相交的区域上与路径无关，则=（）（A）21（B）21（C）任意值（D）04如果2222222)()2()2(yxdybxxyxdxaxxyy是某一函数u(x,y)的二阶微分，则a、b满足条件u(1,1)=0的u(x,y)为（）（A）a=1,b=-1,u(x,y)=22yxyx(B)a=-1,b=1,u(x,y)=22yxyx(B)a=-1,b=-1,u(x,y)=222)(yxyx(D)a=-1,b=-1,u(x,y)=22yxyx5.L是圆域D：xyx222的正向圆周，则dyyxdxyx)()(33（）（A）2（B）0（C）23（D）2四、求变力}2,3{xyyxF将质点沿椭圆4422yx的正向转动一周所做的功。五、利用格林公式计算。1．CdyxydxxyC,22为正向圆周222Ryx2．dymyedxmyyexx)cos()sin(L为点A（a,0）到点（0，0）的上半圆周)0(22aaxyx六、计算CyxydxxdyI22，C为正向圆周)1(222RRyx七、验证曲线积分)3,2()0,0(22)sincos2()sincos2(dyyxyydxxyyx与路径无关，并求其值。八、选取n，使nyxdyyxdxyx)()()(22在XOY平面上除去X的负半轴和原点以外的开区域G内的某个函数u(x,y)的全微分，并求u(x,y).§10.4对面积的曲面积分一、判断1．二重积分也可看成是在平面片D上的第一类曲面积分。（）2．设连续曲面片DyxyxfZ),(),,(:，则的面积为A=dxdyffdsDyx22)()(1，这与用二重积分求面积不一样。（）二、填空题1．设是圆锥面22yxZ被圆柱面axyx222所截的下部分，则dszxyzxy)(=2．设是球面：azzyx2222，则曲面积分dszyx)(222=三、选择题1．设为222yxZ在XY平面上方的曲面，则ds=（）（A）2010241rdrrd（B）2020241rdrrd（C）20202241)2(rdrrrd（D）2020241rdrrd2．设有一分布非均匀的曲面，其面密度为),,(zyx，则曲面对X轴的转动惯量为（）（A）xds（B）dszyxx),,(（C）dsx2（D）dszyxzy),,)((223．设为球面2222Rzyx，则=（）（A）24R（B）545R（C）24R（D）R4四、计算下列第一型曲面积分。]1．dsyxz)342(，其中为平面1432zyx在第一卦限的部分。2．dszyx)(，为球面2222Rzyx上（)0ahhz且的部分。3．dszyx2221，是柱面222Ryx于平面Z=0和Z=h(h0)之间的部分。4．dsyx)(22，为锥面22yxZ与平面Z=1所围成的区域的边界曲面。五、求球面22yxzZ在柱面axyx22内部的表面积。六、求旋转抛物面222yxZ被平面Z=2所截的部分的质心坐标，假设其上各点的面密度为该点到Z轴的距离的平方。§10.5对坐标的曲面积分一、判断题1．设为2222Rzyx在第一卦限部分，则的面积为A=zxyzDzxDxyDzyyxdzdxyydydzxxdxdyzz]111[31222222其中zxyzxyDDD,,分别为在各坐标面上投影区域。（）2．因为3cosdsdsxxdydx，（为x+y+z=1上侧），所以xdxdy为第一类曲线积分。3．334azdxdy，为2222azyx的外侧。（）二、填空题1．ydzdxxdydzzdxdy=，为柱面222ayx被平面Z=1和Z=4所截得的在第一卦限内的部分。2．设为平面3x+2y+32z=6在第一卦限的部分的上侧，将QdzdxPdydzRdxdy化为对面积的曲面积分的结果为。三、选择题1．设流速场}1,0,0{v，则流过球面2222azyx的流量值=（）（A）0（B）24R（C）334R（D）12．设曲面为Z=0，1,1yx，方向向下，D为平面区域：1,1yx，则dxdy=（）（A）1（B）dxdy（C）-dxdy（D）03．设为Z=0（222Ryx）的上，则dxdyyx)(22=（）（A）42222RdxdyRRyx（B）42222RdxdyRRyx（D）242003RdrrdR（D）0四、计算下列第二型曲面积分。1．xdydzzdxdy，是平面x+y+z=2在第一卦限部分的外侧。2．zdxdyydzdxxdydzyzx222)(,柱面122yx被平面z=1和z=0所截得部分的外侧。3．dxdyyxeZ22，为锥面22yxZ平面z=1和z=2所围成的立体表面的外侧。五、求流速场kyixv2穿过曲面22yxz与平面z=1所围成的立体表面的流量。六、已知f(x,y,z)连续，是平面x+y+z=1在第四卦限部分的外侧，计算dxdyzzyxfdxdzyzyxfdydzxzyxf]),,([]),,(2[]),,([§10.6高斯公式与斯托克斯公式散度与旋度一、断题1．设是球面2222Rzyx的外侧，.,为法矢的方向角。V是所围成的立体，则dszyx)coscoscos(333=52224)333(Rdvzyxv（）2．空间立体的体积V=][31zdxdyydzdxxdydz这是为的边界曲面之外侧。（）3．梯度和旋度为Z，散度是向量。（）二、填空题1设空间区域是由曲面222yxaz与平面z=0围成，其中a为正整数，记的表面外侧为s，的体积为v，则dxdyxyzzdxdzxydydzyzxS)1(222。2设RxzjxyieAxy)cos()c