第四单元三角形

第四单元三角形第一节几何初步及平行线、相交线一、三种基本图形----直线、射线、线段直线公理：经过两点有且只有一条直线线段公理：两点之间，线段最短。两点间的距离：连结两点间线段的长度，就叫做这两点之间的距离。二、角1、角的定义（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。（2）一条射线绕着它的定点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角。2、角的分类角按照大小可以分为平角、周角、锐角、直角、钝角。3、角的比较方法（1）叠合法。（2）度量法4、角平分线一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。[总结]有公共端点的n条射线（两条射线的最大夹角小于平角），则存在个角。三、互为余角、互为补角互为余角：如∠1和∠2互为余角，那么∠1+∠2=90度。互为补角：如∠1和∠2互为补角，那么∠1+∠2=180度。性质：（1）同角或等角的余角相等。（2）同角或等角的补角相等。（3）一个角的补角比这个角的余角大90度。四、对顶角1、邻补角：有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。2、对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。3、对顶角的性质：对顶角相等五、“三线八角”的概念两条直线（a与b）被第三条直线（l)所截，构成八个角，简称三线八角同位角：如果两个角在截线l的同侧，且在被截直线a\b的同一方向叫做同位角（位置相同）内错角：如果两个角在截线l的两旁（交错），在被截直线a、b之间（内）叫做内错角（位置在内且交错）同旁内角：如果两个角在截线l的同侧，在被截直线a、b之间（内）叫做同旁内角六、平行1、平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。2、平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。[注意]如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。3、平行线的判定方法：（1）同位角相等，两直线平行，（2）内错角相等，两直线平行（3）同旁内角互补，两直线平行4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补七、垂直1、垂直定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。[注意]（1）两条直线垂直是两直线相交的特殊情况，特殊在它们所交的角是直角。（2）线段与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，都是指它们所在的直线互相垂直。2、垂直的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。3、点到直线的距离：过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足之间的线段叫做垂线段，它的长度叫做点到直线的距离。4、在直线外各点与直线上各点的连线中，垂线段最短。第二节三角形一、三角形的概念及其基本元素1、由不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形是三角形。2、三角形有三条边，三个顶点，三个内角。二、三角形的分类1、按角分：三直角三角形角斜三角形锐角三角形形钝角三角形2、按边分：三不等边三角形角等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形形等边三角形三、三角形中德重要线段在三角形中，最重要的三种线段是三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高。[注意]（1）三角形的三条中线的交点在三角形的内部。（2）三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部。（3）锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高的交点是直角顶点；钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部。四、三角形的中位线定义：连结三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。[注意]（1）一个三角形有三条中位线（2）三角形的中位线分得三角形两部分的面积比为1：3.五、三角形三边的关系1、三角形任意两边的和大于第三边。2、三角形任意两边的差小于第三边。[注意]运用“三角形中任意两边的和大于第三边”可以判断三条线段能否组成三角形，也可以由已知两边判断第三边的取值范围。六、三角形的内角和定理及推论定理：三角形的内角和等于180度。推论：（1）三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。（2）三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角。（3）当有一个角是90度时，其余的两个角互余[总结]任意三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角。第三节全等三角形一、全等图形及全等三角形1、能够完全重合的两个图形称为全等形，全等图形的形状和大小都相同。2、能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。[注意]完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等。二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等。2、全等三角形的对应角相等。3、全等三角形的对应边上的高相等。4、全等三角形的对应边上的中线相等5、全等三角形的对应角的平分线相等三、三角形全等的判定方法1、三条边对应相等的两个三角形全等（Sss）2、两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）3、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）4、两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）[辨析]判定三角形全等，无论用哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中至少要有一组对应边相等。[注意]三角形具有稳定性实际就是利用的SSS。四、尺规作图1、在几何里把限定用直尺（无刻度）和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称基本作图。2、基本作图包括：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；平分已知角；经过一点作已知直线的垂线；作线段的垂直平分线；经过直线外一点作已知直线的平行线。[注意]这几种基本作图都可以用一句规范的语句来写成“作法”，在以后的综合作图中，涉及这六种基本作图可以按以下写法（不必再重复基本作图的过程）：（1）作线段××=××。（2）作∠×××=∠×××（3）作∠×××的平分线××（4）过点×作××的垂线，垂足为×（5）作线段××的垂直平分线（6）过点×作××平行于××3、尺规作图的重点是掌握好几种基本作图法，难点是几何作图语言的掌握。为此要理解和掌握好常用的作图语句：（1）过点×，点×作直线××；或作直线××；或作射线××。（2）连接点×、×，或连接××。（3）延长××到×，使××=××（4）延长××交××于点×。（5）在××上截取××=××（6）以点×为圆心，××为半径作圆（弧）。（7）以点×为圆心，××为半径作弧交××于点×（8）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×、×。4、利用“尺规”作三角形的类型（1）已知三角形的三边，求作三角形。（2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形。（3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形。（4）已知底边及底边上的高作等腰三角形。（5）已知三角形一直角边喝斜边，求作三角形。第四节等腰三角形一、等腰三角形的概念和性质1、定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。2、性质：（1）等腰三角形两个腰相等（2）等腰三角形的两个底角相等（简写成等边对等角）（3）等腰三角形的顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合。（4）等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。[注意]（1）等腰三角形两腰上的高相等。（2）等腰三角形两腰上的中线相等。（3）等腰三角形两底角的平分线相等。（4）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。（5）等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行。（6）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。（7）等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。二、等腰三角形的判定1、定义法2、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）。3、线段垂直平分线的性质三、等边三角形1、等边三角形的性质（1）等边三角形的三条边都相等。（2）等边三角形的三个内角都相等并且每一个角都等于60度。（3）等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴。[注意]等边三角形具有等腰三角形的所有性质2、等边三角形的判定（1）三条边相等的三角形叫做等边三角形。（2）三个角相等的三角形是等边三角形。（3）有一个角等于60度等腰三角形是等边三角形。四、线段的垂直平分线1、性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。2、判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。五、角的平分线1、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。2、判定：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。第五节直角三角形与勾股定理一、直角三角形的概念和性质1、定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余（2）直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半（3）直角三角形中，30度的角所对的直角边等于斜边的一半3、直角三角形的判定：如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。二、勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a²+b²=c²能够成为直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数。三、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为a、b、c，满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。[作用]（1）判断某三角形是否为直角三角形（2）证明两条线段垂直（3）实际应用。四、命题、定义、定理、公理1、定义：在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给它们下定义。2、命题：命题是判断一件事情的句子。正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；每个命题豆油题设和结论两部分组成。3、公理：公认的真命题称为公理。除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实。经过证明的真命题称为定理。五、互逆定理、互逆命题及其关系1、互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题称为互逆命题。如果把其中一个叫原命题，那么另一个叫它的逆命题。2、互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理为另一个定理的逆定理。第六节相似三角形的判定和性质一、相似图形形状相同的图形称为相似图形。二、比例线段1、比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a:b=c:d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。[注意]求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位。2、黄金分割：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC）,如果AC：BC=AB：AC=1.618：1，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比为1.618.[注意]一条线段的黄金分割点有2个。三、平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。四、相似多边形及相似三角形相似多边形：各对应角相等，各对应边相等的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。相似三角形：对应角相等，对应边相等的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比，通常用字母k表示。全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形。五、相似三角形及相似多边形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。相似多边形对应角相等，对应边的比相等。相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方。2、相似三角形的周长比等于相似比。3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。[注意]相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。六、相似三角形的判定方法预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。判定定理：1、如果两个三角形的三组对应边的比相